чему равна дисперсия нормального распределения

Нормальный закон распределения вероятностей

Без преувеличения его можно назвать философским законом. Наблюдая за различными объектами и процессами окружающего мира, мы часто сталкиваемся с тем, что чего-то бывает мало, и что бывает норма:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image002
Перед вами принципиальный вид функции плотности нормального распределения вероятностей, и я приветствую вас на этом интереснейшем уроке.

Какие можно привести примеры? Их просто тьма. Это, например, рост, вес людей (и не только), их физическая сила, умственные способности и т.д. Существует «основная масса» (по тому или иному признаку) и существуют отклонения в обе стороны.

Это различные характеристики неодушевленных объектов (те же размеры, вес). Это случайная продолжительность процессов, например, время забега стометровки или превращения смолы в янтарь. Из физики вспомнились молекулы воздуха: среди них есть медленные, есть быстрые, но большинство двигаются со «стандартными» скоростями.

Более того, даже дискретные распределения бывают близкИ к нормальному, и в конце урока мы раскроем важный секрет «нормальности». Но прежде, математика, математика, математика, которая в древности не зря считалась философией!

Непрерывная случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004, распределённая по нормальному закону, имеет функцию плотности normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image006(не пугаемся) и однозначно определяется параметрами normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image010.

Данная функция получила фамилию некоронованного короля математики, и я не могу удержаться, чтобы не запостить:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image012
Одну из таких купюр мне довелось лично держать в руках, и ещё будучи школьником я внимательно изучил функцию Гаусса. Педантичные немцы отобразили все её особенности (на картинке видно плохо), и мы с толком, с расстановкой приступаем к их немцев изучению.

Начнём с того, что для функции normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image006 0000выполнены свойства плотности вероятностей , а именно normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image015(почему?) и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image017, откуда следует, что нормально распределённая случайная величина достоверно примет одно из действительных значений. Теоретически – какое угодно, практически – узнаем позже.

Любопытно отметить, что сам по себе неопределённый интеграл normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image019является неберущимся, однако указанный выше несобственный интеграл сходится и равен normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image021. Вычисления для простейшего случая normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image023можно найти здесь, все же остальные варианты сводятся к нему с помощью линейной замены normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image025.

Следующие замечательные факты я тоже приведу без доказательства:

normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image027– то есть, математическое ожидание нормально распределённой случайной величины в точности равно «а», а среднее квадратическое отклонение в точности равно «сигме»: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image029.

Эти значения выводятся с помощью общих формул математического ожидания и дисперсии, и желающие / нуждающиеся могут ознакомиться с подробными выкладками в учебной литературе, и совсем здОрово, если вам удастся провести их самостоятельно.

Ну а мы переходим к насущным практическим вопросам. Практики сегодня будет много, и она будет интересна не только «чайникам», но и более подготовленным читателям:

Нормально распределённая случайная величина задана параметрами normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image031. Записать её функцию плотности и построить график.

Несмотря на кажущуюся простоту задания, в нём существует немало тонкостей.

Первый момент касается обозначений. Они стандартные, и никаких вольностей: математическое ожидание обозначают буквой normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008 0000(реже normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image034или normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image036(«мю»)), а стандартное отклонение – буквой normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038. Кстати, обратите внимание на формулировку: в условии ничего не сказано о сущности параметров «а» и «сигма», и несведущий человек может только догадываться, что это такое.

Решение начнём шаблонной фразой: функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image006 0001. В данном случае normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image031 0000и:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image041

Первая, более лёгкая часть задачи выполнена. Теперь график. Вот на нём-то, на моей памяти, студентов «заворачивали» десятки раз, причём, многих неоднократно. По той причине, что график normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image043обладает несколькими принципиальными особенностями, которые нужно обязательно отобразить на чертеже.

Сначала полная картина, затем комментарии:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image045

Строим декартову систему координат. При выполнении чертежа от руки во многих случаях оптимален следующий масштаб:

по оси абсцисс: 2 тетрадные клетки = 1 ед.;

по оси ординат: 2 тетрадные клетки = 0,1 ед., при этом саму ось следует расположить из тех соображений, что в точке normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image047функция достигает максимума, и вертикальная прямая normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image047 0000(на чертеже отсутствует) является линией симметрии графика.

И логично, что в первую очередь удобно найти максимум функции. В данном примере он находится в точке normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image049:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image051
Отмечаем вершину графика (красная точка).

Далее вычислим значения функции при normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image053, а точнее только одно из них – в силу симметрии графика они равны:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image055
Отмечаем синим цветом.

Внимание! normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image057– это точки перегиба нормальной кривой. На интервале normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image059график является выпуклым, а на крайних интервалах – вогнутым.

Далее отклоняемся от центра ещё на одно стандартное отклонение normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image061и рассчитываем высоту:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image063

Отмечаем точки на чертеже (зелёный цвет) и видим, что этого вполне достаточно.

На завершающем этапе аккуратно чертим график, и особо аккуратно отражаем его выпуклость / вогнутость! Ну и, наверное, вы давно поняли, что ось абсцисс – это горизонтальная асимптота, и «залезать» за неё категорически нельзя!

При электронном оформлении решения график легко построить в Экселе, и неожиданно для самого себя я даже записал короткий видеоролик на эту тему. Но сначала поговорим о том, как меняется форма нормальной кривой в зависимости от значений normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008 0001и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038 0000.

При увеличении или уменьшении «а» (при неизменном «сигма») график сохраняет свою форму и перемещается вправо / влево соответственно. Так, например, при normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image067функция принимает вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image069и наш график «переезжает» на 3 единицы влево – ровнехонько в начало координат:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image071
Нормально распределённая величина с нулевым математическим ожиданием получила вполне естественное название – центрированная; её функция плотности normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image073чётная, и график симметричен относительно оси ординат.

В случае изменения «сигмы» (при постоянном «а»), график «остаётся на месте», но меняет форму. При увеличении normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038 0001он становится более низким и вытянутым, словно осьминог, растягивающий щупальца. И, наоборот, при уменьшении normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038 0002график становится более узким и высоким – получается «удивлённый осьминог». Так, при уменьшении «сигмы» в два раза: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image076предыдущий график сужается и вытягивается вверх в два раза:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image078
Всё в полном соответствии с геометрическими преобразованиями графиков.

Нормальное распределёние с единичным значением «сигма» называется нормированным, а если оно ещё и центрировано (наш случай), то такое распределение называют стандартным. Оно имеет ещё более простую функцию плотности, которая уже встречалась в локальной теореме Лапласа: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image080. Стандартное распределение нашло широкое применение на практике, и очень скоро мы окончательно поймём его предназначение.

Ну а теперь смотрим кино:

Да, совершенно верно – как-то незаслуженно у нас осталась в тени функция распределения вероятностей. Вспоминаем её определение:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image082– вероятность того, что случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0000примет значение, МЕНЬШЕЕ, чем переменная normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image085, которая «пробегает» все действительные значения до «плюс» бесконечности.

Внутри интеграла обычно используют другую букву, чтобы не возникало «накладок» с обозначениями, ибо здесь каждому значению normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image085 0000ставится в соответствие несобственный интеграл normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image088, который равен некоторому числу из интервала normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image090.

Почти все значения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image092не поддаются точному расчету, но как мы только что видели, с современными вычислительными мощностями с этим нет никаких трудностей. Так, для функции normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image094стандартного распределения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image096соответствующая экселевская функция вообще содержит один аргумент:

Раз, два – и готово:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image098
На чертеже хорошо видно выполнение всех свойств функции распределения, и из технических нюансов здесь следует обратить внимание на горизонтальные асимптоты и точку перегиба normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image100.

Теперь вспомним одну из ключевых задач темы, а именно выясним, как найти normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image102– вероятность того, что нормальная случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0001примет значение из интервала normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image105. Геометрически эта вероятность равна площади между нормальной кривой и осью абсцисс на соответствующем участке:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image107
но каждый раз вымучивать приближенное значение normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image109неразумно, и поэтому здесь рациональнее использовать «лёгкую» формулу:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image111.

! Вспоминаем также, что normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image113

Тут можно снова задействовать Эксель, но есть пара весомых «но»: во-первых, он не всегда под рукой, а во-вторых, «готовые» значения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image115, скорее всего, вызовут вопросы у преподавателя. Почему?

Об этом я неоднократно рассказывал ранее: в своё время (и ещё не очень давно) роскошью был обычный калькулятор, и в учебной литературе до сих пор сохранился «ручной» способ решения рассматриваемой задачи. Его суть состоит в том, чтобы стандартизировать значения «альфа» и «бета», то есть свести решение к стандартному распределению:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image117

Примечание: функцию normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image119легко получить из общего случая normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image121 с помощью линейной замены normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image123. Тогда normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image125и:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image127
и из проведённой замены как раз следует формула normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image129перехода от значений normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image131произвольного распределения – к соответствующим значениям normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image133стандартного распределения.

Зачем это нужно? Дело в том, что значения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image119 0000скрупулезно подсчитаны нашими предками и сведены в специальную таблицу, которая есть во многих книгах по терверу. Но ещё чаще встречается таблица значений normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image135, с которой мы уже имели дело в интегральной теореме Лапласа:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image137

В силу очевидной нечётности функции Лапласа (normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image139), в таблице представлены её значения только для положительных «икс», и по причине симметрии нормального распределения этого оказывается достаточно. Итак, вероятность того, что нормальная случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0002с параметрами normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008 0002и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038 0003 примет значение из интервала normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image105 0000, можно вычислить по формуле:

normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image145, где normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image135 0000– функция Лапласа.

Таким образом, наша задача становится чуть ли не устной! Порой, здесь хмыкают и говорят, что метод устарел. Может быть…, но парадокс состоит в том, что «устаревший метод» очень быстро приводит к результату! И ещё в этом заключена большая мудрость – если вдруг пропадёт электричество или восстанут машины, то у человечества останется возможность заглянуть в бумажные таблицы и спасти мир =)

Из пункта normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image148ведётся стрельба из орудия вдоль прямой normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image150. Предполагается, что дальность полёта распределена нормально с математическим ожиданием 1000 м и средним квадратическим отклонением 5 м. Определить (в процентах) сколько снарядов упадёт с перелётом от 5 до 70м.

Решение: в задаче рассматривается нормально распределённая случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0003– дальность полёта снаряда, и по условию normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image152.

Если в нашем распоряжении есть таблица значений функции normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image158, то используем формулу normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image117 0000:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image161
Для самопроверки можно задействовать экселевскую функцию =НОРМСТРАСП(z) или напрямую «забить» normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image163и затем normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image165в Пункт 9 расчётного макета.

Если же в нашем распоряжении есть таблица значений функции Лапласа normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image167, то решаем через неё:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image169
Дробные значения традиционно округляем до 4 знаков после запятой, как это сделано в типовой таблице. И для контроля есть Пункт 5 макета.

Напоминаю, что normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image171, и во избежание путаницы всегда контролируйте, таблица КАКОЙ функции перед вашими глазами.

Ответ требуется дать в процентах, поэтому рассчитанную вероятность нужно умножить на 100 и снабдить результат содержательным комментарием:

– с перелётом от 5 до 70 м упадёт примерно 15,87% снарядов

Диаметр подшипников, изготовленных на заводе, представляет собой случайную величину, распределенную нормально с математическим ожиданием 1,5 см и средним квадратическим отклонением 0,04 см. Найти вероятность того, что размер наугад взятого подшипника колеблется от 1,4 до 1,6 см.

В образце решения и далее я буду использовать функцию Лапласа, как самый распространённый вариант. Кстати, обратите внимание, что согласно формулировке, здесь можно включить концы интервала в рассмотрение. Впрочем, это не критично.

И уже в этом примере нам встретился особый случай – когда интервал normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image105 0001симметричен относительно математического ожидания. В такой ситуации его можно записать в виде normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image173и, пользуясь нечётностью функции Лапласа, упростить рабочую формулу:

normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image175
Параметр «дельта» называют отклонением от математического ожидания, и двойное неравенство можно «упаковывать» с помощью модуля:

normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image177– вероятность того, что значение случайной величины normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0004отклонится от математического ожидания менее чем на normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image180.

Хорошо то решение, которое умещается в одну строчку:)
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image182– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника отличается от 1,5 см не более чем на 0,1 см.

Результат этой задачи получился близким к единице, но хотелось бы ещё бОльшей надежности – а именно, узнать границы, в которых находится диаметр почти всех подшипников. Существует ли какой-нибудь критерий на этот счёт? Существует! На поставленный вопрос отвечает так называемое

правило «трех сигм»

Его суть состоит в том, что практически достоверным является тот факт, что нормально распределённая случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0005примет значение из промежутка normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image184.

И в самом деле, вероятность отклонения от матожидания менее чем на normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image186составляет:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image188или 99,73%

В «пересчёте на подшипники» – это 9973 штуки с диаметром от 1,38 до 1,62 см и всего лишь 27 «некондиционных» экземпляров.

В практических исследованиях правило «трёх сигм» обычно применяют в обратном направлении: если статистически установлено, что почти все значения исследуемой случайной величины укладываются в интервал длиной 6 стандартных отклонений, то появляются веские основания полагать, что эта величина распределена по нормальному закону. Проверка осуществляется с помощью теории статистических гипотез.

Продолжаем решать суровые советские задачи:

Случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0006ошибки взвешивания распределена по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и стандартным отклонением 3 грамма. Найти вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей по модулю 5 грамм.

Решение очень простое. По условию, normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image191и сразу заметим, что при очередном взвешивании (чего-то или кого-то) мы почти 100% получим результат с точностью до 9 грамм. Но в задаче фигурирует более узкое отклонение normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image193и по формуле normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image177 0000:

normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image195– вероятность того, что очередное взвешивание будет проведено с ошибкой, не превышающей 5 грамм.

Ответ: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image197

Прорешанная задача принципиально отличается от вроде бы похожего Примера 3 урока о равномерном распределении. Там была погрешность округления результатов измерений, здесь же речь идёт о случайной погрешности самих измерений. Такие погрешности возникают в связи с техническими характеристиками самого прибора (диапазон допустимых ошибок, как правило, указывают в его паспорте), а также по вине экспериментатора – когда мы, например, «на глазок» снимаем показания со стрелки тех же весов.

Помимо прочих, существуют ещё так называемые систематические ошибки измерения. Это уже неслучайные ошибки, которые возникают по причине некорректной настройки или эксплуатации прибора. Так, например, неотрегулированные напольные весы могут стабильно «прибавлять» килограмм, а продавец систематически обвешивать покупателей. Или не систематически ведь можно обсчитать. Однако, в любом случае, случайной такая ошибка не будет, и её матожидание отлично от нуля.

…срочно разрабатываю курс по подготовке продавцов =)

Самостоятельно решаем обратную задачу:

Диаметр валика – случайная нормально распределенная случайная величина, среднее квадратическое отклонение ее равно normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image199мм. Найти длину интервала, симметричного относительно математического ожидания, в который с вероятностью normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image201попадет длина диаметра валика.

Пункт 5* расчётного макета в помощь. Обратите внимание, что здесь не известно математическое ожидание, но это нисколько не мешает решить поставленную задачу.

И экзаменационное задание, которое я настоятельно рекомендую для закрепления материала:

Нормально распределенная случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0007задана своими параметрами normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image204(математическое ожидание) и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image206(среднее квадратическое отклонение). Требуется:

а) записать плотность вероятности и схематически изобразить ее график;
б) найти вероятность того, что normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0008примет значение из интервала normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image208;
в) найти вероятность того, что normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0009отклонится по модулю от normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008 0003не более чем на normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image211;
г) применяя правило «трех сигм», найти значения случайной величины normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0010.

Такие задачи предлагаются повсеместно, и за годы практики мне их довелось решить сотни и сотни штук. Обязательно попрактикуйтесь в ручном построении чертежа и использовании бумажных таблиц 😉

Ну а я разберу пример повышенной сложности:

Плотность распределения вероятностей случайной величины normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0011имеет вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image214. Найти normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image216, математическое ожидание normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image218, дисперсию normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image220, функцию распределения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image092 0000, построить графики плотности и функции распределения, найти normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image223.

Решение: прежде всего, обратим внимание, что в условии ничего не сказано о характере случайной величины. Само по себе присутствие экспоненты ещё ничего не значит: это может оказаться, например, показательное или вообще произвольное непрерывное распределение. И поэтому «нормальность» распределения ещё нужно обосновать:

Так как функция normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image214 0000определена при любом действительном значении normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image085 0001, и её можно привести к виду normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image227, то случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0012распределена по нормальному закону.

Приводим. Для этого выделяем полный квадрат и организуем трёхэтажную дробь:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image229
Обязательно выполняем проверку, возвращая показатель в исходный вид:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image231
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image233, что мы и хотели увидеть.

Таким образом:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image235– по правилу действий со степенями «отщипываем» normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image237. И здесь можно сразу записать очевидные числовые характеристики:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image239

Теперь найдём значение параметра normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image216 0000. Поскольку множитель нормального распределения имеет вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image242и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image244, то:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image246, откуда выражаем normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image248и подставляем в нашу функцию:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image250, после чего ещё раз пробежимся по записи глазами и убедимся, что полученная функция имеет вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image006 0002.

Построим график плотности:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image253
и график функции распределения normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image255:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image256
Если под рукой нет Экселя и даже обычного калькулятора, то последний график легко строится вручную! В точке normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image258функция распределения принимает значение normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image260и здесь находится перегиб графика (малиновая точка) Кроме того, для более или менее приличного чертежа желательно найти ещё хотя бы пару точек. Берём традиционное значение normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image262и стандартизируем его по формуле normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image264. Далее с помощью таблицы значений функции Лапласа находим: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image266– жёлтая точка на чертеже. С симметричной оранжевой точкой никаких проблем: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image268и:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image270.

После чего аккуратно проводим интегральную кривую, не забывая о перегибе и двух горизонтальных асимптотах.

Да, и ещё нужно вычислить:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image272– вероятность того, что случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0013примет значение из данного отрезка.

Ответ: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image274

Но этим, конечно, всё дело не ограничивается! Дополнительные примеры, причём довольно творческие, можно найти в тематической pdf-книжке.

И в заключение урока обещанный секрет:

понятие о центральной предельной теореме

которую также называют теоремой Ляпунова. Её суть состоит в том, что если случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0014является суммой очень большого числа взаимно независимых случайных величин normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image277, влияние каждой из которых на всю сумму ничтожно мало, то normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0015имеет распределение, близкое к нормальному.

В окружающем мире условие теоремы Ляпунова выполняется очень часто, и поэтому нормальное распределение (близкое к нему) и встречается буквально на каждом шагу.

Так, например, молекул воздуха очень и очень много, и каждая из них своим движением оказывает ничтожно малое влияние на всю совокупность. Поэтому скорость молекул воздуха распределена нормально.

Большая популяция некоторых особей. Каждая из них (или подавляющее большинство) оказывает несущественное влияние на жизнь всей популяции, следовательно, длина их лапок тоже распределена по нормальному закону.

Теперь вернёмся к знакомой задаче, где проводится normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image279независимых испытаний, в каждом из которых некое событие normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image216 0001может появиться с постоянной вероятностью normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image282. Эти испытания можно считать попарно независимым случайными величинами normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image277 0000, и при достаточно большом значении «эн» биномиальное распределение случайной величины normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0016числа появлений события normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image216 0002в normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image279 0000испытаниях – очень близко к нормальному.

Уже при normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image286и normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image288в многоугольнике биномиального распределения хорошо просматривается нормальная кривая:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image290
И чем больше normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image279 0001, тем ближе будет сходство. Вероятность normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image282 0000может быть и другой, но не слишком малой.

Именно этот факт мы и использовали в теоремах Лапласа – когда приближали биномиальные вероятности соответствующими значениями функций нормального распределения.

Вот такие вот пироги.

Необычайно интересной, и я бы даже сказал «сочной» получилась эта статья, что бывает далеко не всегда, но всегда вдохновляет на новое творчество! Надеюсь, вам тоже понравилось, и вы освоили весь материал «на одном дыхании».

Пример 3. Решение: т.к. случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0017(диаметр подшипника) распределена нормально, то используем формулу normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image295, где normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image135 0001– функция Лапласа. В данном случае:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image298
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image300– вероятность того, что диаметр наугад взятого подшипника будет находиться в пределах от 1,4 до 1,6 см.

Ответ: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image302

Пример 5. Решение: используем формулу: normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image304.
В данной задаче normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image306, таким образом:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image308
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image310
откуда находим:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image312
Длина искомого интервала составляет normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image314

Ответ: 20 мм

Пример 6. Решение: функция плотности нормально распределённой случайной величины имеет вид normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image006 0003, где normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image008 0004– математическое ожидание, normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image038 0004– стандартное отклонение. В данном случае normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image318, следовательно:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image320
Выполним чертёж:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image322
! Примечание: несмотря на то, что условие допускает схематическое построение графика, на чертеже обязательно отображаем все его принципиальные особенности, в частности, на забываем о перегибах в точках normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image057 0000.

б) Используем формулу normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image145 0000, где normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image135 0002– функция Лапласа.
В данной задаче normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image325:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image327
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image329– вероятность того, что случайная величина normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0018примет значение из данного интервала.

в) Используем формулу normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image332для normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image211 0000:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image335– вероятность того, что значение случайной величины normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image004 0019отклонится от её математического ожидания не более чем на 2.

г) Согласно правилу «трех сигм», практически все значения (99,73%) нормально распределенной случайной величины входят в интервал normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image337. В данном случае:
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image339
normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image341– искомый интервал.

Ответ: а) normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image343, б) normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image345, в) normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image347, г) normalnoe raspredelenie veroyatnostei clip image341 0000

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector