чему равна дуга на которую опирается вписанный угол

Содержание

Вписанный угол окружности

Вписанный угол окружности — это угол, образованный двумя хордами, исходящими из одной точки, то есть вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности.

vpis ug

Угол ABC — вписанный угол. ∠ABC опирается на дугу AC, заключённую между его сторонами.

Теорема о вписанном угле

Теорема:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Это следует понимать так: вписанный угол содержит в два раза меньше градусов, чем дуга, на которую он опирается:

vpis ug2

∠ABC = 1 dugaAC.
2

При доказательстве этой теоремы следует рассмотреть три возможных случая расположения вписанного угла относительно центра окружности.

Первый случай. Сторона вписанного угла проходит через центр окружности.

vpis ug3

Соединим точку A с центром круга (точкой O). Получим равнобедренный треугольник AOB, в котором AO = OB, как радиусы одной окружности. Следовательно, ∠A = ∠B, как углы при основании равнобедренного треугольника.

vpis ug4

Так как ∠AOC — внешний угол равнобедренного треугольника, то:

а так как углы A и B равны, то

Но ∠AOC — центральный угол, значит ∠AOC = dugaAC, следовательно ∠B измеряется половиной дуги AC:

∠ABC = ∠B = 1 dugaAC.
2

Второй случай. Центр окружности лежит между сторонами вписанного угла.

vpis ug5

Проведём диаметр BD. Угол ABC разбился на два угла: 1 и 2.

vpis ug6

Точка D разделяет дугу AC на две дуги: dugaAD и dugaDC. По доказательству, рассмотренному в первом случае:

1 = 1 dugaAD и 2 = 1 dugaDC.
2 2

Следовательно, весь угол ABC будет измеряться половиной дуги AC:

1 + 2 = 1 dugaAD + 1 dugaDC
2 2
∠ABC = 1 dugaAC.
2

Третий случай. Центр окружности лежит вне вписанного угла.

vpis ug7

Проведём диаметр BD.

vpis ug8

∠ABC = 1 dugaAC.
2

Следствия из теоремы

1. Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны между собой, так как они измеряются половиной одной и той же дуги.

vpis ug9

2. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой, так как он опирается на половину окружности.

Половина окружности содержит 180°, значит, угол, опирающийся на диаметр, содержит 90°.

Источник

Центральные и вписанные углы

5fc8f1323b644172627587

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

5fc8f132a166c849943293

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

5fc8f159d40ae146319231

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

5fc8f1ff7f1f3274104259

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

5fc8f2f404b3b060174036

Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

5fc8f2b4e0052426399882

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

5fc8f2d65aa91024417553

⌒СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

ca6

ca7

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ca8

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

ca9

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

ca10

ca11

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

ca12

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ca13

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол ca8

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами ca16 ca1
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга ca17 ca2
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания ca20 ca3
Угол, образованный касательной и секущей ca18 ca2
Угол, образованный двумя касательными к окружности ca19 ca4

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

ca17

ca17w300

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

ca18

ca18w300

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ca19

ca19w300

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

ca21

ca5

ca5w400

ca5w300

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

ca22

В этом случае справедливы равенства

ca6

ca6w400

ca6w300

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

ca23

В этом случае справедливы равенства

ca7

ca7w400

ca7w300

что и завершает доказательство теоремы 1.

ca24

ca8

ca8w300

что и требовалось доказать.

ca25

ca25w300

ca9

ca9w300

что и требовалось доказать.

ca26

ca26w300

ca10

ca10w300

что и требовалось доказать

ca27

ca27w300

ca11

ca11w400

что и требовалось доказать.

ca28

ca28w300

Источник

Чему равна дуга на которую опирается вписанный угол

Центральным углом называется угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол рассматривается вместе со своей внутренней областью – одной из двух частей, на которые стороны угла разбивают плоскость. Измеряется в пределах \([0^<\circ>; 360^<\circ>]\).

centr ugol def

Определение градусной меры дуги окружности

Градусной мерой дуги окружности называется градусная мера соответствующего ей центрального угла (т. е. центрального угла, который высекает эту дугу на окружности).

mera dugi def

Определение вписанного угла

Угол называется вписанным в окружность, если его вершина лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Говорят, что вписанный угол опирается на дугу, которую он вместе со своей внутренней областью высекает на окружности.

vpis ugol def

Вписанный угол \(ACB\) опирается на дугу \(AB\).

Теорема о вписанном угле

Градусная мера угла, вписанного в окружность, равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается, и равна половине градусной меры соответствующего этой дуге центрального угла.

teor o vpis ugle

Угол, опирающийся на диаметр

Угол, вписанный в окружность, прямой, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.

vpis na diametr

\( \angle=90^ <\circ>\Leftrightarrow \) \(AB\) – диаметр

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

vpis na odnu dugu

Условие принадлежности четырёх точек одной окружности

Если точки \(C_1\) и \(C_2\) лежат по одну сторону от прямой \(AB\) и \( \angle=\angle \), то \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности.

usl 4 na okr

\( \angle = \angle \Rightarrow \) \(A\), \(C_1\), \(C_2\), \(B\) лежат на одной окружности

Свойство вписанного четырёхуольника

Сумма противоположных углов вписанного четырёхугольника равна \(180^<\circ>\).

svoist vpis 4ug

Признак вписанного четырёхуольника

Если сумма противоположных углов четырёхугольника равна \(180^<\circ>\), то этот четырёхугольник вписанный.

prizn vpis 4ug

Внешний угол вписанного четырёхуольника

Внешний угол вписанного четырёхугольника равен внутреннему углу при противоположной вершине четырёхугольника.

vnugvpis4ug

Угол, образованный хордами

Градусная мера каждого из вертикальных углов, образованных двумя пересекающимися хордами, равна полусумме градусных мер дуг, которые эти углы высекают на окружности.

ugol s versh v kruge

Угол, образованный касательной и хордой

Градусная мера угла, образованного касательной к окружности и хордой с концом в точке касания, равна половине градусной меры дуги окружности, заключённой внутри этого угла.

ugol mezhdu kasat chordoy

Вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой

Если вписанный угол и угол, образованный касательной и хордой, высекают на окружности одну и ту же дугу, то они равны.

kastchorda i vpis ugol

Угол с вершиной на окружности

Пусть вершина угла принадлежит окружности, а одна из его сторон и продолжение другой стороны пересекают окружность. Тогда градусная мера этого угла равна полусумме градусных мер дуг, которые он вместе с вертикальным ему углом высекают на окружности.

ugol s versh na okr

Угол с вершиной в круге

Градусная мера угла, вершина которого принадлежит кругу, равна полусумме градусных мер дуг, которые этот угол вместе с вертикальным ему высекает на окружности.

ugol s versh v kruge

Угол, образованный секущими

Градусная мера угла, образованного двумя секущими к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

Угол, образованный касательными

Градусная мера угла, образованного двумя касательными к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, на которые точки касания делят окружность.

Угол, образованный касательной и секущей

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

Признак касания прямой и окружности

Градусная мера угла, образованного касательной и секущей к окружности, равна полуразности градусных мер дуг, которые этот угол высекает на окружности.

Угол с вершиной вне круга

Если вершина угла лежит вне круга, а каждая сторона пересекает круг или касается его, то градусная мера этого угла равна полуразности градусных мер дуг, которые он высекает на окружности.

Источник

Чему равен вписанный угол

Выясним, чему равен вписанный угол окружности и как его величина связана с величиной центрального угла.

(О вписанном угле)

Вписанный угол равен половине соответствующего ему центрального угла.

0 f30a4 2ac7bb67 origДано : окружность (O; R),

quicklatex.com 62c670507e70788eef6d2fc79d8e23ca l3

1) Рассмотрим частный случай, когда одна из сторон угла проходит через центр окружности.

0 f301c 4c10fe82 origВ треугольнике AOB OA=OB (как радиусы). Значит, треугольник AOB — равнобедренный с основанием AB. Следовательно, у него углы при основании равны:∠ABO=∠BAO.

∠AOC — внешний угол треугольника AOB. Внешний угол равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним:

quicklatex.com 62c670507e70788eef6d2fc79d8e23ca l3

2) Если центр окружности лежит между сторонами угла.

0 f301d a4c99655 origПроведем из вершины вписанного угла ABC диаметр BF.

Аналогично, ∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

quicklatex.com c7d1cc1dd0223e4c4eaac012a326ce34 l3

∠FOC — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

quicklatex.com ba0898c415f2f3ed0146a726c276a6bb l3

quicklatex.com dd6cc84085d212d9e240df8bdc9a4b3c l3

quicklatex.com 89de0f2f86f9ccac1386586eb05960c3 l3

quicklatex.com acfbbfed22b2cb92af514fe08aec57da l3

3) Если центр окружности лежит вне угла.

0 f301e 58d63e7f origПроведем диаметр BF.

∠AOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника ABO и

quicklatex.com 0f6c417cdd090f4d2c481cb4ba539d68 l3

∠СOF — внешний угол при вершине O равнобедренного треугольника BCO и

quicklatex.com f42285566bfc9d51d186565003089412 l3

quicklatex.com 42856b6152a2069b84b5c10f4a204ed0 l3

quicklatex.com 6364c91ea899ee3ea79fafc02aa2d216 l3

quicklatex.com 4974c0c2f9adc888b022b330cec1b8bb l3

Что и требовалось доказать.

Дугу окружности можно измерять в градусах. Если центральный угол AOC меньше либо равен 180º, то градусная мера дуги AC равна градусной мере центрального угла AOC:

quicklatex.com 44ca728687396a9f10a04adffee27964 l3

Если центральный угол AOC больше 180º, то градусная мера дуги AC равна 360º-∠AOC.

Таким образом, сумма градусных мер двух дуг окружности с общими концами равна 360º.

Другая формулировка теоремы о вписанном угле:

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
ca16
Формула: ca1