чему равна площадь 6 угольника

Содержание

Как найти площадь шестиугольника по формуле?

С вопросом: «Как найти площадь шестиугольника?», можно столкнуться не только на экзамене по геометрии и т.п., эти знания пригодятся и в быту, например, для правильного и точного вычисления площади помещения в процессе ремонта. Подставив в формулу требуемые значения, получится определить нужное количество рулонов обоев, плитки в ванную или на кухню и т.д.

Немного фактов из истории

Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и прочих государствах, существовавших в одно время с ним. Вычисления помогали при возведении значительных сооружений, так как благодаря ей зодчие знали как выдержать вертикаль, правильно составить план, определить высоту.

Эстетика тоже имела большое значение, и здесь снова шла в ход геометрия. Сегодня этой науки нужны строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту тоже.

Поэтому лучше уметь рассчитывать S фигур, понимать, что формулы могут пригодиться на практике.

geometriya v drevnem vavilone

Площадь правильного 6-угольника

Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.

Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.

Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.

postroenie pravilnogo shestiugolnika

Расчет

Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.

formula rascheta 1

Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.

Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.

Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:

Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема

Считаем:

Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².

Как находить площадь неправильного шестиугольника

Есть несколько вариантов:

Выбор способа диктуется исходными данными.

Метод трапеции

Шестиугольник делится на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь каждой полученной фигуры.

formula rascheta 2

Использование осей координат

Используем координаты вершин многоугольника:

Разбивка шестиугольника на другие фигуры

Многоугольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. Пользуясь формулами вычисления площадей перечисленных фигур, требуемые значения вычисляются и складываются.

Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Чтоб вычислить площадь параллелограмма, его длина умножается на его ширину, а далее уже известные две площади складываются.

Площадь равностороннего шестиугольника

У правильного шестиугольника шесть равных сторон. Площадь равносторонней фигуры равна 6S треугольников, на которые разбит правильный шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры довольно знать площадь хотя б одного треугольника.

formula rascheta ploschadi treugolnika

Чтоб найти искомое значение пользуются формулой площади правильной фигуры, описанной выше.

Источник

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

ploshad shestiugolnika 3

ploshad shestiugolnika 1

Формула получена следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:

ploshad shestiugolnika 5

ploshad shestiugolnika 2

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

ploshad shestiugolnika 9

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

ploshad shestiugolnika 8

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

ploshad shestiugolnika 6

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
ploshad shestiugolnika 12

Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
ploshad shestiugolnika 11

Источник

Правильный шестиугольник и его свойства

Определение

Выпуклый многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все его углы равны.

Замечание

Пример

Каждый угол правильного четырехугольника (т.е. квадрата) равен \(\dfrac <4-2>4\cdot 180^\circ=90^\circ\) ;

Теоремы

1. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.

2. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность, и притом только одну.

Следствия

1. Окружность, вписанная в правильный многоугольник, касается всех его сторон в серединах.

2. Центры вписанной и описанной окружности у правильного многоугольника совпадают.

Теорема

Если \(a\) – сторона правильного \(n\) –угольника, \(R\) и \(r\) – радиусы описанной и вписанной окружностей соответственно, то верны следующие формулы: \[\begin S&=\dfrac n2ar\\ a&=2R\cdot \sin\dfrac<180^\circ>n\\ r&=R\cdot \cos\dfrac<180^\circ>n \end\]

T B 6 7 1

Свойства правильного шестиугольника

2. Радиус описанной окружности является биссектрисой угла правильного шестиугольника.

5. Диагонали пересекаются в одной точке и делят его на 6 равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу \(r\) вписанной в правильный шестиугольник окружности.

6. Инвариантен относительно поворота плоскости на угол, кратный \(60^\circ\) относительно центра описанной окружности (слово “инвариантный” означает, что при таких поворотах правильный шестиугольник перейдёт в себя, то есть такие повороты являются его симметриями).

Замечание

Источник

Калькулятор площади шестиугольника

Шестиугольник или гексагон — это правильный многоугольник, у которого стороны равны между собой, а каждый угол равен строго 120 градусов. Гексагон иногда встречается в человеческой повседневности, поэтому вам может понадобиться вычислить его площадь не только в школьных задачах, но и в реальной жизни.

Выпуклый шестиугольник

Гескагон — это правильный выпуклый многоугольник, соответственно, все его углы равны, все стороны равны, а если провести отрезок через две соседние вершины, то вся фигура окажется по одну сторону от этого отрезка. Как и в любой правильный n-угольник, вокруг гексагона можно описать окружность или вписать ее вовнутрь. Главная особенность шестиугольника заключается в том, что длина радиуса описанной окружности совпадает с длиной стороны многоугольника. Благодаря этому свойству можно легко найти площадь гексагона по формуле:

Кроме того, радиус вписанной окружности соотносится со стороной фигуры как:

Из этого следует, что вычислить площадь шестиугольника можно, оперируя одной из трех переменных на выбор.

Гексаграмма

Звездчатый правильный шестиугольник предстает перед нами в виде шестиконечной звезды. Такая фигура образуется путем наложения друг на друга двух равносторонних треугольников. Самой известной реальной гексаграммой является Звезда Давида — символ еврейского народа.

Шестиугольные числа

В теории чисел существуют фигурные числа, связанные с определенными геометрическими фигурами. Наибольшее применение находят треугольные и квадратные, а также тетраэдрические и пирамидальные числа, используя которые легко выкладывать геометрические фигуры при помощи реальных предметов. Например, пирамидальные числа подскажут вам, как сложить пушечные ядра в устойчивую пирамиду. Существуют также и шестиугольные числа, которые определяют число точек, необходимое для построения гексагона.

Шестиугольник в реальности

Гексагоны часто встречаются в реальной жизни. К примеру, сечения гаек или карандашей имеют шестиугольную форму, благодаря чему обеспечивается удобный обхват предмета. Шестиугольник — это эффективная геометрическая фигура, способная замостить плоскость без пробелов и наложений. Именно поэтому шестиугольную форму часто имеют декоративные отделочные материалы, например, кафельная и тротуарная плитка или гипсокартонные панели.

Эффективность гексагона делает его популярным и в природе. Пчелиные соты обладают именно шестиугольной формой, благодаря которой пространство улья заполняется без пробелов. Еще одним примером гексагонального замощения плоскости является Тропа Великанов — памятник живой природы, сформированный во время извержения вулкана. Вулканический пепел был спрессован в шестиугольные колонны, которые замостили поверхность побережья Северной Ирландии.

Упаковка кругов на плоскости

И еще немного об эффективности гексагона. Упаковка шаров — классическая задача комбинаторной геометрии, которая требует найти оптимальный способ укладки непересекающихся шаров. На практике такая задача превращается в логистическую проблему упаковки апельсинов, яблок, пушечных ядер или любых других шарообразных объектов, которые требуется уложить максимально плотно. Гескагон — решение данной проблемы.

Известно, что наиболее эффективным расположением кругов в двухмерном пространстве является размещение центров окружностей на вершинах шестиугольников, которые заполняют плоскость без пробелов. В трехмерной реальности задача размещения шаров решается путем гексагональной укладки объектов.

При помощи нашего калькулятора вы можете вычислить площадь правильного шестиугольника, зная его сторону или радиусы соответствующих окружностей. Давайте попробуем вычислить площади гексагонов на реальных примерах.

Примеры из реальной жизни

Гигантский гексагон

Гигантский гексагон — уникальное атмосферное явление на Сатуре, которое выглядит как грандиозный вихрь в форме правильного шестиугольника. Известно, что сторона гигантского гексагона составляет 13 800 км, благодаря чему мы можем определить площадь «облака». Для этого достаточно ввести значение стороны в форму калькулятора и получить результат:

Таким образом, площадь атмосферного вихря на Сатурне приблизительно составляет 494 777 633 квадратных километров. Поистине впечатляет.

Гексагональные шахматы

Мы все привыкли к шахматному полю, разделенному на 64 квадратные ячейки. Однако существуют и гексагональные шахматы, игровое поле которых разделено на 91 правильный шестиугольник. Давайте определим площадь игровой доски для гексагональной версии известной игры. Пусть сторона ячейки составляет 2 сантиметра. Площадь одной игровой клетки составит:

Тогда площадь всей доски будет равна 91 × 10,39 = 945,49 квадратных сантиметров.

Заключение

Шестиугольник часто встречается в реальности, хотя мы и не замечаем этого. Используйте наш онлайн-калькулятор для расчета площадей гексагонов при решении повседневных или школьных задач.

Источник

Правильные многоугольники

dot5Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника
dot5Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника
dot5Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника
dot5Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Правильными многоугольниками называют выпуклые многоугольники, у которых все углы равны и все стороны равны.

Замечание 1. В любой правильный многоугольник можно вписать окружность.

Замечание 2. Около любого правильного многоугольника можно описать окружность.

Число вершин правильного многоугольника Сторона правильного многоугольника Радиус вписанной окружности Радиус описанной окружности Периметр Площадь
n a r R P S
Число вершин правильного многоугольника n
Сторона правильного многоугольника a
Радиус вписанной окружности r
Радиус описанной окружности R
Периметр P
Площадь S

Формулы для стороны, периметра и площади правильного n – угольника

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр reg1 P = an Выражение периметра через сторону
Площадь reg2 reg1 Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Площадь reg3 reg2 Выражение площади через сторону
Сторона reg3 Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр reg4 Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь reg5 Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона reg4 reg6 Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр reg7 Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь reg8 Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

reg1

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

reg3

reg4

Выражение периметра через радиус описанной окружности

reg4

reg7

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

reg2

reg1

Выражение площади через сторону

reg3

reg2

Выражение площади через радиус вписанной окружности

reg3

reg5

Выражение площади через радиус описанной окружности

reg4

reg8

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

reg3

reg3

Выражение стороны через радиус описанной окружности

reg4

reg6

Формулы для стороны, периметра и площади правильного треугольника

reg9

reg13

reg16

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр reg5 P = 3a Выражение периметра через сторону
Площадь Выражение площади через сторону
Площадь reg7 reg10 Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона reg11 Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр reg12 Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона reg8 reg14 Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр reg15 Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

reg5

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

reg7

reg12

Выражение периметра через радиус описанной окружности

reg8

reg15

Выражение площади через сторону

reg5

reg9

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

reg7

reg10

Выражение площади через радиус вписанной окружности

reg7

reg13

Выражение площади через радиус описанной окружности

reg8

reg16

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

reg7

reg11

Выражение стороны через радиус описанной окружности

reg8

reg14

Формулы для стороны, периметра и площади правильного шестиугольника

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр reg9 P = 6a Выражение периметра через сторону
Площадь reg17 Выражение площади через сторону
Площадь S = 3ar Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности
Сторона reg18 Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр reg19 Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь reg20 Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона reg10 a = R Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр P = 6R Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь reg21 Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

reg9

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

reg9

reg19

Выражение периметра через радиус описанной окружности

reg10

Выражение площади через сторон

reg9

reg17

Выражение площади через сторону и радиус вписанной окружности

reg9

Выражение площади через радиус вписанной окружности

reg9

reg20

Выражение площади через радиус описанной окружности

reg10

reg21

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

reg9

reg18

Выражение стороны через радиус описанной окружности

reg10

Формулы для стороны, периметра и площади квадрата

Величина Рисунок Формула Описание
Периметр reg11 P = 4a Выражение периметра через сторону
Площадь S = a 2 Выражение площади через сторону
Сторона reg12 a = 2r Выражение стороны через радиус вписанной окружности
Периметр P = 8r Выражение периметра через радиус вписанной окружности
Площадь S = 4r 2 Выражение площади через радиус вписанной окружности
Сторона reg13 reg24 Выражение стороны через радиус описанной окружности
Периметр reg25 Выражение периметра через радиус описанной окружности
Площадь S = 2R 2 Выражение площади через радиус описанной окружности

Выражение периметра через сторону

reg11

Выражение периметра через радиус вписанной окружности

reg12

Выражение периметра через радиус описанной окружности

reg13

reg25

Выражение площади через сторону

reg11

Выражение площади через радиус вписанной окружности

reg12

Выражение площади через радиус описанной окружности

reg13

Выражение стороны через радиус вписанной окружности

reg12

Выражение стороны через радиус описанной окружности

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector