чему равна градусная мера вписанного угла

Теорема о вписанном угле

На рисунке 1 угол ВАС вписанный, дуга ВLС расположена внутри этого угла. В таком случае говорят, что вписанный угол АВС опирается на дугу ВLC.

61040

Теорема

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опирается.

Доказательство

Доказать: 61053АВС = 6105661051АС.

Доказательство:

Луч ВО совпадает с одной из сторон угла АВС.

Пусть ВО совпадает с ВС (Рис. 2).

61042

В данном случае дуга АС меньше полуокружности, следовательно, 61053АОС =61051АС (т.к. 61053АОС — центральный угол, причем он меньше полуокружности, поэтому градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается).

Луч ВО делит угол АВС на два угла.

В данном случае луч ВО пересекает дугу АС в некоторой точке D (Рис. 3).

61043

Точка D разделят дугу АС на две дуги: 61051АD и 61051, поэтому 61051АС = 61051АD + 61051.

Луч ВD разделяет угол АВС на два угла, поэтому 61053АВС = 61053АВD + 61053DВС.

По доказанному в 1 случае 61053АВD = 6105661051АD и 61053DВС = 6105661051. Складывая эти равенства, получаем: 61053АВD + 61053DВС = 6105661051АD + 6105661051 или 61053АВD + 61053DВС = 61056(61051АD + 61051). Следовательно, 61053АВС = 6105661051АС.

Луч ВО не делит угол АВС на два угла и не совпадает со стороной этого угла.

В данном случае луч ВС пересекает дугу АD в точке С (Рис. 4).

61045

Луч ВС разделяет угол АВD на два угла, поэтому 61053АВD = 61053АВC + 61053CВD, откуда 61053АВC = 61053АВD 61053CВD.

Теорема доказана.

Следствия из теоремы о вписанном угле

1. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны (Рис. 5).

61048

61049

Теорема

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды.

Доказательство

Доказать: АЕ61054ВЕ = СЕ61054.

Доказательство:

61050

В 61052АDЕ и 61052СВЕ: 610531 = 610532, т.к. они вписанные и опираются на одну и ту же дугу ВD (смотри следствие 1 из теоремы о вписанном угле), 610533 = 610534 как вертикальные углы, следовательно, треугольники АDЕ и СВЕ подобны (по 1 признаку подобия треугольников). В подобных треугольниках сходственные стороны пропорциональны, поэтому 61057, откуда АЕ61054ВЕ = СЕ61054. Теорема доказана.

Теорема

Угол между касательной и хордой, проведенной в точку касания, равен половине дуги, стягиваемой этой хордой.

Доказательство

Доказать: 61053ВАС = 6105661051АВ.

Доказательство:

65451

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Источник

Издательство: Вентана-граф 2016

Тип: Учебник, Алгоритм успеха

Похожие ГДЗ

geometriya 8 klass didakticheskie materialy merzlyak a g

ГДЗ Дидактические материалы геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.

geometriya 8 klass metodicheskoe posobie bucko e v

ГДЗ Математические диктанты, Контрольные работы (Методическое пособие) геометрия 8 класс Буцко Е.В.

geometriya 8 klass rabochaya tetrad merzlyak a g

ГДЗ Рабочая тетрадь геометрия 8 класс Мерзляк А.Г.

geometriya 8 klass merzlyak a g uglublennyy uroven

ГДЗ учебник геометрия 8 класс Мерзляк А.Г. углубленный уровень

1. Какой угол называют центральным углом окружности? 2. Как называют части окружности, на которые делят её две точки? 3. Каким символом обозначают дугу окружности? 4. В каком случае говорят, что центральный угол опирается на дугу? 5. Чему считают равной градусную меру окружности? 6. Как связаны градусные меры центрального угла окружности и дуги, на которую этот угол опирается? 7. Сколько дуг стягивает каждая хорда? Чему равна сумма их градусных мер? 8. Какой угол называют вписанным углом окружности? 9. В каком случае говорят, что вписанный угол опирается на дугу? 10. Чему равна градусная мера вписанного угла? 11. Каким свойством обладают вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу? 12. Какой вид имеет вписанный угол, опирающийся на диаметр?

Источник

Центральные и вписанные углы

5fc8f1323b644172627587

Центральный угол и вписанный угол

Окружность — замкнутая линия, все точки которой равноудалены от ее центра.

Определение центрального угла:

Центральный угол — это угол, вершина которого лежит в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую он опирается.

5fc8f132a166c849943293

На рисунке: центральный угол окружности EOF и дуга, на которую он опирается EF

Определение вписанного угла:

Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности.
Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, что и вписанный угол.

5fc8f159d40ae146319231

На рисунке: вписанный в окружность угол ABC и дуга, на которую он опирается AC

Свойства центральных и вписанных углов

Углы просты только на первый взгляд. Свойства центрального угла и свойства вписанного угла помогут решать задачки легко и быстро.

Угол AOC и угол ABC, вписанный в окружность, опираются на дугу AC, в этом случае центральный угол равен дуге AC, а угол ABC равен половине угла AOC.

ㄥADC = ㄥABC = ㄥAEC, поскольку все три угла, вписанные в окружность, опираются на одну дугу AC.

ㄥACB опирается на диаметр и на дугу AB, диаметр делит окружность на две равные части. Значит дуга AB = 180 ํ, ㄥCAB равен половине дуги, на которую он опирается, значит ㄥCAB = 90 ํ.

Если есть вписанный, обязательно найдется и описанный угол. Описанный угол — это угол, образованный двумя касательными к окружности. Вот так:

5fc8f1ff7f1f3274104259

На рисунке: ㄥCAB, образованный двумя касательными к окружности. AO — биссектриса ㄥCAB, значит центр окружности лежит на биссектрисе описанного угла.

Для решения задачек мало знать, какой угол называется вписанным, а какой — описанным. Нужно знать, что такое хорда и ее свойство.

Хорда — отрезок, соединяющий две точки на окружности.

AB * AC = AE * AD
Получается, что стороны вписанного в окружность угла — это хорды.

ㄥBAC = ㄥCAB, поскольку лежат на хорде BC.

Примеры решения задач

Центральный, вписанные и описанные углы, как и любые другие, требуют тренировок в решении. Рассмотрите примеры решения задач и потренируйтесь самостоятельно.

5fc8f2f404b3b060174036

Как решаем: окружность 360° − ⌒AC − ⌒CB = 360° − 200° − 80° = 80°
По теореме: вписанный угол равен дуге ½.
ㄥACB = ½ ⌒AB = 40°

Задачка 2. Дана окружность, ㄥAOC = 140°, найдите, чему равна величина вписанного угла.

5fc8f2b4e0052426399882

Мы уже потренировались и знаем, как найти вписанный угол.
На рисунке в окружности центральный угол и дуга AC = 140°
Мы знаем, что вписанный угол равен половине центрального, то ㄥABC = ½ ⌒AC = 140/2 = 70°

Задачка 3. Чему равен вписанный в окружность угол, опирающийся на дугу, если эта дуга = ⅕ окружности?

5fc8f2d65aa91024417553

⌒СB = ⅕ от 360° = 72°
Вписанный угол равен половине дуги, поэтому ㄥCAB = ½ от ⌒CB = 72° / 2 = 36°

Источник

Угол. Вписанный угол.

Вписанный угол – это угол, сформированный двумя хордами, берущими начало в одной точки окружности. О вписанном угле говорят, что он опирается на дугу, заключенную между его сторонами.

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Говоря другими словами, вписанный угол включает в себе столько угловых градусов, минут и секунд, сколько дуговых градусов, минут и секунд заключено в половине дуги, на которую он опирается. Для обоснования проанализируем три случая:

36993055886b28d6d658.98829478

07286855886b54627891.40037513

Центр O расположен между сторонами вписанного угла ABС.Начертив диаметр BD, мы поделим угол ABС на два угла, из которых, по установленному в первом случае, один измеряется половиной дуги AD, а другой половиной дуги СD. И соответственно угол ABС измеряется (AD+DС) /2, т.е. 1 /2 AC.

42964655886b6b4ad1d9.25321882

Следствие 1. Любые вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу одинаковы, то есть равны между собой. Поскольку каждый из них измеряется половиной одной и той же дуги.

Источник

Углы, связанные с окружностью

Вписанные и центральные углы

ca6

ca7

Напомним, что углы можно измерять в градусах и в радианах. Дуги окружности также можно измерять в градусах и в радианах, что вытекает из следующего определения.

Теоремы о вписанных и центральных углах

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

Величина вписанного угла равна половине величины центрального угла, опирающегося на ту же дугу.

ca8

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны.

ca9

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, равны, если их вершины лежат по одну сторону от этой хорды

ca10

ca11

Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр

ca12

Середина гипотенузы прямоугольного треугольника является центром описанной
около этого треугольника окружности.

ca13

Теоремы об углах, образованных хордами, касательными и секущими

Фигура Рисунок Теорема
Вписанный угол ca8

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Фигура Рисунок Теорема Формула
Угол, образованный пересекающимися хордами ca16 ca1
Угол, образованный секущими, которые пересекаются вне круга ca17 ca2
Угол, образованный касательной и хордой, проходящей через точку касания ca20 ca3
Угол, образованный касательной и секущей ca18 ca2
Угол, образованный двумя касательными к окружности ca19 ca4

Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.

ca17

ca17w300

Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Величина угла, образованного касательной и хордой, проходящей через точку касания, равна половине величины дуги, заключённой между его сторонами

ca18

ca18w300

Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

ca19

ca19w300

Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами

Доказательства теорем об углах, связанных с окружностью

ca21

ca5

ca5w400

ca5w300

Таким образом, в случае, когда одна из сторон вписанного угла проходит через центр окружности, теорема 1 доказана.

Теперь рассмотрим случай, когда центр окружности лежит внутри вписанного угла (рис. 6).

ca22

В этом случае справедливы равенства

ca6

ca6w400

ca6w300

и теорема 1 в этом случае доказана.

Осталось рассмотреть случай, когда центр окружности лежит вне вписанного угла (рис. 7).

ca23

В этом случае справедливы равенства

ca7

ca7w400

ca7w300

что и завершает доказательство теоремы 1.

ca24

ca8

ca8w300

что и требовалось доказать.

ca25

ca25w300

ca9

ca9w300

что и требовалось доказать.

ca26

ca26w300

ca10

ca10w300

что и требовалось доказать

ca27

ca27w300

ca11

ca11w400

что и требовалось доказать.

ca28

ca28w300

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector
Угол, образованный пересекающимися хордами хордами
ca16
Формула: ca1