чему равна градусная мера четверти окружности

Издательство: Вентана-граф 2016

Тип: Учебник, Алгоритм успеха

Похожие ГДЗ

geometriya 8 klass didakticheskie materialy merzlyak a g

ГДЗ Дидактические материалы геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.

geometriya 8 klass metodicheskoe posobie bucko e v

ГДЗ Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие) геометрия 8 класс Буцко Е.В.

geometriya 8 klass rabochaya tetrad merzlyak a g

ГДЗ Рабочая тетрадь геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.

geometriya 8 klass merzlyak a g uglublennyy uroven

ГДЗ учебник геометрия 8 класс Мерзляк А.Г. углубленный уровень

1. Какой угол называют центральным углом окружности? 2. Как называют части окружности, на которые делят её две точки? 3. Каким символом обозначают дугу окружности? 4. В каком случае говорят, что центральный угол опирается на дугу? 5. Чему считают равной градусную меру окружности? 6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается? 7. Сколько дуг стягивает каждая хорда? Чему равна сумма их градусных мер? 8. Какой угол называют вписанным углом окружности? 9. В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу? 10. Чему равна градусная мера вписанного угла? 11. Каким свойством обладают вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу? 12. Какой вид имеет вписанный угол, опирающийся на диаметр?

Источник

Материал к уроку «Градусное и радианное измерение углов»

Градусная и радианная мера угла

Вавилонская система измерения углов оказалась достаточно удобной, и ее сохранили математики Древней Греции и Рима.

Слово «градус» происходит от латинского gradus (шаг, ступень).

Градусом называется величина центрального угла, который опирается на 103588.002часть окружности (обозначается 1 О ).

Более мелкими единицами измерения меры углов являются минута и секунда. В переводе с латинского minutus означает «уменьшенный», secunda переводится как «вторая».

Птолемей (II в. н. э.) количество градусов обозначал кружком, число минут – штрихом, а секунд – двумя штрихами: 1 О =60′; 1’=60».

Угол также рассматривается как мера поворота.

Если поворот совершен против хода часовой стрелки, то угол поворота принято считать положительным.

Если поворот совершен по ходу часовой стрелки, то угол поворота считается отрицательным.

Любой угол поворота можно представить в виде 103588.004, где nZ и 103588.005.

Пример 1. Представьте угол 2700 О в виде 103588.006, где nZ и 103588.005.

Если рассмотреть окружность единичного радиуса, то можно отметить что углы от 0 О до 90 О лежат в первой четверти,

от 90 О до 180 О – во второй,

от 180 О до 270 О – в третьей,

от 270 О до 360 О – в четвертой.

103588.007

Отрицательные углы отсчитываются в обратном направлении (по часовой стрелке).

углы от ‑ 0 О до ‑ 90 О лежат в первой четверти,

от ‑ 90 О до ‑ 180 О – во второй,

от ‑ 180 О до ‑ 270 О – в третьей,

от ‑ 270 О до ‑ 360 О – в четвертой.

103588.008

Угол в 135 О лежит во второй четверти, следовательно, угол в 1935 о также лежит во второй четверти.

Ответ: II четверть

Другая единица измерения углов – радиан – впервые появилась в 1873 г. в Англии. Сам термин происходит от латинского radius (спица, луч).

Из геометрии известно, что отношение длины дуги l, на которую опирается угол, к радиусу R этой окружности не зависит от самого радиуса. Поэтому это отношение может быть выбрано характеристикой и мерой данного угла: 103588.009.

Такая мера называется радианной мерой угла.

Радианом называется величина угла, который опирается на дугу окружности в один радиус (обозначается 1 рад).

Радианная мера любого угла равна отношению длины дуги, описанной произвольным радиусом из центра окружности и заключенной между сторонами угла, к радиусу этой дуги.

103588.010

Так как длина всей окружности радиуса R равна 2πR, то всей окружности соответствует угол 103588.011радиан. π=3,14159265358…

Обозначение «рад» при записи часто опускают и вместо, например, 3 рад пишут просто 3.

Для перехода от градусного измерения к радианному используется следующая формула: 103588.015рад

Для перехода от радианного измерения к градусному: 103588.016.

Источник

Единичная окружность

5fead4a4462dc798983590

Единичная окружность в тригонометрии

Все процессы тригонометрии изучают на единичной окружности. Сейчас узнаем, какую окружность называют единичной и дадим определение.

Единичная окружность — это окружность с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат и радиусом, равным единице.

Прямоугольная система координат — прямолинейная система координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве. Наиболее простая и поэтому часто используемая система координат.

Радиус — отрезок, который соединяет центр окружности с любой точкой, лежащей на окружности, а также длина этого отрезка. Радиус составляет половину диаметра.

Единичную окружность с установленным соответствием между действительными числами и точками окружности называют числовой окружностью.

5fead4a4c0bc7519390733

Поясним, как единичная окружность связана с тригонометрией.

В тригонометрии мы постоянно сталкиваемся с углами поворота. А углы поворота связаны с вращением по окружности.

Угол поворота — это угол, который образован положительным направлением оси OX и лучом OA.

Величины углов поворота не зависят от радиуса окружности, по которой происходит вращение, поэтому удобно работать именно с окружностью единичного радиуса. Это позволяет избавиться от коэффициентов при математическом описании. Вот и все объяснение полезности единичной тригонометрической окружности.

Все углы, которые принадлежат одному семейству, дают одинаковые абсолютные значения тригонометрических функций, но эти значения могут различаться по знаку. Вот как:

Градусная мера окружности равна 360°. Чтобы решать задачи быстро, важно запомнить, где находятся углы 0°; 90°; 180°; 270°; 360°. Единичная окружность с градусами выглядит так:

5fead4a4d63ff029872663

Радиан — одна из мер для определения величины угла.

Один радиан — это величина угла между двумя радиусами, проведенными так, что длина дуги между ними равна величине радиуса.

Число радиан для полной окружности — 360 градусов.

Длина окружности равна 2πr, что превышает длину радиуса в 2π раза.

Поскольку по определению 1 радиан — это угол между концами дуги, длина которой равна радиусу, в полной окружности заключен угол, равный 2π радиан.

Потренируемся переводить радианы в градусы. В полной окружности содержится 2π радиан, или 360 градусов. Таким образом:

Кстати, определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса в тригонометрии дается через координаты точек на единичной окружности. Эти определения дают возможность раскрыть свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Уравнение единичной окружности

При помощи этого уравнения, вместе с определениями синуса и косинуса, можно записать основное тригонометрическое тождество:

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 10 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

06775d95 558e 4757 9213 664b2abac76b

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, 66eb1fcb afdb 4ede 90d4 d3d97392583a. А учитывая, что R=1, f2a20b5f 9ae6 4fc3 8f0a 115d7fc0e439, осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна fba512d9 ab0a 4db4 a364 f8e3c56f1980части окружности или 1efc4c34 5da0 472b 81c4 2f6f58d335b0

Длина полуокружности равна 7510cbcc 6567 4486 b2c6 be5e85b0f496А так как образовался развернутый угол, то 1f9c5e11 0afb 41c4 baaf ba3139f3982d180f32b9ab1 304c 429c 8233 e53ddaac9d5d.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

ecfe6cb6 e290 445a 96cf 40dd88819460рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

e37194a1 e593 4a75 a31d 32623d3d5f8f;

05d71802 4a60 4913 9150 c9d1c7d04d77

2e39d41f 98c3 401c 8472 77daa470bd7eα рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

d2b22729 fe8f 4480 980c 7fb5a939f649

можно вычислять по формуле0fd365d5 62be 4efe a4ec ecb18659cc60(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой d9b0ce3a 06e9 4f39 b4ea 3d48c091e368рад (рис.5)

d354e237 c783 4f42 8a0f 4b928f836cff

находят по формуле: 6dac5cec 13ca 4990 b9af ef95d4ca9a4e, где cad369f5 ea16 4aa1 8501 ffe0ab57ae64(4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол b51d841a 797e 42a9 b4b3 ca879ff277e3получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол 02d53979 c684 4148 88ed f42b18058c37(рис.6)

86e0078f fd55 4ecc bc59 b53be0bc0ba8

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Найти градусную меру угла, равного d5fe9236 f85c 457e 9eb4 901822baf899рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим 233e4368 d4aa 4ce3 b57e d5bcbc652c1d.

Так как 5de6af4e 3d83 45d4 90cf dcb1cc0d5926, то f86ef4d8 51b8 4fea a371 a021fbbbf74cрад, тогда e0577a6a 2895 4065 842f 3db53fcc4b44(2)

Ответ: 9ed6488b 174f 4a2f a685 3f69f1f61696.

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60581f38ef b1f3 4922 8225 aed702579d74.

Вычисляем по формуле (2): 07140e46 2d0e 4fd6 856c 572c731d3c03рад

cf4ee044 41b1 4392 b179 b9058ed977faрад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: 1bcadb84 1303 4f28 9a5c c32ca07fe298рад, b7e49327 ef1a 4a5a 84b6 5b914a30c6c6рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера 41b04a37 b49e 42f0 922a d36a9f87bc66.

Решение: Используя формулу (3),

получим: 2d342158 6377 42e4 b797 8686ac33fe89

Ответ: 349b5da1 721c 4c47 bbf8 8fc8b1e01dc1.

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла ace387ca 7617 481f a84c b0eb54e58e11.

По формуле (4) вычисляем 4a33f2f1 76fb 4b58 93ae 3b536cd284ae

Ответ: 45 568ec173 c6a0 4607 8b15 d6b4132910abм 2

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный c57004d5 ad93 4f1c 96eb 86afc70c738f.

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как 77cd326b e4e3 48f5 bcfc e9ccb50c847aто

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны cbd46105 b3c9 4cf3 aaf2 d1043514115eУчитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны. 2e60c2e4 8d7d 48c0 bd5b b596016987ed

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: 13a2a84c b50e 467a a3e2 8f9bfefe8376

Источник

Единичная числовая окружность на координатной плоскости

п.1. Понятие тригонометрии

Базовым объектом изучения в тригонометрии является угол.

Предметом изучения тригонометрии как раздела математики выступают:
1) взаимосвязи между углами и сторонами треугольника, которые называют тригонометрическими функциями;
2) использование тригонометрических функций в геометрии.

п.2. Числовая окружность

Мы уже знакомы с числовой прямой (см. §16 справочника для 8 класса) и координатной плоскостью (см. §35 справочника для 7 класса), с помощью которых создаются графические представления числовых промежутков и функций. Это удобный инструмент моделирования, с помощью которого можно провести анализ, начертить график, найти область допустимых значений и решить задачу.
Для работы с углами и их функциями существует аналогичный инструмент – числовая окружность.

Отметим на числовой окружности углы 30°, 45°, 90°, 120°, 180°, а также –30°, –45°, –90&deg, –120°, –180°. algebra p 1 2

п.3. Градусная и радианная мера угла

Углы можно измерять в градусах или в радианах.
Известно, что развернутый угол, дуга которого равна половине окружности, равен 180°. Прямой угол, дуга которого равна четверти окружности, равен 90°. Тогда полная, замкнутая дуга окружности составляет 360°.
Приписывание развернутому углу меры в 180°, а прямому 90°, достаточно произвольно и уходит корнями в далёкое прошлое. С таким же успехом это могло быть 100° и 50°, или 200° и 100° (что, кстати, предлагалось одним из декретов во времена французской революции 1789 г.).

В целом, более обоснованной и естественной для измерения углов является радианная мера.

30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360°
\(\frac<\pi><6>\) \(\frac<\pi><4>\) \(\frac<\pi><3>\) \(\frac<\pi><2>\) \(\frac<2\pi><3>\) \(\frac<3\pi><4>\) \(\frac<5\pi><6>\) \(\pi\) \(\frac<3\pi><2>\) \(2\pi\)

п.4. Свойства точки на числовой окружности

Построим числовую окружность. Обозначим O(0;0), A(1;0)

Отметим на числовой окружности точки, соответствующие \(\frac<\pi><6>,\ \frac<13\pi><6>,\ \frac<25\pi><6>\), и \(-\frac<11\pi><6>\).
Все четыре точки совпадают, т.к. \begin M\left(\frac<\pi><6>\right)=M\left(\frac<\pi><6>+2\pi k\right)\\ \frac<\pi><6>-2\pi=-\frac<11\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+2\pi=\frac<13\pi><6>\\ \frac<\pi><6>+4\pi=\frac<25\pi> <6>\end
algebra p 1 6

п.5. Интервалы и отрезки на числовой окружности

Каждому действительному числу соответствует точка на числовой окружности. Соответственно, числовые промежутки (см. §16 справочника для 8 класса) получают свои отображения в виде дуг.

п.6. Примеры

Пример 1. Точка E делит числовую окружность во второй четверти в отношении 1:2.
Чему равны дуги AE, BE, EC, ED в градусах и радианах?

algebra p 1 13

Угловая мера четверти 90°. При делении в отношении 1:2 получаем дуги 30° и 60° соответственно: \begin BE=30^<\circ>=\frac<\pi><6>.\\ EC=60^<\circ>=\frac<\pi><3>.\\ AE=EC+CD=90^<\circ>+30^<\circ>=120^<\circ>=\frac<2\pi><3>.\\ ED=EC+CD=60^<\circ>+90^<\circ>=150^<\circ>=\frac<5\pi><6>. \end

Пример 2. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<\pi><2>;\ \frac<3\pi><4>;\ \frac<7\pi><6>;\ \frac<7\pi><4>\).

Находим соответствующие углы в градусах и откладываем с помощью транспортира (положительные – против часовой стрелки, отрицательные – по часовой стрелке), отмечаем соответствующие точки на числовой окружности. \begin -\frac<\pi><2>=-90^<\circ>,\ \ \frac<3\pi><4>=135^<\circ>\\ \frac<7\pi><6>=210^<\circ>,\ \ \frac<7\pi><4>=315^ <\circ>\end algebra p 1 14

Пример 3. Найдите на числовой окружности точку, соответствующую данному числу: \(-\frac<11\pi><2>;\ 5\pi;\ \frac<17\pi><6>;\ \frac<27\pi><4>\).

Пример 4. В какой четверти числовой окружности находится точка, соответствующая числу: 2; 4; 5; 7.

algebra p 1 16 Сравниваем каждое число с границами четвертей: \begin 0,\ \ \frac\pi2\approx\frac<3,14><2>=1,57,\ \ \pi\approx 3,14\\ 3\pi\ \ 3\cdot 3,14\\ \frac<3\pi><2>\approx \frac<3\cdot 3,14><2>=4,71,\ \ 2\pi\approx 6,28 \end

\(\frac\pi2\lt 2\lt \pi \Rightarrow \) угол 2 радиана находится во 2-й четверти
\(\pi\lt 4\lt \frac<3\pi> <2>\Rightarrow \) угол 4 радиана находится в 3-й четверти
\(\frac<3\pi><2>\lt 5\lt 2\pi \Rightarrow \) угол 5 радиана находится в 4-й четверти
\(7\gt 2\pi\), отнимаем полный оборот: \(0\lt 7-2\pi\lt \frac\pi2\Rightarrow\) угол 7 радиан находится в 1-й четверти.

Пример 5. Изобразите на числовой окружности множество точек \((k\in\mathbb)\), запишите количество полученных базовых точек.

Пример 6. Изобразите на числовой окружности дуги, соответствующие числовым промежуткам.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector