чему равна мода случайной величины х

Мода случайной величины

Модой image297(х) случайной величины называется наиболее вероятное ее значение, то есть значение, вероятность которого максимальна.

Если максимальные вероятности принимают несколько значений случайных величин, то такое распределение называется полимодальным.

Пример.

Дискретная случайная величина X задана законом распределения:

image298 ‒1
image268 0,1 0,2 0,1 0,6

Найти: числовые характеристики случайной величины: M(X), D(X), Ϭ(X), image297(х).

Решение:

Построим многоугольник распределения данной случайной величины.

image299

1. Математическое ожидание:

image300

image301

image302

3. Средне квадратическое откланение:

image303

4. image304так как максимальная вероятность этого значения равна 0,6.

Моменты случайных величин

Начальным моментом k ‒ го порядка называется математическое ожидание k ‒ й степени случайной величины:

image305

при k=1; image306

Центральным моментом image307случайной величины (X) называется математические ожидание k‒й степени отклонения случайной величины (Х) от ее математического ожидания:

image308,

при k=2, image309=D(Х).

Функция распределения случайной величины.

Функцией распределения случайной величины (F(x)) – называется вероятность того, что случайная величина X примет значения меньше x. Следовательно,

image310,

т.е. геометрически значения X будут левее x:

Так как F(x) – вероятность события X 7, например x =8, то F(8)=P(X 7

image312

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ДИСКРЕТНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.

Биномиальный закон распределения (биномиальное распределение) дискретных случайных величин.

Дискретная случайная величина Х распределена по биномиальному закону, если она принимает значения 0,1,2…,m…,n… с вероятностями, которые находятся по формуле Бернулли:

image313

image264 m n
image268 image314 image315 image316 image317

image318

image319

image320

Теорема. Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равняется произведению числа всех испытаний на вероятность наступления события в отдельном испытании, то есть

image321.

Дисперсия равняется произведению числа всех испытаний на вероятность наступления и не наступления события в отдельном испытании, то есть

image322.

Пример.

По статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика составляет: p = 0,515.

Составить закон распределения числа мальчиков в семье с пятью детьми. Найти математическое ожидание image323, дисперсию image324, среднее квадратическое отклонение image325и моду image326.

Решение:

X ‒ случайная величина ‒ число мальчиков в семье с пятью детьми.

Составим закон распределения числа мальчиков в семье с пятью детьми:

image264
image268 0,026835 0,142475 0,302579 0,321296 0,170585 0,036227

image327

image328

image329

image330

image331

image332

image333

image334

image335

1. Математическое ожидание:

image336

image337

3. Среднее квадратическое отклонение:

image338

4. image339так как при m = 3 вероятность максимальная. Она составляет: p = 0,321296.

Источник

4. Мода. Медиана. Генеральная и выборочная средняя

Мода на экране, медиана в треугольнике, а средние – это температура по больнице и в палате. Продолжаем наш практический курс занимательной статистики (Занятие 1) изучением центральных характеристик статистической совокупности, названия которых вы видите в заголовке. И начнём мы с его конца, поскольку о средних величинах речь зашла практически с первых же абзацев темы. Для подготовленных читателей оглавление:

ну а «чайникам» лучше ознакомиться с материалом по порядку:

Итак, пусть исследуется некоторая генеральная совокупность объёма moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image002, а именно её числовая характеристика moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image004, не важно, дискретная или непрерывная (Занятия 2, 3).

Генеральной средней называется среднее арифметическое всех значений этой совокупности:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image006

Если среди чисел moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image008есть одинаковые (что характерно для дискретного ряда), то формулу можно записать в более компактном виде:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image010, где
варианта moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image012повторяется moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image014раз;
варианта moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image016moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image018раз;
варианта moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image020moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image022раз;

варианта moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image024moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image026раз.

Живой пример вычисления генеральной средней встретился в Примере 2, но чтобы не занудничать, я даже не буду напоминать его содержание.

Далее. Как мы помним, обработка всей генеральной совокупности часто затруднена либо невозможна, и поэтому из неё организуют представительную выборку объема moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image028, и на основании исследования этой выборки делают вывод обо всей совокупности.

Выборочной средней называется среднее арифметическое всех значений выборки:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image030
и при наличии одинаковых вариант формула запишется компактнее:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image032– как сумма произведений вариант moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image008 0000на соответствующие частоты moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image035.

Выборочная средняя moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image037позволяет достаточно точно оценить истинное значение moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image039, чего вполне достаточно для многих исследований. При этом, чем больше выборка, тем точнее будет эта оценка.

Практику начнём, а точнее продолжим, с дискретного вариационного ряда и знакомого условия:

По результатам выборочного исследования moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image041рабочих цеха были установлены их квалификационные разряды: 4, 5, 6, 4, 4, 2, 3, 5, 4, 4, 5, 2, 3, 3, 4, 5, 5, 2, 3, 6, 5, 4, 6, 4, 3.

Это числа из Примера 4 (см. по ссылке выше), но теперь нам требуется: вычислить выборочную среднюю, и, не отходя от станка, найти моду и медиану.

Как решать задачу? Если нам даны первичные данные (исходные необработанные значения), то их можно тупо просуммировать и разделить результат на объём выборки:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image044– среднестатистический квалификационный разряд рабочих цеха.

Но во многих задачах требуется составить вариационный ряд (см. Пример 4):
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image046
– или же этот ряд предложен изначально (что бывает чаще). И тогда, мы, конечно, используем «цивилизованную» формулу:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image048

Далее. Мода и медиана. Эти понятия тоже вводятся как для генеральной, так и для выборочной совокупности, и определения я сформулирую в общем виде.

Мода. Мода moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image050дискретного вариационного ряда – это варианта с максимальной частотой. В данном случае moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image052. Моду легко отыскать по таблице, и ещё легче на полигоне частот – это абсцисса самой высокой точки:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image054
Иногда таковых значений несколько (с одинаковой максимальной частотой), и тогда модой считают каждое из них.

Если все или почти все варианты различны (что характерно для интервального ряда), то модальное значение определяется несколько другим способом, о котором во 2-й части урока.

Медиана. Медиана moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image056вариационного ряда* – это значение, которая делит его на две равные части (по количеству вариант).

* не важно, дискретного или интервального, генеральной совокупности или выборочной.

Медиану можно отыскать несколькими способами.

Если даны первичные данные, то сортируем их по возрастанию либо убыванию (см. Задание 1) и находим середину ранжированного ряда: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image058. Почему именно 13-е число? Потому что перед ним находится 12 чисел и после него тоже 12 чисел, таким образом, значение moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image060разделило ряд на две равные части, а значит, является медианой. Этот номер можно найти аналитически:

– если совокупность содержит нечётное количество чисел (наш случай), то делим её объём пополам: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image062и округляем полученное значение в бОльшую сторону: 13 – получая тем самым срединный номер.

– если совокупность содержит чётное количество чисел, например, 20, то делаем то же самое: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image064, и медианное значение здесь рассчитывается как среднее арифметическое 10-го и следующего числа: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image066.

Напоминаю, что изложенная инструкция работает для упорядоченного (по возрастанию либо убыванию) ряда. Но есть и более быстрый путь, где ничего не нужно сортировать. Это использование стандартной функции Экселя:

– забиваем в любую свободную ячейку =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем скобку ) и жмём Enter. Попробуйте самостоятельно. Этот способ удобен, когда вам дано много значений.

Следует отметить, что в Экселе существуют и отдельные функции для вычисления средней (=СРЗНАЧ), моды (=МОДА) и ещё много чего, но я против использования этих функций в учебном курсе, за исключением случаев, где это действительно целесообразно. …Почему против? Потому что они не помогают понять суть показателей и, более того, отупляют. Так, среднюю гораздо вразумительнее рассчитывать следующим образом:

=СУММ(выделяем мышью диапазон) / объем совокупности. Вычисления рекомендую опробовать лично (ссылка выше).

Ситуация вторая. Когда составлен либо изначально дан готовый дискретный ряд. Тут можно поступить «по любительски» – начать отсчитывать примерно равное количество чисел по краям ряда:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image068
после чего мысленно либо на черновике их отбрасывать, в данном случае отбросим по 8 штук сверху и снизу:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image070
откуда становится ясно, что медианное значение: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image072

Второй способ более академичен, находим относительные накопленные частоты:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image074
и то значение «икса», у которого moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image076«переваливает» за отметку 0,5 (50% упорядоченной совокупности). Для 3-го разряда успело накопиться moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image080(32% совокупности), а вот для 4-го – уже moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image084(64%). Таким образом, отметка в 50% пройдена именно здесь, и, стало быть, moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image072.

Запишем красивый ответ: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image088

Полученные значения близки друг к другу, и это говорит о симметрии вариационного ряда относительно центра, что хорошо видно по полигону частот (см. чертёж выше). И с высокой вероятностью можно утверждать, что примерно так же распределена и вся генеральная совокупность (все рабочие цеха).

И тут возникает следующий закономерный вопрос: а зачем вообще нужна мода с медианой? – ведь есть средняя.

А дело в том, что в ряде случаев среднее значение неудовлетворительно характеризует центральную тенденцию статистической совокупности:

Известны результаты продаж пиджаков в универмаге города:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image090
где, moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image092– количество пуговиц на пиджаке, moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image094– число продаж, буква «эф» – это тоже достаточно популярная буква для обозначения частот, и она не должна вас смущать при встрече.

…ну, а если вам не нравятся пиджаки, то представьте какие-нибудь шляпки с цветочками 🙂

Также обратим внимание, что в условии задачи ничего не сказано о том, генеральная ли это совокупность или выборочная, и в подобной ситуации я не рекомендую ничего додумыватьсреднюю просто обозначаем через moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image096, без подстрочного индекса.

Вычислить среднюю – в экселевском файле уже забиты исходные данные и приведена краткая инструкция. Если под пальцами нет Экселя, то считаем на калькуляторе. Не ленимся! – заданий я предлагаю немного (у вас своих хватает :)), но прорешать их очень важно! Краткое решение для сверки в конце урока.

…какие мысли на счёт полученного значения moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image096 0000? С такой статистикой магазин разорится.

И, конечно, важнейший показатель здесь мода: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image098. Потому что такая мода 🙂 Более того, в прикладных исследованиях рассматривают несколько модальных значений (вроде даже в Экселе функция есть), в частности, ещё одной модой можно считать варианту moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image100. Но это уже попсовая статистика, которую я не буду развивать в этом курсе.

Ещё хуже (в содержательном плане) ситуация с медианой – продолжаем решать задачу в Экселе (ссылка выше) либо в тетради! Особо зоркие читатели медиану углядят и устно, и в конце урока я привёл способ, который просто бросился мне в глаза.

Теперь надеваем пиджаки / шляпы и возвращаемся на фабрику, где бухгалтер Петрова вычислила генеральную среднюю заработную плату рабочих: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image102денежных единиц. Здесь мы плавно перешли к интервальному ряду, который целесообразно составлять для «денежных» показателей.

Что будет, если к совокупности добавить руководящий персонал и директора Петрова? Средняя зарплата немного увеличится: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image104, и это уже будет несколько искажённая картина.

А вот если сюда добавить олигарха Петровского, то полученная средняя moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image106не только дезинформирует, но и вызовет широкое возмущение общественности.

Поэтому, если в статистической совокупности есть «аномальные» отклонения в ту или иную сторону, то в качестве оценки центрального значения как нельзя лучше подходит медиана, которая в нашем условном примере будет равна, скажем, moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image108. Ниже этой планки зарабатывает ровно половина совокупности и выше – другая половина, включая Петрова и Петровского. …Главное только, чтобы они наняли правильного статистика 🙂

Как вычислить моду, медиану и среднюю интервального ряда?

Начнём опять с ситуации, когда нам даны первичные статические данные:

По результатам выборочного исследования цен на ботинки в магазинах города получены следующие данные (ден. ед.):
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image110
– это в точности числа из Примера 6 статьи об интервальном вариационном ряде.

Но теперь нам нужно найти среднюю, моду и медиану.

Решение: чтобы найти среднюю по первичным данным, лучше всего просуммировать все варианты и разделить полученный результат на объём совокупности:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image112ден. ед.

Эти подсчёты, кстати, займут не так много времени и при использовании оффлайн калькулятора. Но если есть Эксель, то, конечно, забиваем в любую свободную ячейку =СУММ(, выделяем мышкой все числа, закрываем скобку ), ставим знак деления /, вводим число 30 и жмём Enter. Готово.

Что касается моды, то её оценка по исходным данным, становится непригодна. Хоть мы и видим среди чисел одинаковые, но среди них запросто может найтись пять так шесть-семь вариант с одинаковой максимальной частотой, например, частотой 2. Кроме того, цены могут быть округлёнными. Поэтому модальное значение рассчитывается по сформированному интервальному ряду (о чём чуть позже).

Чего не скажешь о медиане: забиваем в Эксель =МЕДИАНА(, выделяем мышью все числа, закрываем скобку ) и жмём Enter: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image114. Причём, здесь даже ничего не нужно сортировать.

Но в Примере 6 была проведена сортировка по возрастанию (вспоминаем и сортируем – ссылка выше), и это хорошая возможность повторить формальный алгоритм отыскания медианы. Делим объём выборки пополам:

moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image116, и поскольку она состоит из чётного количества вариант, то медиана равна среднему арифметическому 15-й и 16-й варианты упорядоченного (!) вариационного ряда:

moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image118ден. ед.

Ситуация вторая. Когда дан готовый интервальный ряд (типичная учебная задача).

Продолжаем анализировать тот же пример с ботинками, где по исходным данным был составлен ИВР. Для вычисления средней потребуются середины moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image008 0002интервалов:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image120
– чтобы воспользоваться знакомой формулой дискретного случая:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image122
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image124– отличный результат! Расхождение с более точным значением (moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image126), вычисленным по первичным данным, составляет всего 0,04.

По сути дела, здесь мы приблизили интервальный ряд дискретным, и это приближение оказалось весьма эффективным. Впрочем, особой выгоды тут нет, т.к. при современном программном обеспечении не составляет труда вычислить точное значение даже по очень большому массиву первичных данных. Но это при условии, что они нам известны 🙂

С другими центральными показателями всё занятнее.

Чтобы найти моду, нужно найти модальный интервал (с максимальной частотой) – в данной задаче это интервал moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image128с частотой 11, и воспользоваться следующей страшненькой формулой:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image130, где:

moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image132– нижняя граница модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image134– длина модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image136– частота модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image138– частота предыдущего интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image140– частота следующего интервала.

Таким образом:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image142ден. ед. – как видите, «модная» цена на ботинки заметно отличается от средней арифметической moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image144.

Не вдаваясь в геометрию формулы, просто приведу гистограмму относительных частот и отмечу moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image146:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image148
откуда хорошо видно, что мода смещена относительно центра модального интервала в сторону левого интервала с бОльшей частотой. Логично.

Справочно разберу редкие случаи:

– если модальный интервал крайний, то moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image150либо moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image152;

– если обнаружатся 2 модальных интервала, которые находятся рядом, например, moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image128 0000и moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image128 0001, то рассматриваем модальный интервал moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image154, при этом близлежащие интервалы (слева и справа) по возможности тоже укрупняем в 2 раза.

– если между модальными интервалами есть расстояние, то применяем формулу к каждому интервалу, получая тем самым 2 или бОльшее количество мод.

Вот такой вот депеш мод 🙂

И медиана. Если дан готовый интервальный ряд, то медиана рассчитывается чуть по менее страшной формуле, но сначала нудно (описка по Фрейду:)) найти медианный интервал – это интервал, содержащий варианту (либо 2 варианты), которая делит вариационный ряд на две равные части.

Выше я рассказал, как определить медиану, ориентируясь на относительные накопленные частоты moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image076 0000, здесь же сподручнее рассчитать «обычные» накопленные частоты moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image157. Вычислительный алгоритм точно такой же – первое значение сносим слева (красная стрелка), и каждое следующее получается как сумма предыдущего с текущей частотой из левого столбца (зелёные обозначения в качестве примера):
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image159
Всем понятен смысл чисел в правом столбце? – это количество вариант, которые успели «накопиться» на всех «пройденных» интервалах, включая текущий.

Поскольку у нас чётное количество вариант (30 штук), то медианным будет тот интервал, который содержит 30/2 = 15-ю и 16-ю варианту. И ориентируясь по накопленным частотам, легко прийти к выводу, что эти варианты содержатся в интервале moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image128 0002.

Формула медианы:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image161, где:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image163– объём статистической совокупности;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image132 0000– нижняя граница медианного интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image134 0000– длина медианного интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image165частота медианного интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image167накопленная частота предыдущего интервала.

Таким образом:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image169ден. ед. – заметим, что медианное значение, наоборот, оказалось смещено правее, т.к. по правую руку находится значительное количество вариант:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image171
И справочно особые случаи:

– Если медианным является крайний левый интервал, то moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image173;

– Если вариационный ряд содержит чётное количество вариант и две средние варианты попали в разные интервалы, то объединяем эти интервалы, и по возможности удваиваем предыдущий интервал

Ответ: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image175ден. ед.

Здесь центральные показатели оказались заметно отличны друг от друга, и это говорит об асимметрии распределения, которая хорошо видна по гистограмме.

И задача для тренировки:

Для изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена выборка, в результате которой получено следующее статистическое распределение:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image177
…да, тематичная у меня получилась статья 🙂

Найти среднюю, моду и медиану.

Это, кстати, уже каноничная «интервальная» задача, в которой исследуется непрерывная величина – время.

Решаем эту задачу в Экселе – все числа и инструкции уже там. Если нет Экселя, считаем на калькуляторе, что в данном случае может оказаться даже удобнее. Образец решения, как обычно, в конце урока.

Несмотря на разнообразия рассмотренных показателей, их всё равно бывает не достаточно. Существуют крайне неоднородные совокупности, у которых варианты «кучкуются» во многих местах, и по этой причине средняя, мода и медиана неудовлетворительно характеризуют центральную тенденцию.

В таких случаях вариационный ряд дробят с помощью квартилей, децилей, а в упоротых специализированных исследованиях – и с помощью перцентилей.

Квартили упорядоченного вариационного ряда – это варианты moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image777, которые делят его на 4 равные (по количеству вариант) части. Откуда автоматически следует, что 2-я квартиль – есть в точности медиана: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image778.

В тяжёлых случаях проводится разбиение на 10 частей – децилями moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image779– это варианты, который делят упорядоченный вариационный ряд на 10 равных (по количеству вариант) частей.

И в очень тяжелых случаях в ход пускается 99 перцентилей moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image780.

И после разбиения вариационного ряда каждый участок исследуется по отдельности – рассчитываются локальные средние показатели, локальные показатели вариации и т.д.

В учебном курсе квартили, децили, перцентили встречаются редко, и посему я оставляю этот материал (их нахождение) для самостоятельного изучения.

Ну а сейчас мы перейдём к рассмотрению другой группы статистических показателей – как раз к показателям вариации.

Пример 9. Решение: заполним расчётную таблицу:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image179
Вычислим среднюю:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image181– две с половиной пуговицы, Карл!
По правому столбцу определяем «иксовое» значение, которое делит совокупность на 2 равные части: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image183(именно здесь накопленная частота «перевалила» за 0,5).

Кроме того, медиану легко усмотреть и устно – поскольку половина совокупности равна moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image185, а сумма первых двух частот moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image187, то совершенно понятно, что 250-й и 251-й пиджак – двухпуговичные.

Пример 11. Решение: поскольку длина внутренних интервалов равна moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image191, то длины крайних интервалов полагаем такими же (см. конец статьи Интервальный вариационный ряд). Заполним расчётную таблицу:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image193

Вычислим выборочную среднюю:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image195мин.

Моду вычислим по формуле moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image130 0000, в данном случае:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image198– нижняя граница модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image191 0000– длина модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image201– частота модального интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image203– частота предшествующего интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image205– частота следующего интервала.
Таким образом:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image207мин.

Анализируя накопленные частоты, приходим к выводу, что медианным является интервал moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image209(именно он содержит 50-ю и 51-ю варианты, которые делят ряд пополам).
Медиану вычислим по формуле moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image161 0000, в данном случае:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image198 0000– нижняя граница медианного интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image191 0001– длина этого интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image214– объём статистической совокупности;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image216– частота медианного интервала;
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image218– накопленная частота предыдущего интервала.
Таким образом:
moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image220мин.

Ответ: среднее время изготовления детали характеризуется следующими центральными характеристиками: moda mediana generalnaya i vyborochnaya srednyaya clip image222

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector