чему равна площадь фигуры ограниченной линиями

1.8. Как вычислить площадь с помощью определённого интеграла?

Задачка это школьная, но, несмотря на то, почти 100% встретится в вашем курсе высшей математики. Поэтому со всей серьёзностью отнесёмся ко ВСЕМ примерам, и первое, что нужно сделать – это ознакомиться с Приложением Графики функций, чтобы освежить в памяти технику построения элементарных графиков. …Есть? Отлично! Типовая формулировка задания звучит так:

Пример 10
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image002.

И первый важнейший этап решения состоит как раз в построении чертежа. При этом я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потомпараболы, гиперболы, графики других функций.

В нашей задаче: прямая 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image004определяет ось 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006, прямые 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image008параллельны оси 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image010и парабола 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image012симметрична относительно оси 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image010 0000, для неё находим несколько опорных точек:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image015

Искомую фигуру желательно штриховать:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image017

Второй этап состоит в том, чтобы правильно составить и правильно вычислить определённый интеграл. На отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image019график функции 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image021расположен над осью 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0000, поэтому искомая площадь:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image024

Ответ: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image026

После того, как задание выполнено, полезно взглянуть на чертёж
и прикинуть, реалистичный ли получился ответ.

И мы «на глазок» подсчитываем количество заштрихованных клеточек – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получилось, скажем, 20 квадратных единиц, то, очевидно, где-то допущена ошибка – в построенную фигуру 20 клеток явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 11
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image028и осью 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0001

Быстренько разминаемся (обязательно!) и рассматриваем «зеркальную» ситуацию – когда криволинейная трапеция расположена под осью 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0002:

Пример 12
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image031, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image033и координатными осями.

Решение: найдём несколько опорных точек для построения экспоненты:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image035
и выполним чертёж, получая фигуру площадью около двух клеток:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image037
Если криволинейная трапеция расположена не выше оси 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0003, то её площадь можно найти по формуле: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image039.
В данном случае: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image041

Ответ: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image043– ну что же, очень и очень похоже на правду.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому от простейших школьных задачек мы переходим к более содержательным примерам:

Пример 13
Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image045, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image047.

Решение: сначала нужно выполнить чертеж, при этом нас особо интересуют точки пересечения параболы 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image045 0000и прямой 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image047 0000, поскольку здесь будут находиться пределы интегрирования. Найти их можно двумя способами. Первый способ – аналитический. Составим и решим уравнение:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image051
таким образом:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image053

Достоинство аналитического способа состоит в его точности, а недостаток – в длительности (и в этом примере нам ещё повезло). Поэтому во многих задачах бывает выгоднее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой».

С прямой 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image047 0001всё понятно, а вот для построения параболы удобно найти её вершину, для этого возьмём производную и приравняем её к нулю:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image055– именно в этой точке и будет находиться вершина. И, в силу симметрии параболы, остальные опорные точки найдём по принципу «влево-вправо»:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image057

Выполним чертеж:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image059

А теперь рабочая формула: если на отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image061некоторая непрерывная функция 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image063больше либо равна непрерывной функции 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image065, то площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций и отрезками прямых 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image067, можно найти по формуле:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image069

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, а, грубо говоря, важно, какой из двух графиков ВЫШЕ.

В нашем примере очевидно, что на отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image071парабола располагается выше прямой, а поэтому из 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image073нужно вычесть 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image075

Завершение решения может выглядеть так:

На отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image077: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image079, по соответствующей формуле:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image081

Ответ: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image083

Следует отметить, что простые формулы, рассмотренные в начале параграфа – это частные случаи формулы 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image085. Поскольку ось 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0004задаётся уравнением 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image088, то одна из функций будет нулевой, и в зависимости от того, выше или ниже лежит криволинейная трапеция, мы получим формулу 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image090либо 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image092

А сейчас пара типовых задач для самостоятельного решения

Пример 14
Найти площадь фигур, ограниченных линиями:

а) 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image094, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image096.

б) 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image098, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image100, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image102

Решение с чертежами и краткими комментариями в конце книги

В ходе решения рассматриваемой задачи иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, интеграл решён правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз ошибался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 15
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image104

Решение: выполним бесхитростный чертёж,
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image106
хитрость которого состоит в том, что искомая площадь заштрихована зелёным цветом (внимательно смотрИте на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована серым цветом! Особое коварство состоит в том, что прямую 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image108можно недочертить до оси 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0005, и тогда мы вовсе не увидим нужную фигуру.

Этот пример ещё и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определённых интегралов. Действительно:

1) на отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image111над осью 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0006расположен график прямой 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image114;
2) на отрезке 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image116над осью 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image006 0007расположен график гиперболы 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image118.

Совершенно понятно, что площади можно (и нужно) сложить:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image120

Ответ: 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image122

И познавательный пример для самостоятельного решения:

Пример 16
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image124, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image126, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image128и координатными осями.

Итак, систематизируем важные моменты этой задачи:

На первом шаге ВНИМАТЕЛЬНО изучаем условие – КАКИЕ функции нам даны? Ошибки бывают даже здесь, в частности, арккотангенс 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image130зачастую принимают за арктангенс. Это, кстати, относится и к другим заданием, где встречается арккотангенс.

Далее следует ПРАВИЛЬНО выполнить чертёж. Сначала лучше построить прямые (если они есть), затем графики других функций (если они есть J). Последние во многих случаях выгоднее строить поточечно – найти несколько опорных точек и аккуратно соединить их линией.

Но здесь могут подстерегать следующие трудности. Во-первых, из чертежа не всегда понятны пределы интегрирования – так бывает, когда они дробные. На mathprofi.ru в соответствующей статье я рассмотрел пример с параболой 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image132и прямой 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image134, где из чертежа не понятна одна из точек их пересечения. В таких случаях следует использовать аналитический метод, составляем уравнение:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image136
и находим его корни:
1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image138нижний предел интегрирования, 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image140верхний предел.

Во-вторых, не всегда понятен «внешний вид» линии, и функция 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image124 0000(Пример 16) – яркий тому пример. Я и сам «с ходу» не представляю, как выглядит график этой функции. Здесь можно воспользоваться специализированными программами или онлайн сервисами (а-ля «построить график онлайн»), а в экстремальной ситуации найти побольше опорных точек (штук 10-15), чтобы поточнее провести «неизвестную» кривую.
Ну и, конечно, я призываю вас повышать свои знания и навыки в графиках, в частности, приведу прямую ссылку на особо полезную статью:
http://mathprofi.ru/kak_postroit_grafik_funkcii_s_pomoshyu_preobrazovanii.html

После того, как чертёж построен, анализируем полученную фигуру – ещё раз окидываем взглядом предложенные функции и перепроверяем, ТА ЛИ это фигура. Затем анализируем её форму и расположение, бывает, что площадь достаточно сложнА и тогда её следует разделить на две, а то и на три части.

Составляем определённый интеграл или несколько интегралов по формуле 1 8 kak vychislit ploshad figury s pomoshyu opredelennogo integrala clip image069 0000, все основные вариации мы разобрали выше.

Решаем определённый интеграл (ы). При этом он может оказаться достаточно сложным, и тогда применяем поэтапный алгоритм: 1) находим первообразную и проверяем её дифференцированием, 2) используем формулу Ньютона-Лейбница.

Результат полезно проверить с помощью программного обеспечения / онлайн сервисов или просто «прикинуть» по чертежу по клеточкам. Но и то, и другое не всегда осуществимо, поэтому крайне внимательно относимся к каждому этапу решения!

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Источник

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

image010

image013

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

image016

image018

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

image026

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

image029

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Решение

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

image032

Ответ: S ( G ) = 59 6

Решение

Нанесем линии на график.

image038

Решение

image053

Обозначим точки пересечения линий.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Вариант №2

Получим искомую площадь:

Решение

image070

Отметим точки пересечения.

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

image074

Тогда площадь фигуры равна:

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

image076

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector