чему равна объемная плотность энергии продольной волны

2.3. Энергия волны

Рассмотрим для примера звуковую волну. Элемент объема на рис. 2.2. имеет кинетическую энергию:

52clip image001

При его деформации в данном объеме газа запасается потенциальная энергия П. Рассматривая колебания поршня, мы получили выражение (1.13) для силы упругости при перемещении поршня на расстояние х:

28clip image003

Этот закон аналогичен закону Гука для силы упругости при сжатии или растяжении пружины. Следовательно, потенциальная энергия газа равна в данном случае

23clip image005

Произведение 24clip image007равно изменению объема газа под поршнем. Поэтому (3.35) можно записать в виде:

24clip image009

Применим это выражение к объему газа в звуковой волне. Давление в стационарном состоянии мы обозначили 25clip image011. Объем в стационарном состоянии равен 22clip image013. Изменение объема при колебаниях равно

24clip image015

Получаем тогда для потенциальной энергии данного объема газа:

18clip image017

Сумма кинетической и потенциальной энергии равна полной энергии данного объема. Плотность энергии w в волне получаем, разделив полную энергию на величину объема:

17clip image019

Учитывая, что фазовая скорость волны равна

16clip image021

записываем (2.38) в виде:

15clip image023

Точно такое же выражение получается для волны в твердом теле (неважно, продольной ли, поперечной ли) и для волны вдоль струны.

Подставляя сюда решение (2.22)

13clip image025

для монохроматической волны и учитывая соотношение

12clip image027

получаем для объемной плотности кинетической и потенциальной энергий одинаковые выражения

11clip image029

так что их сумма есть

8clip image031

Плотность энергии волны различна в разных точках пространства и в разные моменты времени. Зафиксируем какую-то точку х и усредним плотность энергии в данной точке по времени. Среднее значение квадрата синуса равно 1/2. Получаем тогда, что

среднее значение плотности энергии постоянно для всех точек среды и равно

00056(2.41)

Таким образом, среда обладает полным запасом энергии, плотность которой пропорциональна плотности среды, квадрату циклической частоты и квадрату амплитуды. Напомним, что для колебания системы с одной степенью свободы энергия колебания также была пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды колебания, а на месте плотности, стояла масса колеблющегося тела.

Если вернуться к выражению (2.40) для мгновенного значения плотности энергии, то легко убедиться, что любое взятое значение плотности энергии, например, ее максимум

7clip image035

перемещается вдоль оси х с фазовой скоростью волны скоростью v. Иными словами, волна переносит энергию. Эта энергия доставляется, естественно, от источника колебаний. Можно ввести также вектор плотности потока энергии

7clip image037

модуль которого численно равен энергии, переносимой в единицу времени через единичную площадку, ортогональную направлению распространения волны. Отметим, что приведенные выше соотношения предполагают равенство скорости 7clip image039переноса волной энергии фазовой скорости 8clip image041волны. Это имеет место лишь в том случае, когда нет дисперсии, то есть фазовая скорость волны не зависит от её волнового числа, а именно, когда 6clip image043.

Применения к звуковой волне

Смещение частиц газа описывается стандартным решением:

53clip image001

где фазовая скорость

29clip image003

Под р и 54clip image001понимаются давление и плотность невозмущенного волной газа.

Смещение частиц приводит к появлению избыточного давления

Источник

Плотность энергии упругой волны

image175.

44. Поток энергии и интенсивность волн

При распространении волны в пространстве от какого-либо источника происходит и распространение энергии; частицы среды, вовлекаемые в колебательное движение, получают энергию от волны. Проследим, как энергия от источника распространяется в пространстве.

Энергия мембраны есть энергия её движения, то есть чисто кинетическая энергия. (Мы полагаем мембрану безинерционной и неупругой, её колебания в точности соответствуют колебаниям магнитного поля.) Среду, в которой распространяется волна (воздух) будем считать идеальной, не поглощающей волну (реально это справедливо для небольших участков пространства, в пределах которых диссипацией энергии можно пренебречь).

Поскольку мембрана колеблется по синусоидальному закону, её энергия (кинетическая) также будет периодически меняться со временем, но с удвоенной частотой (энергия пропорциональна квадрату скорости и не зависит от её знака). Следовательно, энергия источника будет поступать в среду циклически, с частотой, в два раза большей частоты колебаний источника.

Какие формы принимает энергия в среде за мембраной? Во-первых, это кинетическая энергия частиц воздуха, пришедших в движение; во-вторых, поскольку среда упругая, это потенциальная энергия деформации воздуха. Причём и кинетическая, и потенциальная энергия в любой точке пространства изменяются абсолютно синхронно во времени: когда кинетическая энергия достигает максимума, то и потенциальная энергия максимальна, и наоборот. В самом деле, проследим за слоем воздуха непосредственно за мембраной: когда скорость мембраны максимальна, максимальна и скорость частиц воздуха, но при этом мы имеем и максимальное сжатие воздуха за мембраной. Когда скорость мембраны равна нулю (два раза за период), энергия мембраны равна нулю, в волну в эти моменты энергия не поступает.

image176

Объёмная плотность потенциальной энергии упруго деформируемой среды равна:

image177

image178image179

image180

Причём в каждой точке пространства объёмные плотности кинетической и потенциальной энергий равны. Этот вывод справедлив для любых волн в упругих средах: полная механическая энергия волны в каждой точке есть сумма двух равных слагаемых, потенциальной и кинетической энергий.

Из вышеприведённой формулы следует, что среднее за период значение объёмной плотности энергии равно:

image181

Скорость переноса энергии волной есть скорость перемещения в пространстве фиксированной амплитуды волны; для простой синусоидальной волны эта скорость совпадает с фазовой скоростью.

Введём новые понятия, характеризующие перенос энергии в пространстве.

Если скорость переноса энергии n, то поток энергии через площадку dS запишется: image182

Если площадка расположена не перпендикулярно направлению распространения энергии, следует писать в более общем виде: image183

Если площадка расположена параллельно вектору скорости, то, разумеется, поток энергии через неё равен нулю. Напомню, что под направлением ориентации площадки понимается направление нормали к её поверхности.

ПЛОТНОСТЬ ПОТОКА ЭНЕРГИИ U есть поток энергии через единичную площадку, то есть image184

Среднее значение модуля вектора плотности потока энергии (вектора Умова) есть ИНТЕНСИВНОСТЬ ВОЛНЫ:

image185

ДИСПЕРСИЯ ВОЛН— зависимость фазовой скорости гармонических волн в среде от частоты их колебаний. Дисперсия волн наблюдается для волн любой природы. Наличие дисперсии волн приводит к искажению формы сигнала (напр., звукового импульса) при распространении в среде. Дисперсия света наблюдается в виде разложения света в спектр, напр. при прохождении его сквозь стеклянную призму. Дисперсия света при преломлении обусловлена зависимостью показателя преломления n среды от частоты w света; в прозрачном веществе наблюдается увеличение n с ростом w (нормальная дисперсия), возможно и уменьшение n с увеличением w (аномальная дисперсия).

image186 (7.1)

Здесь image187некоторые константы, определяемые на основе сравнения экспериментальной зависимости с соотношением (7.1), image188— длина электромагнитной волны в вакууме.

Вместо многоэлементного детектора на выходе спектрального прибора может быть помещена узкая выходная щель в фокусе камерного объектива. После щели устанавливается электронный детектор оптического излучения (фотоумножитель или фотоэлемент). При вращении призмы вокруг своей оси с помощью специального поворотного устройства, снабженного шаговым двигателем, происходит сканирование спектра на выходной щели. Такой спектральный прибор называется спектрометром или монохроматором. Современные спектрометры и спектрографы оснащены компьютером, управляющим поворотом призмы и накапливающим информацию о наблюдаемых спектрах для различных материальных сред. При этом более эффективным оказалось использование, вместо призмы, дифракционной решетки, также осуществляющей разложение падающего на неё параллельного пучка электромагнитного излучения в спектр.

Оптические устройства, с помощью которых измеряются значения показателя преломления различных материальных сред, называются рефрактометрами. В настоящее время показатель преломления n в видимой области для многих веществ измерен с высокой точностью (несколько знаков после запятой).

Источник

Физика Б1.Б8.

Электронное учебное пособие по разделу курса физики Механика

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

Введение

Механика – это раздел физики, который изучает наиболее простой вид движения материи – механическое движение и причины, вызывающие или изменяющие это движение.

Механическое движение это изменение во времени взаимного расположения тел или частей одного и того же тела. Причиной, вызывающей механическое движение тела или его изменение, является воздействие со стороны других тел.

Развитие механики началось еще в древние времена, однако, как наука она формировалась в средние века. Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем (1564-1642) и английским ученым И. Ньютоном (1643-1727).

Механику Галилея-Ньютона принято называть классической механикой. В ней изучается движение макроскопических тел, скорости которых значительно меньше скорости света с в вакууме. Законы движения тел со скоростями, близкими к скорости света сформулированы А. Эйнштейном (1879-1955), они отличаются от законов классической механики. Теория Эйнштейна называется специальной теорией относительности и лежит в основе релятивистской механики. Законы классической механики неприемлемы к описанию движения микроскопических тел (элементарных частиц – электронов, протонов, нейтронов, атомных ядер, самих атомов и т.д.) их движение описывается законами квантовой механики.

Механика состоит из трех разделов: кинематики, динамики и статики. Кинематика дает математическое описание движения, не касаясь причин, которыми вызвано движение. Динамика – основной раздел механики, она изучает законы движения тел и причины, которыми вывзывается движение и его изменение. Статика изучает законы равновесия системы тел под действием приложенных сил. Мы ограничимся изучением двух основных разделов – кинематики и динамики.

В механике для описания движения в зависимости от условий решаемой задачи пользуются различными упрощающими моделями: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело, и т.д. Выбор той или иной модели диктуется необходимостью учесть в задаче все существенные особенности реального движения и отбросить несущественные, усложняющие решение.

Материальная точка – это тело обладающее массой, размеры и форма которого несущественны в данной задаче. Любое твердое тело или систему тел можно рассматривать как систему материальных точек. Для этого любое тело или тела системы нужно мысленно разбить на большое число частей так, чтобы размеры каждой части были пренебрежимо малы по сравнению с размерами самих тел.

Абсолютно твердое тело – это тело, расстояние между любыми точками которого остается неизменным в процессе движения или взаимодействия. Эта модель пригодна, когда можно пренебречь деформацией тел в процессе движения.

Абсолютно упругое и абсолютно неупругое тело – это два предельных случая реальных тел, деформациями которых можно и нельзя пренебречь в изучаемых процессах.

Любое движение рассматривается в пространстве и времени. В пространстве определяется местоположение тела, во времени происходит смена местоположений или состояний тела в пространстве, время выражает длительность состояния движения или процесса. Пространство и время –это два фундаментальных понятия, без которых теряется смысл понятия движения: движения не может быть вне времени и пространства.

Источник

Савельев И.В. Курс общей физики, том I

spacer
Загрузить всю книгу pdf zip

Титульный лист

Главная редакция физико-математической литературы

Механика, колебания и волны,

КУРС ОБЩЕЙ ФИЗИКИ, ТОМ I

Главная цель книги — познакомить студентов прежде всего с основными идеями и методами физики. Особое внимание обращено на разъяснение смысли физических законов и на сознательное применение их. Несмотря на сравнительно небольшой объем, книга представляет собой серьезное руководство, обеспечивающее подготовку, достаточную для успешного усвоения в дальнейшем теоретической физики и других физических дисциплин.

Предисловие к четвертому изданию

При подготовке к настоящему изданию книга была значительно переработана. Написаны заново (полностью или частично) параграфы 7, 17, 18, 22, 27, 33, 36, 37, 40, 43, 68, 88. Существенные добавления или изменения сделаны в параграфах 2, 11, 81, 89, 104, 113.

Ранее, при подготовке ко второму и третьему изданиям были написаны заново параграфы 14, 73, 75. Существенные изменения или добавления были внесены в параграфы 109, 114, 133, 143.

Таким образом, по сравнению с первым изданием облик первого тома заметно изменился. Эти изменения отражают методический опыт, накопленный автором последние десять лет преподавания обшей физики в Московском инженерно-физическом институте.

Ноябрь 1969 г. И. Савельев

Из предисловия к четвертому изданию

Предлагаемая вниманию читателей книга представляет собой первый том учебного пособия по курсу общей физики для втузов. Автор в течение ряда лет преподавал общую физику в Московском инженерно-физическом институте. Естественно поэтому, что пособие он писал имея в виду прежде всего студентов инженерно-физических специальностей втузов.

При написании книги автор стремился познакомить учащихся с основными идеями и методами физической науки, научить их физически мыслить. Поэтому книга не является по своему характеру энциклопедичной, содержание в основном посвящено тому, чтобы разъяснить смысл физических законов и научить сознательно применять их. Не осведомленности читателя по максимально широкому кругу вопросов, а глубоких знаний фундаментальным основам физической пауки — вот что стремился добиться автор.

Источник

Энергетические характеристики волны

Среда, в которой распространяется волна, обладает механической энергией, складывающейся из энергий колебательного движения всех ее частиц. Энергия одной частицы с массой m0 находится по формуле (1.21): Е0 = m0 Α 2 ω 2 /2. В единице объема среды содержится n = p/m0 частиц — плотность среды). Поэтому единица объема среды обладает энергией wр = nЕ0 = ρΑ 2 ω 2 /2.

При распространении волны энергия, сообщаемая источником, переносится в удаленные области.

Для количественного описания переноса энергии вводят следующие величины.

image010Можно показать, что интенсивность волны равна произведению скорости ее распространения на объемную плотность энергии

image0112.5. Некоторые специальные разновидности

Волн

1. Ударные волны. При распространении звуковых волн скорость колебания частиц не превышает нескольких см/с, т.е. она в сотни раз меньше скорости волны. При сильных возмущениях (взрыв, движение тел со сверхзвуковой скоростью, мощный электрических разряд) скорость колеблющихся частиц среды может стать сравнимой со скоростью звука. При этом возникает эффект, называемый ударной волной.

При взрыве нагретые до высоких температур продукты, обладающие большой плотностью, расширяются и сжимают тонкий слой окружающего воздуха.

Ударная волна может обладать значительной энергией. Так, при ядерном взрыве на образование ударной волны в окружающей среде затрачивается около 50 % всей энергии взрыва. Ударная волна, достигая объектов, способна вызвать разрушения.

2. Поверхностные волны. Наряду с объемными волнами в сплошных средах при наличии протяженных границ могут существовать волны, локализованные вблизи границ, которые играют роль волноводов. Таковы, в частности, поверхностные волны в жидкости и упругой среде, открытые английским физиком В. Стреттом (лордом Релеем) в 90-х годах 19 века. В идеальном случае волны Релея распространяются вдоль границы полупространства, экспоненциально затухая в поперечном направлении. В результате поверхностные волны локализуют энергию возмущений, созданных на поверхности, в сравнительно узком приповерхностном слое.

Примером таких волн могут служить волны в земной коре (сейсмические волны). Глубина проникновения поверхностных волн составляет несколько длин волн. На глубине, равной длине волны λ, объемная плотность энергии волны составляет приблизительно 0,05 ее объемной плотности на поверхности. Амплитуда смещения быстро убывает при удалении от поверхности и на глубине нескольких длин волн практически исчезает.

3. Волны возбуждения в активных средах.

Описание процессов распространения автоволн в активных средах используется при изучении распространения потенциалов действия по нервным и мышечным волокнам.

Таблица 2.2.Сравнение автоволн и обычных механических волн

image0122.6. Эффект Доплера и его использование в медицине

Эффект Доплера состоит в изменении частоты колебаний, воспринимаемой наблюдателем, вследствие относительного движения источника колебаний и наблюдателя.

Эффект наблюдается в акустике и оптике.

Получим формулу, описывающую эффект Доплера, для случая, когда источник и приемник волны движутся относительно среды вдоль одной прямой со скоростями vИ и vП соответственно. Источник совершает гармонические колебания с частотой ν0 относительно своего равновесного положения. Волна, созданная этими колебаниями, распространяется в среде со скоростью v. Выясним, какую частоту колебаний зафиксирует в этом случаеприемник.

Возмущения, создаваемые колебаниями источника, распространяются в среде и достигают приемника. Рассмотрим одно полное колебание источника, которое начинается в момент времени t1 = 0

image014Рис. 2.2.Взаимное расположение источника и приемника в моменты t1 и t2

image015Эта формула справедлива для случая, когда скорости vи и vпнаправлены навстречу друг другу. В общем случае при движении

источника и приемника вдоль одной прямой формула для эффекта Доплера принимает вид

image017Рис. 2.3.Выбор знаков для скоростей источника и приемника волн

Применив формулу (2.7) дважды, получим формулу для частоты, фиксируемой системой после отражения испущенного сигнала:

Измерив доплеровский сдвиг частоты, из формулы (2.8) можно найти скорость движения отражающего тела:

image019Знак «+» соответствует движению тела навстречу излучателю.

Эффект Доплера используется для определения скорости кровотока, скорости движения клапанов и стенок сердца (доплеровская эхокардиография) и других органов. Схема соответствующей установки для измерения скорости крови показана на рис. 2.4.

Пример. Определить скорость кровотока в артерии, если при встречном отражении ультразвука 0= 100 кГц = 100 000 Гц, v = 1500 м/с) от эритроцитов возникает доплеровский сдвиг частоты νД = 40 Гц.

Решение. По формуле (2.9) найдем:

v0 = vДv/2v0= 40x1500/(2x100 000) = 0,3 м/с.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector