чему равна интенсивность отказов при экспоненциальном законе

Экспоненциальный закон распределения отказов

Экспоненциальный (показательный) закон распределения времени безотказной работы технического устройства в общем случае записывается так:

image104

Вероятность отказа за время t

image106

image108

Задача 3.2. Вероятность безотказной работы автоматической линии изготов­ления цилиндров автомобильного двигателя в течение 120 час равна 0,9.

Предполагается, что справедлив экспоненциальный закон надежности. Тре­буется рассчитать интенсивность отказов и частоту отказов линии для мо­мента времени 120 час.

Интенсивность отказов определим, исходя из вероятности безотказной работы

image110

Задача 3.3. Средняя наработка до первого отказа автоматической системы управления равна 640 час. Предполагается, что справедлив экспоненциаль­ный закон надежности. Необходимо определить вероятность безотказной ра­боты в течение 120 час, частоту отказов для момента времени 120 час и ин­тенсивность отказов.

image112

Задача 3.4. Определить какова должна быть средняя наработка до отказа из­делия, имеющего экспоненциальное распределение наработки до отказа, что­бы вероятность безотказной работы была не менее 0,99 в течении наработки t = 300 час.

Задача 3.5. Какова будет интенсивность, частота отказов и вероятность без­отказной работы за время работы изделия 200 час, если при экспоненциаль­ном законе распределения отказов его средняя наработка до отказа составила

Задача 3.7. Вероятность отказа изделия за время работы 150 час равна 0,1. Определить интенсивность и частоту отказов, а также среднее время работы изделия до отказа при экспоненциальном законе надежности.

Задача 3.8. Определить время работы изделия, если при вероятности отказа 0,02, интенсивность отказов постоянна и составляет 0,0015 1/час. Определить частоту отказов и наработку изделия до отказа.

Задача 3.9. Чему будет равно время работы изделия при экспоненциальном законе распределения отказов, если при интенсивности отказов 0,002 1/час, частота отказов составляет 0,0019 1/час.

Задача 3.10. Среднее время работы изделия составляет 1500 час. Определить вероятность безотказной работы изделия в течение 1000 час. Какова будет частота отказов за время работы 500 час. Закон распределения экспоненци­альный

Задача 3.13. Определить время работы изделия, если при вероятности отказа 0,12, интенсивность отказов постоянна и составляет 0,0011 1/час. Определить частоту отказов и наработку изделия до отказа.

Задача 3.14. Вероятность отказа изделия за время работы 450 час равна 0,15. Определить интенсивность и частоту отказов, а также среднее время работы изделия до отказа при экспоненциальном законе надежности.

image054

image003

image084

Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.

image052

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.

Источник

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЙ ЗАКОН НАДЕЖНОСТИ

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Основной период эксплуатации обычно характеризуется почти постоянной интенсивностью отказов. В этом периоде отказы происходят от случайных факторов (попадание посторонних предметов, неблагоприятное сочетание внешних факторов, усталостные разрушения и др.) и носят внезапный характер. Время появления отказа не связано с предыдущей наработкой изделия.

При экспоненциальном законе надежности предполагается, что интенсивность отказов является величиной постоянной (рис. 15.2):

image1129(15.2)

Вероятность безотказной работы по уравнению (14.21)

image1130(15.3)

Плотность распределения отказов

image1131(15.4)

Среднее время безотказной работы

image1132(15.5)

Вероятность безотказной работы можно теперь записать в такой форме:

image1133(15.6)

Экспоненциальный закон распределения справедлив для описания потока отказов с постоянной интенсивностью.

image1134

Рис. 15.2. Экспоненциальное распределение времени безотказной работы

Понятие потока отказоввводится для восстанавливаемых в процессе эксплуатации изделий.

Для потока отказов величина Tср представляет собой среднюю наработку на один отказ.

Важным свойством экспоненциального закона надежностиявляется то, что он относится к «нестареющим» системам. Для такого закона (и только для него!) прогнозируемая вероятность безотказной работы не зависит от предыдущей наработки

image1135(15.7)

Пример 1. Изделие имеет ресурс 1000 ч и интенсивность отказов λ = 0,1e-3 1/ч (среднее время наработки на отказ Tср = 10 000 ч.).

Определить вероятность безотказной работы первые 10ч и за весь ресурс, считая справедливым экспоненциальный закон надежности.

Решение. Вероятность безотказной работы за первые 10 ч работы

image1136

image1137

но если известно, что изделие отработало исправно 990 ч, то вероятность отсутствия отказов за последние 10 ч снова будет 0,999.

Рассмотрим определение интенсивности отказов (или средней наработки на отказ) при экспоненциальном распределении. Если известно, что для каждого из n испытуемых изделий время работы до отказа составило t*I, то следует принять

image1138(15.8)

Однако на практике информация о работоспособности изделий относится к определенному времени эксплуатации, в течение которого часть изделий получила отказы, а остальные отработали его исправно. Тогда следует принять для данного времени испытаний

image1139(15.9)

Решение. Суммарное время наработки

image1140(15.10)

Средняя наработка на отказ

image1141(15.11)

Источник

Примеры решения задач. Предлагается несколько простых примеров решения задач

Предлагается несколько простых примеров решения задач. Следует помнить, что частота, интенсивность от­казов и параметр потока отказов, вычисленные по фор­мулам (14.35), (14.6) и (14.13), являются постоянными в диа­пазоне интервала времени ∆t, а функции image1694, image1696), image1698—ступенчатыми кривыми или гистограммами. Для удобства изложения в дальнейшем при решении задач на определение частоты, интенсивности и параметра потока отказов по статистическим данным об отказах изделий ответы относятся к середине интервала ∆t. При этом ре­зультаты вычислений графически представляются не в виде гистограмм, а в виде точек, отнесенных к середи­не интервалов ∆ti и соединенных плавной кривой.

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За 3000 ч отказало 80 ламп, требуется определить вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) в течение 3000 ч.

Допустим, что на испытание поставлено 1000 однотипных электронных ламп. За первые 3000 ч отказало 80 ламп, а за интервал времени 3000-4000 ч отказало еще 50 ламп. Требуется определить частоту f(∆t) и интенсивность λ(∆t) отказов электронных ламп в промежутке времени ∆t = 3000 … 4000 ч.

На испытание поставлено N 0 =400 изделий. За время t= 3000 ч отказало n(t) =200 изделий, за интервал ∆t = 100 ч отказало n(∆t)=100 изделий. Требуется определить вероятность безотказной работы за 3000 ч, вероятность безотказной работы за 3100 ч, вероятность безотказной работы за 3050 ч, частоту отказов f(3050), интенсивность отказа λ(3050).

image1719]

image1720
image1721

image1722

В течение некоторого периода времени производилось наблюдение за работой одного объекта. За весь периодов зарегистрировано n= 15 отказов. До начала наблюдений объект проработал 258 ч, к концу наблюдения наработка составила 1233 ч. Определить среднюю наработку на отказ tср.

t2 = 329 ч, третьего t3 = 245 ч. Определить наработку объектов на отказ.

Дано: N = 3 n1 = 6 n2 = 11 n3 = 8 t1 = 181 ч t2 = 329 ч t3 = 245 ч Решение: 1 вариант решени:. tср= image1758/ ni; tср =; image1771tср = image1773= 30,2 ч 2 вариант решения: tср 1 = image1777, tср 2 = image1783, tср 3= image1787; tср 1 = image1777, tср 2 = image1783, tср 3= image1787; tср 1= image1789= 30,2 ч; tср 2= image1793= 29,9 ч; tср 3= image1795= 3,6 ч; tср= (30,2 + 29,9 + 30,6)/3 = 30,2 ч.
Найти: tср

Как видно, у задачи есть два способа решения. Первый основан на использовании общей формулы вычисления средней наработки. Во втором варианте решения применяется более детальный способ. Сначала находится средняя наработка для каждого элемента, а среднее значение этих чисел и есть то, что определяется.

Система состоит из 5 приборов, причем отказ любого одного из них ведет к отказу системы. Известно, что первый отказал 34 раза в течение 952 ч работы, второй – 24 раза в течение 960 ч работы, а остальные приборы в течение 210 ч работы отказала 4, 6 и 5 раз соответственно. Требуется определить наработку на отказ системы в целом, если справедлив экспоненциальный закон надежности для каждого из пяти приборов.

За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксировано 8 отказов. Время восстановления составило: t1 = 12 мин, t2 = 23 мин, t3 = 15 мин, t4 = 9 мин,

Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.

Дано: n = 8 отказов t1 = 12 мин t2 = 23 мин t3 = 15 мин t4 = 9 мин t5 = 17 мин t6 = 28 мин t7 = 25 мин t8 = 31 мин Решение: tср в = image1843; tср в = image1847= 20 мин.
Найти: tср в

Аппаратура имела среднюю наработку на отказ tcp = 65 ч и среднее время восстановления tв = 1,25 ч. Требуется определить коэффициент готовности Кг.

Дано: tcp = 65 ч tв= 1,25 ч Решение: Кг = image1851; Кг = image1855= 0,98.
Найти: Кг

Время работы изделия до отказа подчиняется закону Рэлея. Требуется определить количественные характеристики: P(t), f(t), λ(t), tср, при t1 = 500 ч, t2 = 1000 ч, t3 = 2000 ч. Если параметр распределения σ = 1000 ч.

Решение. image1930

t = 100 ч. Определяется вероятность безотказной работы:

Р(t) = image1932.

image1933Р(100) = image1935

Найти:Р(t), f(t) Частота отказов определяется по формуле:

λ(t), tср f(t) = image1937

Интенсивность отказов определяется по формуле:

λ(t) = image1902.

Вычисляется средняя наработка до первого отказа:

tср = image1944

Сначала вычисляют значение гамма-функции, воспользовавшись справочными данными ([54], таблица П.7.18). В данном случае х = (1/k)+1 = (1/1,5)+1 = 1,67.

х Г (х)
1,67 0,90330

Полученные данные подставляются в формулу [54]:

tср = image1946ч

image1947tВ = 10 ч. Коэффициент готовности изделия определяется по

image1948КГ = image1950

Найти: КГ Средняя наработка до первого отказа равна:

image1952,

КГ = image1954

КГ = image1956

Необходимо определить вероятность безотказной работы в течение t = 50 ч.

N = 12600 Интенсивность отказов системы определим по фор-

image1957Вероятность безотказной работы по экспоненциальному

Найти: P(t) закону равна:

Система состоит из N = 5 блоков. Надежность блоков характеризуется вероятностью безотказной работы в течение времени t, которая равна: p1(t) = 0,98; p2(t) = 0,99; p3(t) = 0,97; p4(t) = 0,985; p5(t) = 0,975.

Требуется определить вероятность безотказной работы системы.

image1961Решение.

N = 5 Воспользуемся формулой для определения безотказной ра-

p2(t) = 0,99 image1963

p3(t) = 0,97 Данные вероятности близки к единице, поэтому вычислить

p4(t) = 0,985 Рс(t) удобно, использовав приближенную формулу.

image1964q5=0,025. Тогда:

image1966

Нужно рассчитать вероятность безотказной работы изделия в течение 100 ч.

Система состоит из трех блоков, средняя наработка до первого отказа которых равна Т1 =160 ч, Т2 = 320 ч, Т3 = 600 ч. Для блоков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднюю наработку до первого отказа системы.

image2005Решение. Согласно экспоненциальному закону image2007

N = 3 Интенсивность отказов системы: image2009

Т1=160 ч Средняя наработка до первого отказа системы: image2011

Т2= 320 ч Значит: image2013

image2014Т3= 600 ч

Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказной работы каждого из них в течение времени t = 100 ч равны: р1 (100) = 0,95; р2 (100) = 0,97. Справедлив экспоненциальный закон надежности. Необходимо найти среднюю наработку до первого отказа системы tср с.

Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0,9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из N = 100 таких же элементов.

image20301 вариант решения:

p(t) = 0,9997 Если у всех элементов системы одинаковая надежность, то

image20312 вариант решения:

воспользоваться следующей формулой: Pc(t) = 1- Qc(t). Для одного элемента системы: q(t) = 1-p(t) = 1-0,9997 = 0,0003; то есть Qc(t) = N٠ q(t) =100٠0,0003 = 0,03. Значит Pc(t) = 1-0,03 = 0,97.

Получается, что первый вариант решения более точен.

Вероятность безотказной работы системы в течении времени t равна Рс(t) = 0.95. система состоит из N = 120 равнонадежных элементов. Требуется определить вероятность безотказной работы элемента рi(t).

image2045Nс = 2500 Интенсивность отказов системы определим по формуле:

image2046tср с = 1/λс= 1/0,021 = 47,6 ч.

Система состоит из пяти приборов, вероятности исправной работы которых в течение времени t = 100 часов равны: p1(100) = 0,9996; p2(100) = 0,9998; p3(100) = 0,9996; p4(100) = 0,999; p5(100) = 0,9998. Требуется определить частоту отказов системы в момент времени t = 100 часов.

Предполагается, что отказы приборов независимы и для них справедлив экспоненциальный закон надежности.

t = 100 ч По условиям задачи отказы приборов независимы,

p1(100) = 0,9996 поэтому вероятность безотказной работы системы равна

p2(100) = 0,9998 произведению вероятностей безотказной работы прибо-

p3(100) = 0,9996 ров. Тогда по формуле для высоконадежных систем име-

p4(100) = 0,999 ем: p1(t) p2(t) p3(t)… pN(t) image2048

p5(100) = 0,9998 Pc(100) image13261- image2051Qi(100) = 1-(0,004+0,0002+0,0004+

image2052+0,001+0,0002) = 0,9978.

Так как вероятность безотказной работы системы близка к единице, то в соответствии с формулой

image2054

интенсивность отказов можно вычислить следующим образом:

тогда частоту отказов определим в соответствии с формулой:

Изделие состоит из 1 маломощного низкочастотного германиевого транзистора, 4 плоскостных кремниевых выпрямителей, 1 керамического конденсатора, 1 резистора типа МЛТ, 10 силовых трансформаторов, 3 накальных трансформаторов, 1 дросселя и 9 катушек индуктивности. Необходимо найти вероятность безотказной работы изделия в течение t =200 часов и среднюю наработку до первого отказа.

image2058

Для решения данной задачи составляется и заполняется таблица 14.1, после вычисления величин интенсивности отказов изделия.

интенсивность отакзов элементов

По данным таблицы и по формуле для экспоненциального закона находим вероятность безотказной работы изделия в течение t = 200 ч и среднюю наработку до первого отказа:

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector