чему равна площадь криволинейной трапеции

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

image010

image013

Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

Графическая иллюстрация будет иметь вид:

image016

image018

Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

Проиллюстрируем на графике общий случай.

image026

Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

Решение

Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

image029

Ответ: S ( G ) = 13

Рассмотрим более сложный пример.

Решение

Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

image032

Ответ: S ( G ) = 59 6

Решение

Нанесем линии на график.

image038

Решение

image053

Обозначим точки пересечения линий.

Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

Вариант №1

Вариант №2

Получим искомую площадь:

Решение

image070

Отметим точки пересечения.

Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

Способ №1

Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

image074

Тогда площадь фигуры равна:

Способ №2

Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

image076

Таким образом, площадь равна:

Как видите, значения совпадают.

Ответ: S ( G ) = 11 3

Итоги

Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

Источник

Решение задач по математике онлайн

//mailru,yandex,google,vkontakte,odnoklassniki,instagram,wargaming,facebook,twitter,liveid,steam,soundcloud,lastfm, // echo( ‘

Калькулятор онлайн.
Вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции).

Этот математический калькулятор онлайн поможет вам вычислить определенный интеграл (площадь криволинейной трапеции). Программа для вычисления определенного интеграла (площади криволинейной трапеции) не просто даёт ответ задачи, она приводит подробное решение с пояснениями, т.е. отображает процесс интегрирования функции.

Данная программа может быть полезна учащимся старших классов общеобразовательных школ при подготовке к контрольным работам и экзаменам, при проверке знаний перед ЕГЭ, родителям для контроля решения многих задач по математике и алгебре. А может быть вам слишком накладно нанимать репетитора или покупать новые учебники? Или вы просто хотите как можно быстрее сделать домашнее задание по математике или алгебре? В этом случае вы также можете воспользоваться нашими программами с подробным решением.

Таким образом вы можете проводить своё собственное обучение и/или обучение своих младших братьев или сестёр, при этом уровень образования в области решаемых задач повышается.

Немного теории.

Определенный интеграл.
Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача 1 (о вычислении площади криволинейной трапеции).
1

В декартовой прямоугольной системе координат xOy дана фигура (см. рисунок), ограниченная осью х, прямыми х = a, х = b (a \( S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_)\Delta x_ \)
Здесь ради единообразия обозначений мы считаем, что a = х0, b = xn;
\( \Delta x_0 \) — длина отрезка [x0; x1],
\( \Delta x_1 \) — длина отрезка [x1; x2], и т.д;
при этом, как мы условились выше, \( \Delta x_0 = \dots = \Delta x_ \)

Подведем итоги. Решения различных задач свелись к одной и той же математической модели. Многие задачи из различных областей науки и техники приводят в процессе решения к такой же модели. Значит, данную математическую модель надо специально изучить.

Понятие определенного интеграла

В курсе математического анализа доказано, что этот предел в случае непрерывной (или кусочно-непрерывной) функции существует. Его называют определенным интегралом от функции y = f(x) по отрезку [а; b] и обозначают так:
\( \int\limits_a^b f(x) dx \)
Числа a и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним).

Вернемся к рассмотренным выше задачам. Определение площади, данное в задаче 1, теперь можно переписать следующим образом:
\( S = \int\limits_a^b f(x) dx \)
здесь S — площадь криволинейной трапеции, изображенной на рисунке выше. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Определение перемещения s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = a до t = b, данное в задаче 2, можно переписать так:
\( S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

Формула Ньютона — Лейбница

Для начала ответим на вопрос: какая связь между определенным интегралом и первообразной?

Ответ можно найти в задаче 2. С одной стороны, перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v = v(t), за промежуток времени от t = а до t = b и вычисляется по формуле
\( S = \int\limits_a^b v(t) dt \)

В курсе математического анализа доказана следующая теорема.
Теорема. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула
\( S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) \)
где F(x) — первообразная для f(x).

Приведенную формулу обычно называют формулой Ньютона — Лейбница в честь английского физика Исаака Ньютона (1643—1727) и немецкого философа Готфрида Лейбница (1646— 1716), получивших ее независимо друг от друга и практически одновременно.

Вычисляя определенный интеграл, сначала находят первообразную, а затем осуществляют двойную подстановку.

Опираясь на формулу Ньютона — Лейбница, можно получить два свойства определенного интеграла.

Свойство 1. Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов:
\( \int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx \)

Свойство 2. Постоянный множитель можно вынести за знак интеграла:
\( \int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx \)

Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла

3

Итак, площадь S фигуры, ограниченной прямыми х = а, х = b и графиками функций y = f(x), y = g(x), непрерывных на отрезке [a; b] и таких, что для любого x из отрезка [а; b] выполняется неравенство \( g(x) \leqslant f(x) \), вычисляется по формуле
\( S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx \)

Источник

Определенный интеграл. Как вычислить площадь фигуры

Переходим к рассмотрению приложений интегрального исчисления. На этом уроке мы разберем типовую и наиболее распространенную задачу – как с помощью определенного интеграла вычислить площадь плоской фигуры. Наконец-то ищущие смысл в высшей математике – да найдут его. Мало ли. Придется вот в жизни приближать дачный участок элементарными функциями и находить его площадь с помощью определенного интеграла.

Для успешного освоения материала, необходимо:

1) Разбираться в неопределенном интеграле хотя бы на среднем уровне. Таким образом, чайникам для начала следует ознакомиться с уроком Неопределенный интеграл. Примеры решений.

2) Уметь применять формулу Ньютона-Лейбница и вычислять определенный интеграл. Наладить теплые дружеские отношения с определенными интегралами можно на странице Определенный интеграл. Примеры решений.

В действительности, для того чтобы находить площадь фигуры не надо так уж много знаний по неопределенному и определенному интегралу. Задание «вычислить площадь с помощью определенного интеграла» всегда предполагает построение чертежа, поэтому гораздо более актуальным вопросом будут ваши знания и навыки построения чертежей. В этой связи полезно освежить в памяти графики основных элементарных функций, а, как минимум, уметь строить прямую, параболу и гиперболу. Сделать это можно (многим – нужно) с помощью методического материала Графики и свойства элементарных функций и статьи о геометрических преобразованиях графиков.

Собственно, с задачей нахождения площади с помощью определенного интеграла все знакомы еще со школы, и мы мало уйдем вперед от школьной программы. Этой статьи вообще могло бы и не быть, но дело в том, что задача встречается в 99 случаев из 100, когда студент мучается от ненавистной вышки с увлечением осваивает курс высшей математики.

Материалы данного практикума изложены просто, подробно и с минимумом теории.

Начнем с криволинейной трапеции.

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004, прямыми vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image006, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image008и графиком непрерывной на отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image071функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image002, которая не меняет знак на этом промежутке. Пусть данная фигура расположена не ниже оси абсцисс:

vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image010

Тогда площадь криволинейной трапеции численно равна определенному интегралу vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image012. У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке Определенный интеграл. Примеры решений я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ.

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры. Например, рассмотрим определенный интеграл vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image014. Подынтегральная функция vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image016задает на плоскости кривую, располагающуюся выше оси vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0000(желающие могут выполнить чертёж), а сам определенный интеграл vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image014 0000численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image019, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image021, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image023, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image025.

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО.

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале Графики и свойства элементарных функций. Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image021 0000задает ось vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0000):

vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image028
Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image030график функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image019 0000расположен над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0001, поэтому:

vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image032

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image034

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image036, обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений.

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image038, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image040, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image042и осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0002

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0003?

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image045, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image025 0000и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image048
Если криволинейная трапеция расположена под осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0004 (или, по крайней мере, не выше данной оси), то её площадь можно найти по формуле: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image050
В данном случае:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image052

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image054

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image056, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image058.

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image060и прямой vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image058 0000. Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image063

Значит, нижний предел интегрирования vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image065, верхний предел интегрирования vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image067.
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справке Графики и свойства элементарных функций. Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image069
Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула: Если на отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image071некоторая непрерывная функция vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image073больше либо равна некоторой непрерывной функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image075, то площадь фигуры, ограниченной графиками данных функций и прямыми vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image006, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image008, можно найти по формуле: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image077

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ.

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image079парабола располагается выше прямой, а поэтому из vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image081необходимо вычесть vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image083

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image060 0000сверху и прямой vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image058 0001снизу.
На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image086vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image088, по соответствующей формуле:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image090

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image092

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image094. Поскольку ось vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0005задается уравнением vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image021 0001, а график функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image075 0000расположен не выше оси vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0006, то vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image100

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image102, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image104.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image106, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image108.

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры, именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image110, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image112, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image021 0002, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image115.

Решение: Сначала выполним чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image117

…Эх, чертеж хреновенький вышел, но вроде всё разборчиво.

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает «глюк», что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще полезен и тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image119над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0007расположен график прямой vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image112 0000;

2) На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image122над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0008расположен график гиперболы vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image110 0000.

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image124

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image126

Переходим еще к одному содержательному заданию.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image128, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image130
Представим уравнения в «школьном» виде vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image132, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image134и выполним поточечный чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image136
Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image138.
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image140? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image142. Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image134 0000и параболы vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image132 0000.
Для этого решаем уравнение:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image144
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image146
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image148, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image150

Действительно, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image140 0000.

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image152vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image154, по соответствующей формуле:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image156

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image158

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image160, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image162, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image164

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image166

Блин, забыл график подписать, а переделывать картинку, простите, не хотца. Не чертёжный, короче, сегодня день =)

Для поточечного построения необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице. В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image164 0000– «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image169график функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image171расположен над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0009, поэтому:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image174

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях можно посмотреть на уроке Интегралы от тригонометрических функций. Это типовой прием, отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image176

(3) Проведем замену переменной vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image178, тогда:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image180

Новые пределы интегрирования:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image182

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле. Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений.

vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image184

(4) Здесь мы использовали свойство определенного интеграла vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image186, расположив пределы интегрирования в «привычном» порядке

Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image188

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image190, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image162 0000, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image192

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ на нижнем этаже.

Вот, пожалуй, и все основные принципиальные приёмы нахождения площадей. Помимо рассмотренных методов интегрирования, иногда приходится применять формулу интегрирования по частям в определенном интеграле, что не представляет собой особых трудностей. Какой-то интересный пример придумать сложно, … хотя… арккотангенса вроде еще нигде не встречалось:

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image194, vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image025 0001и координатными осями.

Полного решения не будет, надо же вас немного помучить. А правильный ответ скажу: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image197. Весь необходимый материал для выполнения задания на сайте есть! 😉 И даже больше – через долгие три года, наконец-то появились статьи Вычисление площади в полярных координатах и Вычисление площади, если линия задана параметрически.

Пример 2: Решение:
Выполним чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image199
На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image201график функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image203расположен над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0010, поэтому:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image205
Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image207
Примечание: В задачах на нахождение площадей преподаватели часто требуют записывать ответ не только точно, но и, в том числе, приближенно.

Пример 5: Решение:
Выполним чертеж:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image209
На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image211vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image213, по соответствующей формуле:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image215
Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image217

Пример 6: Решение:
Выполним чертеж.
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image219
На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image221vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image223, по соответствующей формуле:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image225
Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image227

Пример 10: Решение:
Изобразим данную фигуру на чертеже:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image229
На отрезке vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image231график функции vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image190 0000расположен над осью vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image004 0011, поэтому:
vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image234
Ответ: vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image236
Примечание: обратите внимание, как берется интеграл от тангенса в кубе, здесь использовано следствие основного тригонометрического тождества vychislenie ploshadi c pomoshju opredelennogo integrala clip image238. Далее в интегралах я использовал метод подведения функций под знак дифференциала (можно было использовать замену в определенном интеграле, но решение получилось бы длиннее). Если возникли трудности с данными интегралами, посетите урок Интегралы от тригонометрических функций.

Автор: Емелин Александр

(Переход на главную страницу)

mark Zaochnik.com – профессиональная помощь студентам

cкидкa 15% на первый зaкaз, прoмoкoд: 5530-hihi5

mark Tutoronline.ru – онлайн репетиторы по математике и другим предметам

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector