чему равна диагональ параллелограмма через стороны

Содержание

Формулы параллелограмма

Для расчёта всех основных параметров параллелограмма воспользуйтесь калькулятором.

Признаки и свойства параллелограмма

Формулы стороны параллелограмма

Длины сторон через диагонали и угол между ними

ParallelogramSideDiagSmall

Длина стороны через диагонали и известную сторону

Длины сторон через высоты и угол между сторонами

ParallelogramSideHeightSmall

Формулы диагоналей параллелограмма

Длина диагонали через стороны и углы между ними

ParallelogramDiagSideSmall

Длина диагонали через стороны и известную диагональ

Длина диагонали через площадь параллелограмма, известную диагональ и угол между диагоналями

ParallelogramSideDiagSmall

Формулы углов параллелограмма

ParallelogramDiagSideSmall

Косинус острого угла

Косинус тупого угла

Синус острого и тупого угла через площадь и стороны параллелограмма

Формулы углов между диагоналями параллелограмма

ParallelogramSideDiagSmall

Косинус острого угла через стороны и диагонали

Косинус тупого угла через стороны и диагонали

Синус острого и тупого угла через площадь и диагонали

Источник

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

parallelogram1 parallelogram2
Рис.1 Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO = d 1
2
BO = DO = d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a = h b
sin α
b = h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a = S
ha
b = S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 = 2S = 2S
d 2· sinγ d 2· sinδ
d 2 = 2S = 2S
d 1· sinγ d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P = 2( b + h b )
sin α
P = 2( a + h a )
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S = 1 d 1 d 2 sin γ
2
S = 1 d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

5fb61e1f69344793566921

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

5fb622621d2dd301036695

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

617b9f4689765418270519

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

617b9f9456b8c272321940

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Геометрические фигуры. Параллелограмм. Стороны, диагонали параллелограмма.

Стороны параллелограмма.

Формулы для вычисления длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

73 602d6443724cf5a7979f42a6902cd083

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и вторую сторону:

516 36bb629ad646fd658a327f62ce6ae66c

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и sin угла:

270 d65c0b2f59c2b835d14d93c5c2bbb44a

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

102 136362c2dff3844304dd1e96bd36ee03

Диагонали параллелограмма.

Диагональю параллелограмма является каждый отрезок соединяющий 2 вершины противолежащих углов параллелограмма.

Формулы вычисления длины диагонали параллелограмма:

1. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и cos β (из теоремы косинусов):

928 ba5d18e65df7d1fef4d9be2fdb185c23

2. Формулы диагоналей параллелограмма через стороны и cos α (из теоремы косинусов):

144 fe09c4cd0a360af0bb420fa7c5ec10b2

3. Формула диагонали параллелограмма через 2 стороны и известную вторую диагональ:

974 fc38a99070582fc1230937c7f71ec00b

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, диагональ которая известна, и угол между диагоналями:

Источник

Параллелограмм. Формулы, признаки и свойства параллелограмма

parallelogram1 parallelogram2
Рис.1 Рис.2

Признаки параллелограмма

AB||CD, AB = CD (или BC||AD, BC = AD)

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

AC 2 + BD 2 = AB 2 + BC 2 + CD 2 + AD 2

Основные свойства параллелограмма

∠ABC + ∠BCD + ∠CDA + ∠DAB = 360°

∠ABC + ∠BCD = ∠BCD + ∠CDA = ∠CDA + ∠DAB = ∠DAB + ∠DAB = 180°

8. Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делят друг друга пополам:

AO = CO = d 1
2
BO = DO = d 2
2

AC 2 + BD 2 = 2AB 2 + 2BC 2

Стороны параллелограмма

Формулы определения длин сторон параллелограмма:

1. Формула сторон параллелограмма через диагонали и угол между ними:

2. Формула сторон параллелограмма через диагонали и другую сторону:

3. Формула сторон параллелограмма через высоту и синус угла:

a = h b
sin α
b = h a
sin α

4. Формула сторон параллелограмма через площадь и высоту:

a = S
ha
b = S
hb

Диагонали параллелограмма

Формулы определения длины диагонали параллелограмма:

d 2 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosβ

d 1 = √ a 2 + b 2 + 2 ab·cosα

4. Формула диагонали параллелограмма через площадь, известную диагональ и угол между диагоналями:

d 1 = 2S = 2S
d 2· sinγ d 2· sinδ
d 2 = 2S = 2S
d 1· sinγ d 1· sinδ

Периметр параллелограмма

Формулы определения длины периметра параллелограмма:

P = 2 a + 2 b = 2( a + b )

3. Формула периметра параллелограмма через одну сторону, высоту и синус угла:

P = 2( b + h b )
sin α
P = 2( a + h a )
sin α

Площадь параллелограмма

Формулы определения площади параллелограмма:

3. Формула площади параллелограмма через две диагонали и синус угла между ними:

S = 1 d 1 d 2 sin γ
2
S = 1 d 1 d 2 sin δ
2

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector