чему равна линейная частота колебаний

Содержание

Формула частоты

Частота (наряду со временем) является самой точно измеряемой величиной.

Формула частоты колебаний

Единицей измерения частоты в Международной системе единиц (СИ) служат в герцы или обратные секунды:

Частота биений, которые возникают при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с разными, но близкими по величине частотами ($<\nu >_1\ и\ <\nu >_2$) равна:

Еще одно величиной характеризующей колебательный процесс является циклическая частота ($<\omega >_0$), связанная с частотой как:

Циклическая частота измеряется в радианах, деленных на секунду:

Формула (4) верна для упругих, малых колебаний. Кроме того масса пружины должна быть малой по сравнению с массой тела, прикрепленного к этой пружине.

Для математического маятника частоту колебаний вычисляют как: длина нити:

Физический маятник совершает колебания с частотой:

Формулы для вычисления частоты дискретных событий, частота вращения

Единицей измерения частоты дискретных событий является обратная секунда:

Секунда в минус первой степени равна частоте дискретных событий, если за время, равное одной секунде происходит одно событие.

Примеры задач с решением

Задание. Колебательная система совершила за время равное одной минуте ($\Delta t=1\ мин$) 600 колебаний. Какова частота этих колебаний?

pic272

Источник

Амплитуда, период, частота колебаний.

Амплитуда колебаний (лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша­рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

135005594505094f291.05668821

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах, санти­метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси­мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

685876559456e24a3956.40814904

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша­ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т) — это время, за которое совершается одно полное ко­лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

772265594571f620844.37515557

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы­рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах, минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

685876559456e24a3956.40814904

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей­ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес­ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю­щихся величин, например, для затухающих колебаний.

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с.

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v) равна 1 Гц, то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

5459955594578aa265b8.27492122.

В теории колебаний пользуются также понятием циклической, или круговой частоты ω. Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

779252559457c6987c32.20983998.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за секунд.

Источник

Характеристики колебаний

Чтобы описать колебательные процессы и отличить одни колебания от других, используют 6 характеристик. Они называются так (рис. 1):

harakteristiki kolebaniy

Такие величины, как амплитуду и период, можно определить по графику колебаний.

Начальную фазу, так же, определяют по графику, с помощью интервала времени \(\large \Delta t\), на который относительно нуля сдвигается начало ближайшего периода.

Частоту и циклическую частоту вычисляют из найденного по графику периода, по формулам. Они находятся ниже в тексте этой статьи.

А фазу определяют с помощью формулы, в которую входит интересующий нас момент времени t колебаний. Читайте далее.

Что такое амплитуда

Амплитуда – это наибольшее отклонение величины от равновесия, то есть, максимальное значение колеблющейся величины.

Измеряют в тех же единицах, в которых измерена колеблющаяся величина. К примеру, когда рассматривают механические колебания, в которых изменяется координата, амплитуду измеряют в метрах.

В случае электрических колебаний, в которых изменяется заряд, ее измеряют в Кулонах. Если колеблется ток – то в Амперах, а если – напряжение, то в Вольтах.

Часто обозначают ее, приписывая к букве, обозначающей амплитуду индекс «0» снизу.

К примеру, пусть колеблется величина \( \large x \). Тогда символом \( \large x_ <0>\) обозначают амплитуду колебаний этой величины.

Иногда для обозначения амплитуды используют большую латинскую букву A, так как это первая буква английского слова «amplitude».

С помощью графика амплитуду можно определить так (рис. 2):

amplituda kolebaniy

Что такое период

Когда колебания повторяются точно, изменяющаяся величина принимает одни и те же значения через одинаковые кусочки времени. Такой кусочек времени называют периодом.

Обозначают его обычно большой латинской буквой «T» и измеряют в секундах.

\( \large T \left( c \right) \) – период колебаний.

Одна секунда – достаточно большой интервал времени. Поэтому, хотя период и измеряют в секундах, но для большинства колебаний он будет измеряться долями секунды.

Чтобы по графику колебаний определить период (рис. 3), нужно найти два одинаковых значения колеблющейся величины. После, провести от этих значений к оси времени пунктиры. Расстояние между пунктирами – это период колебаний.

period kolebaniy

Период – это время одного полного колебания.

На графике период найти удобнее одним из таких способов (рис. 4):

period nayti tak

Что такое частота

Обозначают ее с помощью греческой буквы «ню» \( \large \nu \).

Частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за одну секунду?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный одной секунде?».

Поэтому, размерность частоты — это единицы колебаний в секунду:

\( \large \nu \left( \frac<1> \right) \).

Иногда в учебниках встречается такая запись \( \large \displaystyle \nu \left( c^ <-1>\right) \), потому, что по свойствам степени \( \large \displaystyle \frac<1> = c^ <-1>\).

Начиная с 1933 года частоту указывают в Герцах в честь Генриха Рудольфа Герца. Он совершил значимые открытия в физике, изучал колебания и доказал, что существуют электромагнитные волны.

Одно колебание в секунду соответствует частоте в 1 Герц.

Чтобы с помощью графика определить частоту, нужно на оси времени определить период. А затем посчитать частоту по такой формуле:

Существует еще один способ определить частоту с помощью графика колеблющейся величины. Нужно отмерить на графике интервал времени, равный одной секунде, и сосчитать количество периодов колебаний, уместившихся в этот интервал (рис. 5).

4astota kolebaniy

Что такое циклическая частота

Колебательное движение и движение по окружности имеют много общего – это повторяющиеся движения. Одному полному обороту соответствует угол \(\large 2\pi\) радиан. Поэтому, кроме интервала времени 1 секунда, физики используют интервал времени, равный \(\large 2\pi\) секунд.

Число полных колебаний для такого интервала времени, называется циклической частотой и обозначается греческой буквой «омега»:

\( \large \displaystyle \omega \left( \frac<\text<рад>> \right) \)

Примечание: Величину \( \large \omega \) так же называют круговой частотой, а еще — угловой скоростью (ссылка).

Циклическая частота отвечает на вопрос: «Сколько полных колебаний выполняется за \(\large 2\pi\) секунд?» Или же: «Сколько периодов умещается в интервал времени, равный \(\large 2\pi\) секунд?».

Обычная \( \large \nu \) и циклическая \( \large \omega \) частота колебаний связаны формулой:

Слева в формуле количество колебаний измеряется в радианах на секунду, а справа – в Герцах.

Чтобы с помощью графика колебаний определить величину \( \large \omega \), нужно сначала найти период T.

Затем, воспользоваться формулой \( \large \displaystyle \nu = \frac<1> \) и вычислить частоту \( \large \nu \).

И только после этого, с помощью формулы \( \large \omega = 2\pi \cdot \nu \) посчитать циклическую \( \large \omega \) частоту.

Для грубой устной оценки можно считать, что циклическая частота превышает обычную частоту примерно в 6 раз численно.

Определить величину \( \large \omega \) по графику колебаний можно еще одним способом. На оси времени отметить интервал, равный \(\large 2\pi\), а затем, сосчитать количество периодов колебаний в этом интервале (рис. 6).

cikli4eskaya 4astota kolebaniy

Что такое начальная фаза и как определить ее по графику колебаний

Отклоним качели на некоторый угол от равновесия и будем удерживать их в таком положении. Когда мы отпустим их, качели начнут раскачиваться. А старт колебаний произойдет из угла, на который мы их отклонили.

Такой, начальный угол отклонения, называют начальной фазой колебаний. Обозначим этот угол (рис. 7) какой-нибудь греческой буквой, например, \(\large \varphi_ <0>\).

\(\large \varphi_ <0>\left(\text <рад>\right) \) — начальная фаза, измеряется в радианах (или градусах).

Начальная фаза колебаний – это угол, на который мы отклонили качели, перед тем, как их отпустить. Из этого угла начнется колебательный процесс.

na4alnaya faza

Рассмотрим теперь, как величина \(\large \varphi_ <0>\) влияет на график колебаний (рис. 8). Для удобства будем считать, что мы рассматриваем колебания, которые происходят по закону синуса.

Кривая, обозначенная черным на рисунке, начинает период колебаний из точки t = 0. Эта кривая является «чистым», не сдвинутым синусом. Для нее величину начальной фазы \(\large \varphi_ <0>\) принимаем равной нулю.

na4alnaya faza grafik

Вторая кривая на рисунке обозначена красным цветом. Начало ее периода сдвинуто вправо относительно точки t = 0. Поэтому, для красной кривой, начавшей новый период колебаний спустя время \(\large \Delta t\), начальный угол \(\large \varphi_ <0>\) будет отличаться от нулевого значения.

Определим угол \(\large \varphi_ <0>\) с помощью графика колебаний.

Обратим внимание (рис. 8) на то, что время, лежащее на горизонтальной оси, измеряется в секундах, а величина \(\large \varphi_ <0>\) — в радианах. Значит, нужно связать формулой кусочек времени \(\large \Delta t\) и соответствующий ему начальный угол \(\large \varphi_ <0>\).

Как вычислить начальный угол по интервалу смещения

Алгоритм нахождения начального угла состоит из нескольких несложных шагов.

\[\large T = 5 – 1 = 4 \left( \text <сек>\right)\]

Из графика следует, что период T = 4 сек.

Полученное значение дроби означает, что красная кривая сдвинута относительно точки t = 0 и черной кривой на четверть периода.

Для этого используем формулу:

\(\large \displaystyle \frac<1> <4>\cdot 2\pi = \frac<\pi > <2>=\varphi_ <0>\)

Значит, интервалу \(\large \Delta t\) соответствует угол \(\large \displaystyle \frac<\pi > <2>\) – это начальная фаза для красной кривой на рисунке.

Чтобы обозначить запаздывание, будем использовать знак «минус» для начального угла:

Примечание: Если на кривой колебаний начало ближайшего периода лежит левее точки t = 0, то в таком случае, угол \(\large \displaystyle \frac<\pi > <2>\) имеет знак «плюс».

Для не сдвинутого влево, либо вправо, синуса или косинуса, начальная фаза нулевая \(\large \varphi_ <0>= 0 \).

Для синуса или косинуса, сдвинутого влево по графику и опережающего обычную функцию, начальная фаза берется со знаком «+».

А если функция сдвинута вправо и запаздывает относительно обычной функции, величину \(\large \varphi_ <0>\) записываем со знаком «-».

Примечания:

Благодаря таким допущениям график колебаний при решении большинства задач можно изображать, начиная из окрестности нуля и преимущественно в правой полуплоскости.

Что такое фаза колебаний

Рассмотрим еще раз обыкновенные детские качели (рис. 9) и угол их отклонения от положения равновесия. С течением времени этот угол изменяется, то есть, он зависит от времени.

faza izmenyaetsya

В процессе колебаний изменяется угол отклонения от равновесия. Этот изменяющийся угол называют фазой колебаний и обозначают \(\varphi\).

Различия между фазой и начальной фазой

Существуют два угла отклонения от равновесия – начальный, он задается перед началом колебаний и, угол, изменяющийся во время колебаний.

Первый угол называют начальной \( \varphi_<0>\) фазой (рис. 10а), она считается неизменной величиной. А второй угол – просто \( \varphi\) фазой (рис. 10б) – это величина переменная.

faza i na4alnaya faza

Как на графике колебаний отметить фазу

На графике колебаний фаза \(\large \varphi\) выглядит, как точка на кривой. С течением времени эта точка сдвигается (бежит) по графику слева направо (рис. 11). То есть, в разные моменты времени она будет находиться на различных участках кривой.

На рисунке отмечены две крупные красные точки, они соответствуют фазам колебаний в моменты времени t1 и t2.

faza na grafike kolebaniy

А начальная фаза на графике колебаний выглядит, как место, в котором находится точка, лежащая на кривой колебаний, в момент времени t=0. На рисунке дополнительно присутствует одна мелкая красная точка, она соответствует начальной фазе колебаний.

Как определить фазу с помощью формулы

Пусть нам известны величины \(\large \omega\) — циклическая частота и \(\large \varphi_<0>\) — начальная фаза. Во время колебаний эти величины не изменяются, то есть, являются константами.

Время колебаний t будет величиной переменной.

Фазу \(\large \varphi\), соответствующую любому интересующему нас моменту t времени, можно определить из такого уравнения:

Левая и правая части этого уравнения имеют размерность угла (т. е. измеряются в радианах, или градусах). А подставляя вместо символа t в это уравнение интересующие нас значения времени, можно получать соответствующие им значения фазы.

Что такое разность фаз

Обычно понятие разности фаз применяют, когда сравнивают два колебательных процесса между собой.

Рассмотрим два колебательных процесса (рис. 12). Каждый имеет свою начальную фазу.

\( \large \varphi_<01>\) – для первого процесса и,

\( \large \varphi_<02>\) – для второго процесса.

raznost faz

Определим разность фаз между первым и вторым колебательными процессами:

Величина \(\large \Delta \varphi \) показывает, на сколько отличаются фазы двух колебаний, она называется разностью фаз.

Как связаны характеристики колебаний — формулы

Движение по окружности и колебательное движение имеют определенную схожесть, так как эти виды движения могут быть периодическими.

Поэтому, основные формулы, применимые для движения по окружности, подойдут так же, для описания колебательного движения.

\( \large T \left( c \right) \) – время одного полного колебания (период колебаний);

\( \large N \left( \text <шт>\right) \) – количество полных колебаний;

\( \large t \left( c \right) \) – общее время для нескольких колебаний;

\(\large \nu \left( \text <Гц>\right) \) – частота колебаний.

\(\large \displaystyle \omega \left( \frac<\text<рад>> \right) \) – циклическая (круговая) частота колебаний.

\(\large \varphi_ <0>\left( \text <рад>\right) \) — начальная фаза;

\(\large \varphi \left( \text <рад>\right) \) – фаза (угол) в выбранный момент времени t;

\(\large \Delta t \left( c \right) \) — интервал времени, на который относительно точки t=0 сдвинуто начало ближайшего периода.

Источник

Гармонические колебания

6052241e84c52356357921

9 класс, 11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Механические колебания

Механические колебания — это физические процессы, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые интервалы времени.

Колебания делятся на два вида: свободные и вынужденные.

Свободные колебания

Это колебания, которые происходят под действием внутренних сил в колебательной системе.

Они всегда затухающие, потому что весь запас энергии, сообщенный в начале, в конце уходит на совершение работы по преодолению сил трения и сопротивления среды (в этом случае механическая энергия переходит во внутреннюю). Из-за этого свободные колебания почти не имеют практического применения.

Вынужденные колебания

А вот вынужденные колебания восполняют запас энергии внешним воздействием. Если это происходит каждый период, то колебания вообще затухать не будут.

Частота, с которой эта сила воздействует, равна частоте, с которой система будет колебаться.

Например, качели. Если вас кто-то будет на них качать, каждый раз давая толчок, когда вы приходите в одну и ту же точку — такое колебание будет считаться вынужденным.

Это колебание все еще будет считаться вынужденным, если вас будут раскачивать из положения равновесия. Просто в данном случае амплитуда (о которой речь пойдет чуть ниже) будет увеличиваться с каждым колебанием.

Автоколебания

Иногда вынужденному колебанию не нужно внешнего воздействия, чтобы случиться. Бывают такие системы, в которых это внешние воздействие возникает само из-за способности регулировать поступление энергии от постоянного источника.

У автоколебательной системы есть три важных составляющих:

Часы с кукушкой — пример автоколебательной системы. Гиря на ниточке (цепочке) стремится вращать зубчатое колесо (храповик). При колебаниях маятника анкер цепляет за зубец, и вращение приостанавливается.

Но в результате маятник получает толчок, компенсирующий потери энергии из-за трения. Потенциальная энергия гири, которая постепенно опускается, расходуется на поддержание незатухающих колебаний.

605479da2101b286195097

Характеристики колебаний

Чтобы перейти к гармоническим колебаниям, нам нужно описать величины, которые помогут нам эти колебания охарактеризовать. Любое колебательное движение характеризуется величинами: период, частота, амплитуда, фаза колебаний.

Формула периода колебаний

T = t/N

N — количество колебаний [-]

Также есть величина, обратная периоду — частота. Она показывает, сколько колебаний совершает система в единицу времени.

Формула частоты

ν = N/t = 1/T

N — количество колебаний [-]

Она используется в уравнении гармонических колебаний:

605479b9d2a9a318450583

Гармонические колебания

Простейший вид колебательного процесса — простые гармонические колебания, которые описывают уравнением:

Уравнение гармонических колебаний

x — координата в момент времени t [м]

t — момент времени [с]

2πνtв этом уравнении — это фаза. Ее обозначают греческой буквой φ

Фаза колебаний

t — момент времени [с]

Например, в тех же самых часах с кукушкой маятник совершает колебания. Он качается слева направо и приходит в самую правую точку. В той же фазе он будет находиться, когда придет в ту же точку, идя справа налево. Если мы возьмем точку на сантиметр левее самой правой, то идя в нее не слева направо, а справа налево, мы получим уже другую фазу.

На рисунке ниже показаны положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

605479ac9bcc5289168096

Если изменить период, начальную фазу или амплитуду колебания, графики тоже изменятся.

На рисунке ниже во всех трех случаях для синих кривых начальная фаза равна нулю, а в последнем (с) — красная кривая имеет меньшую начальную фазу.

Во втором случае (b) красная кривая отличается от синей только значением периода — у красной период в два раза меньше.

60547a3563dc8990912345

Математический маятник

Математический маятник — отличный пример гармонических колебаний. Если мы подвесим шарик на нити, то это еще не будет математическим маятником — пока он только физический.

Математическим этот маятник станет, если размеры шарика много меньше длины нити (тогда этими размерами можно пренебречь и рассматривать шарик как материальную точку), растяжение нити очень мало, а масса нити во много раз меньше массы шарика.

605479973db8b196526400

Математическим маятником называется система, которая состоит из материальной точки массой m и невесомой нерастяжимой нити длиной l, на которой материальная точка подвешена, и которая находится в поле силы тяжести (или других сил).

Период малых колебаний математического маятника в поле силы тяжести Земли определяется по формуле:

Формула периода колебания математического маятника

6054909f1fbb7079249798

g — ускорение свободного падения [м/с^2]

На планете Земля g = 9,8 м/с2

Пружинный маятник

Пружинный маятник — это груз, прикрепленный к пружине, массой которой можно пренебречь.

В пружинном маятнике колебания совершаются под действием силы упругости.
Пока пружина не деформирована, сила упругости на тело не действует.

6054798977df2110468711

Формула периода колебания пружинного маятника

6054908df3603523614575

m — масса маятника [кг]

k — жесткость пружины [Н/м]

Закон сохранения энергии для гармонических колебаний

Физика — такая клевая наука, в которой ничего не исчезает бесследно и не появляется из ниоткуда. Эту особенность описывает закон сохранения энергии.

Рассмотрим его на примере математического маятника.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector