чему равна дисперсия случайной величины

Дисперсия дискретной случайной величины.
Среднее квадратическое отклонение

Итак, продолжаем. В предыдущей статье мы выяснили, насколько полезно знать математическое ожидание, однако только этой характеристики ещё не достаточно для исследования случайной величины. Представим двух стрелков, которые стреляют по мишени. Один стреляет метко и попадает близко к центру, а другой… просто развлекается и даже не целится. Но что забавно, его средний результат будет точно таким же, как и у первого стрелка! Эту ситуацию условно иллюстрируют следующие случайные величины:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image002

«Снайперское» математическое ожидание равно dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image004, однако и у «интересной личности»: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image006– оно тоже нулевое!

Таким образом, возникает потребность количественно оценить, насколько далеко рассеяны пули (значения случайной величины) относительно центра мишени (математического ожидания). Ну а рассеяние с латыни переводится не иначе, как дисперсия.

Посмотрим, как определяется эта числовая характеристика на одном из примеров 1-й части урока:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image008

Там мы нашли неутешительное математическое ожидание dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image010этой игры, и сейчас нам предстоит вычислить её дисперсию, которая обозначается через dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image012.

Выясним, насколько далеко «разбросаны» выигрыши/проигрыши относительно среднего значения. Очевидно, что для этого нужно вычислить разности между значениями случайной величины и её математическим ожиданием:

–5 – (–0,5) = –4,5
2,5 – (–0,5) = 3
10 – (–0,5) = 10,5

Теперь вроде бы нужно просуммировать результаты, но этот путь не годится – по той причине, что колебания влево будут взаимоуничтожаться с колебаниями вправо. Так, например, у стрелка-«любителя» (пример выше) разности составят dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image014, dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image016и при сложении дадут ноль, поэтому никакой оценки рассеяния его стрельбы мы не получим.

Чтобы обойти эту неприятность можно рассмотреть модули разностей, но по техническим причинам прижился подход, когда их возводят в квадрат. Решение удобнее оформить таблицей:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image018
И здесь напрашивается вычислить средневзвешенное значение квадратов отклонений. А это ЧТО такое? Это их математическое ожидание, которое и является мерилом рассеяния:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image020определение дисперсии. Из определения сразу понятно, что дисперсия не может быть отрицательной – возьмите на заметку для практики!

Вспоминаем, как находить матожидание. Перемножаем квадраты разностей на соответствующие вероятности (продолжение таблицы):
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image022– образно говоря, это «сила тяги»,
и суммируем результаты:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image024

Не кажется ли вам, что на фоне выигрышей dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image026результат получился великоватым? Всё верно – мы возводили в квадрат, и чтобы вернуться в размерность нашей игры, нужно извлечь квадратный корень. Данная величина называется средним квадратическим отклонением и обозначается греческой буквой «сигма»:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image028

Иногда это значение называют стандартным отклонением.

В чём его смысл? Если мы отклонимся от математического ожидания dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image030влево и вправо на среднее квадратическое отклонение:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image032
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image034– то на этом интервале будут «сконцентрированы» наиболее вероятные значения случайной величины. Что мы, собственно, и наблюдаем: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image036

Однако так сложилось, что при анализе рассеяния почти всегда оперируют понятием дисперсии. Давайте разберёмся, что она означает применительно к играм. Если в случае со стрелками речь идёт о «кучности» попаданий относительно центра мишени, то здесь дисперсия характеризует две вещи:

Во-первых, очевидно то, что при увеличении ставок, дисперсия тоже возрастает. Так, например, если мы увеличим dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image026 0000в 10 раз, то математическое ожидание увеличится в 10 раз, а дисперсия – в 100 раз (коль скоро, это квадратичная величина). Но, заметьте, что сами-то правила игры не изменились! Изменились лишь ставки, грубо говоря, раньше мы ставили 10 рублей, теперь 100.

Второй, более интересный момент состоит в том, что дисперсия характеризует стиль игры. Мысленно зафиксируем игровые ставки на каком-то определённом уровне, и посмотрим, что здесь к чему:

Игра с низкой дисперсией – это осторожная игра. Игрок склонен выбирать самые надёжные схемы, и в ситуации неопределённости не ставит слишком большие деньги. Например, система «красное/чёрное» в рулетке (см. Пример 4 статьи Случайные величины).

Игра с высокой дисперсией. Её часто называют дисперсионной игрой. Это авантюрный или агрессивный стиль игры, где игрок выбирает «адреналиновые» схемы. Вспомним хотя бы «Мартингейл», в котором на кону оказываются суммы, на порядки превосходящие «тихую» игру предыдущего пункта.

То же самое происходит на Форексе, других биржах и так далее – примеров масса.

Причём, во всех случаях не важно – на копейки ли идёт игра или на тысячи долларов. На любом уровне есть свои низко- и высокодисперсионные игроки. Ну а за средний выигрыш, как мы помним, «отвечает» математическое ожидание.

Наверное, вы заметили, что нахождение дисперсии – есть процесс длительный и кропотливый. Но математика щедрА:

Формула для нахождения дисперсии

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image038

Данная формула выводится непосредственно из определения дисперсии, и мы незамедлительно пускаем её в оборот. Скопирую сверху табличку с нашей игрой:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image008 0000
и найденное матожидание dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image030 0000.

Вычислим дисперсию вторым способом. Сначала найдём математическое ожидание dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image041– квадрата случайной величины dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image043. По определению математического ожидания:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image045

В данном случае:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image047

Таким образом, по формуле:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image049

Как говорится, почувствуйте разницу. И на практике, конечно, лучше применять формулу (если иного не требует условие).

Осваиваем технику решения и оформления:

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image051

Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Эта задача встречается повсеместно, и, как правило, идёт без содержательного смысла.
Можете представлять себе несколько лампочек с числами, которые загораются в дурдоме с определёнными вероятностями 🙂

Решение: Основные вычисления удобно свести в таблицу. Сначала в верхние две строки записываем исходные данные. Затем рассчитываем произведения dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image053, затем dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image055и, наконец, суммы в правом столбце:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image057

Собственно, почти всё готово. В третьей строке нарисовалось готовенькое математическое ожидание: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image059.

Дисперсию вычислим по формуле:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image061

И, наконец, среднее квадратическое отклонение:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image063– лично я обычно округляю до 2 знаков после запятой.

Все вычисления можно провести на калькуляторе, а ещё лучше – в Экселе:

вот здесь уже трудно ошибиться 🙂

Ответ: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image065

Желающие могут ещё более упростить свою жизнь и воспользоваться моим калькулятором (демо), который не только моментально решит данную задачу, но и построит тематические графики (скоро дойдём). Программа доступна за символическую плaтy. Спасибо за поддержку проекта!

Пара заданий для самостоятельного решения:

Вычислить дисперсию случайной величины dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image043 0000предыдущего примера по определению.

И аналогичный пример:

Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image068

Найти dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image070

Да, значения случайной величины бывают достаточно большими (пример из реальной работы), и здесь по возможности используйте Эксель. Как, кстати, и в Примере 7 – это быстрее, надёжнее и приятнее.

Решения и ответы внизу страницы.

В заключение 2-й части урока разберём ещё одну типовую задачу, можно даже сказать, небольшой ребус:

Дискретная случайная величина dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image043 0001может принимать только два значения: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image073и dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image075, причём dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image077. Известна вероятность dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image079, математическое ожидание dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image081и дисперсия dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image083.

Найти dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image085.

Решение: начнём с неизвестной вероятности. Так как случайная величина может принять только два значения, то сумма вероятностей соответствующих событий:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image087

и поскольку dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image079 0000, то dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image089.

Осталось найти dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image091…, легко сказать 🙂 Но да ладно, понеслось. По определению математического ожидания:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image093– подставляем известные величины:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image095– и больше из этого уравнения ничего не выжать, разве что можно переписать его в привычном направлении:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image097

ОК, едем дальше. По формуле вычисления дисперсии:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image099– подставляем известные данные:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image101

или: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image103

О дальнейших действиях, думаю, вы догадываетесь. Составим и решим систему:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image105

Десятичные дроби – это, конечно, полное безобразие; умножаем оба уравнения на 10:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image107

и делим на 2:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image109

Вот так-то лучше. Из 1-го уравнения выражаем:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image111(это более простой путь) – подставляем во 2-е уравнение:

dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image113
Возводим в квадрат и проводим упрощения:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image115
Умножаем на dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image117:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image119

В результате получено квадратное уравнение, находим его дискриминант:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image121– отлично!
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image123

и у нас получается два решения:

1) если dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image125, то dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image127;

2) если dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image129, то dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image131.

Условию dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image077 0000удовлетворяет первая пара значений. С высокой вероятностью всё правильно, но, тем не менее, запишем закон распределения:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image133
и выполним проверку, а именно, найдём матожидание:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image135

и дисперсию:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image137

В результате получены исходные значения, что и требовалось проверить.

Ответ: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image139

Следует отметить, что это технически трудное задание, и поэтому в нём следует проявлять повышенное внимание. Потренируйтесь самостоятельно:

Случайная величина dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image002принимает только два значения: dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image004и dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image006, причём dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image008. Найти эти значения, если dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image010.

Тут вычисления попроще.

Жду вас в третьей, заключительной части урока, где мы познакомимся с многоугольником и функцией распределения. Её лучше изучить как можно скорее!

Пример 7. Решение: вычислим математическое ожидание:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image141
Вычислим дисперсию по определению: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image020
Заполним расчётную таблицу:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image143
Таким образом: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image145

Ответ: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image147

Пример 8. Решение: случайная величина может принять только 5 значений, поэтому:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image149
Заполним расчётную таблицу:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image151
Математическое ожидание: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image153.
Дисперсию вычислим по формуле:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image155
Среднее квадратическое отклонение:
dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image157

Ответ: dispersia diskretnoi sluchainoi velichiny clip image159

Пример 10. Решение: т.к. случайная величина dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image002 0000может принимать только 2 значения, то:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image004 0000.
По определению математического ожидания:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image006 0000
По формуле вычисления дисперсии:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image008 0000
Составим и решим систему:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image010 0000
Умножим оба уравнения на 5:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image012
Из первого уравнения выразим: dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image014– подставим во второе:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image016
Решим полученное квадратное уравнение:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image018
Условию dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image020удовлетворяет первая пара.

Ответ: dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image022

Проверка:
dispersiya diskretnoi sluchainoi velichiny clip image024

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector