чему равна площадь окружности формула

Содержание

Площадь круга: как найти, формулы

5f192f63c0468569941594

площадь, 6 класс, 9 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Определение основных понятий

Прежде чем погрузиться в последовательность расчетов и узнать, чему равна площадь круга, важно выяснить разницу между понятиями окружности и круга.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от центра.

Круг — множество точек на плоскости, которые удалены от центра на расстоянии равном радиусу.

Если говорить простым языком, окружность — это замкнутая линия, как, например, кольцо и шина. Круг — плоская фигура, ограниченная окружностью, как глобус и мяч.

Формула вычисления площади круга

Давайте разберем несколько формул расчета площади круга. Поехали!

Площадь круга через радиус

Площадь круга через диаметр

S = π × d 2 : 4, где d — это диаметр.

Площадь круга через длину окружности

S = L 2 ​ : (4 × π), где L — это длина окружности.

Популярные единицы измерения площади:

Задачи. Определить площадь круга

Мы разобрали три формулы для вычисления площади круга. А теперь тренироваться — поехали!

Задание 1. Как найти площадь круга по диаметру, если значение радиуса равно 6 см.

Диаметр окружности равен двум радиусам.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 12 2 : 4.

Задание 2. Найти площадь круга, если известен диаметр, равный 90 мм.

Используем формулу: S = π × d 2 : 4.

Подставим известные значения: S = 3,14 × 90 2 : 4.

Задание 3. Найти длину окружности при радиусе 3 см.

Отношение длины окружности к диаметру является постоянным числом.

Получается: L = d × π.

Так как диаметр равен двум радиусам, то формула длины окружности примет вид: L = 2 × π × r.

Подставим значение радиуса: L = 2 × 3,14 × 3.

Источник

Площадь круга

Площадь круга — это размер области внутри окружности, определенный в квадратных единицах измерения. Определять площадь круга можно по формулам, которые давно известны и использовались еще в Древнем мире для определения необходимого количества строительных материалов при построения зданий, амфитеатра и других архитектурных сооружений. В современном мире, с его быстрыми изменениями в архитектуре и в строительстве — определять площадь круга не менее важно. И в задачах алгебры и геометрии это умение пригодится.

Формулы площади круга

Площадь круга через радиус

В геометрии используются следующая формула для определения площади круга через радиус круга:

quicklatex.com 0fe6dec89bfd0882082229b62374d260 l3

Здесь quicklatex.com af0533c3e4cf309e3cc0101c0c5d1226 l3— площадь круга, quicklatex.com ab8ab2dafc307bc77314fd5dc861e7c9 l3— радиус круга.

ploshhad kruga cherez radius

В формуле фигурирует quicklatex.com 5fde57b910624cf188c4335425cdb822 l3— это постоянная величина, которая называется «число quicklatex.com 5fde57b910624cf188c4335425cdb822 l3» — это постоянная величина, которая часто используется в геометрии и в тригонометрии и означает отношение длины окружности к ее диаметру. Значение этого отношение получается постоянным, но не точным, и до сегодняшнего дня ученые стараются уточнить это значение. Приближенно «число quicklatex.com 5fde57b910624cf188c4335425cdb822 l3» равно 3,14. Хотя после цифры «4» еще бесконечное количество цифр:

quicklatex.com 9b6d53bf48814004603149f7ab9ad958 l3

Площадь круга через диаметр

Давайте получим формулу площади круга через диаметр.

Так как диаметр — это два радиуса, то, следовательно, радиус — это половина диаметра:

quicklatex.com 0f640e777de7b3def9c6634ace0d0c96 l3

quicklatex.com cfbea3343c0375fc94c8aa8f7157fd16 l3— диаметр круга.

ploshhad kruga cherez diametr

Подставим это выражение для радиуса в формулу площади круга, получим:

quicklatex.com 825bc7003f1968ac5ba4d08ef2997ff5 l3

Таким образом, нами получена формула площади круга через диаметр круга:

quicklatex.com 5079fe338a2871a3e6bbc2cbdac83ab4 l3

Площадь круга через длину окружности

Окружность — это граница круга. Зная длину этой границы мы можем рассчитать площадь круга. Итак, формула длины окружности: quicklatex.com f604990897eabaf35c3041ab45ce0769 l3, тогда определим радиус и подставим его в формулу (1):

quicklatex.com 7335aa52160ed86a9e56c66acf977f75 l3,

И формула площади круга через длину окружности:

quicklatex.com 622cc9e058f3b1ba7c9122cffdbec07d l3

Примеры решения задач

Задача 1

Найдите площадь круга, если известен его радиус quicklatex.com 21e0696a10a7e55ed92231e5dbbb51bd l3см.

Решение: Для определения площади круга используем формулу (1):

Задача 2

Найдите площадь земельного участка, если известно, что форма участка — круг, а диаметр участка составляет 50 м.

Решение: Чтобы найти площадь земельного участка, мы должны рассчитать площадь круга с диаметром 50 м. Используем формулу (2):

Задача 3

Длина границы земельного участка круглой формы равна 64 м. Найдите площадь участка.

Решение: граница участка круглой формы — это окружность. Тогда длина этой границы — это длина окружности. Площадь участка — площадь круга, которую мы определим по формуле (3) через длину окружности:

Для того, чтобы определять площадь круга в задачах по геометрии вам нужно определить с тем, какие данные вам известны и использовать те формулы для определения площади круга, которые больше всего подходят.

Источник

Как найти площадь круга

Окружность — одна из самых совершенных фигур в геометрии. Построить ее очень просто — нужен только циркуль. Но при своем совершенстве окружность создает одну из самых сложных проблем — определение площади круга. Почему это является проблемой? Дело в том, что площадь измеряется в квадратных единицах (метрах, дециметрах, миллиметрах…). Но превратить круг в прямоугольник или квадрат практически невозможно. Задача эта беспокоила умы математиков и философов на протяжении тысячелетий и даже получала собственное название — квадратура круга.

Чтобы разобраться в проблеме нужно разделить понятия окружности и круга. Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг — это часть плоскости, ограниченная этой окружностью. Для окружности мы ищем длину, а для круга — площадь. Какую бы часть круга, ограниченную окружностью, мы не выбрали, одна из сторон обязательно будет криволинейной. Это усложняет расчет площади, если не использовать интегрального исчисления.

Приблизительно, с высокой долей точности можно найти площадь окружности через диаметр по формуле:

Это самая простая формула, позволяющая найти площадь круга, когда известный радиус. Но может возникнуть вопрос, почему найденная площадь будет неточной? Сложность связана с числом π — это отношение длины окружности к диаметру, не имеющая конечного значения. Такие числа называют иррациональными. Еще в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что эта постоянная трансцендентная, то есть, если возвести ее в квадрат, все равно получится иррациональное число.

Сложное доказательство этого утверждения создали Феликс Клейн и профессор Линдеманн. Практическое значение этого открытия состоит в том, что любая формула для определения площади круга, где используется число π дает приблизительный результат, то есть, квадратура круга невозможна в принципе. На данный момент известно число «Пи» с точностью до 31, 4 триллиона знаков после запятой. Для вычислений используют значение 3, 14, а для более точных — 3, 1415926.

Способы вычисления площади круга

Для решения повседневных и большинство технических задач вполне достаточно формулы S= π∙ D 2 /4. Но в геометрии есть свои подходы к решению. Не всегда дано радиус (диаметр), а измерить эту величину можно только косвенным путем при помощи построений описанных и вписанных многоугольников, дополнительных построений и т.д. Рассмотрим наиболее популярные методы, как узнать площадь круга, более подробно. Сразу же оговоримся, способ интегрального исчисления затрагивать не будем, хотя он и наиболее точный. Воспользуемся только геометрическими способами решения.

Вычисление площади по радиусу

S = π∙r 2 — формула для вычисления площади круга, если известный радиус. Как видно, это просто запись предыдущего выражения с учетом того, что r = D/2, отсюда r 2 = (D/2) 2 = D 2 /4, что и использовано в основной формуле.

Как найти площадь круга через длину окружности

Для начала вспомним, как вычисляется длина окружности. Здесь, как и в других формулах для круга и окружности используется постоянная π. Нужно запомнить, что в математике и физике этот символ является непременным участником всех вычислений, связанных с кругом, окружностью, циклическими процессами, движением по дуге. В частности, длину окружности находим по формулам L=2 πR, или L= πD. Используя их, находим:

R=L/2 π; (1)

D=L/ π. (2)

Используя запись 1 в формуле S = π∙r2 получаем:

S = π(L/2 π) 2 = L/4 π.

Аналогичный результат получим, используя формулу 2.

Как вычислить площадь круга, описанного вокруг правильного многоугольника

В каждый круг легко вписать любой правильный многоугольник. Рассмотрим случаи с самыми простыми фигурами. Если в круг вписан квадрат, то формула будет выглядеть так:

S=2​​πa 2 ​/2, где а – сторона квадрата.

Если в круг вписан равносторонний (правильный) треугольник, то формула будет выглядеть так:

S=π​​​a​ 2 /3.

Если в равностороннем треугольнике неизвестна длина стороны, но известна высота, то используем формулу:

Если треугольники неправильные, например, равнобедренные или разносторонние, то формулы получаются сложнее. Например, для вычисления площади по данным равнобедренного треугольника используется формула:


S=π
(​ a 4 /4a​ 2 ​​−b​ 2 ​​​​)

В случае прямоугольного треугольника, мы используем формулу:

S=​π/4​​(a​ 2 ​​+b​ 2 )​​.

Если круг описан вокруг равнобедренной трапеции, то рассчитать площадь можно по более сложной формуле:

S=π( adc/​4√​p(pa)(pd)(pc)​​​​​).

Как видим, задачу вычисления площади круга можно решить при помощи готовых формул, рассчитанных практически для любого случая, используя вписанные или описанные простые геометрические фигуры. Приведем еще несколько из готовых формул, на этот раз, для фигур, внутри которых находится круг неизвестного радиуса:

S=π​​​a​ 2​​ /12 – для равностороннего треугольника;

S=π​​​b​ 2 /4 ​​​​ (tgα/2​​​​)​ 2 ​​ — для равнобедренной трапеции;

S=π(​а/2​​)​ 2 ​​=​πа​ 2 /4 ​​ для квадрата.

Учитывая небольшой объем статьи, все формулы приводим без доказательств, как руководство для практического использования при решении геометрических или технических задач.

Часто возникает проблема определения площади полукруга. Это можно сделать очень просто, вычислив площадь полного круга и разделив ее на 2. Если использовать формулу, то выглядеть это будет так:

S = π∙r 2 /2, или

S= π∙ D 2 /4/2 = S= π∙ D 2 /8.

Для решения практических задач сложно пользоваться формулами, да и времени для этого найти не всегда получается. Лучше всего воспользоваться онлайн-калькуляторами на специализированных сайтах. Здесь важно правильно замерить нужные параметры в требуемых единицах. Нот для учеников и студентов такие сервисы не подходят — легкое получение готового результата отучает мыслить самостоятельно и никак не углубляет знаний.

Источник

Площадь круга

Круг – это плоская фигура, которая представляет собой множество точек равноудаленных от центра. Все они находятся на одинаковом расстоянии и образуют собой окружность.
Krug s radiusom i diametrom
Отрезок, который соединяет центр круга с точками его окружности, называется радиусом. В каждой окружности все радиусы равны между собой. Прямая, соединяющая две точки на окружности и проходящая через центр называется диаметром. Формула площади круга рассчитывается с помощью математической константы – числа π..

Это интересно: Число π. представляет собой соотношение длины окружности к длине ее диаметра и является постоянной величиной. Значение π = 3,1415926 получило применение после работ Л. Эйлера в 1737 г.

Площадь окружности можно вычислить через константу π. и радиус окружности. Формула площади круга через радиус выглядит так:

math 990 a5389893a56ca8e9b2db4900007a12bf

Существует формула площади круга через диаметр. Она также широко применяется для вычисления необходимых параметров. Данные формулы можно использовать для нахождения площади треугольника по площади описанной окружности.

math 977 491fde40bd370877ede7f724e3dbe381

Знания стандартных формул расчета площади круга помогут в дальнейшем легко определять площадь секторов и легко находить недостающие величины.

Мы уже знаем, что формула площади круга рассчитывается через произведение постоянной величины π на квадрат радиуса окружности. Радиус можно выразить через длину окружности и подставить выражение в формулу площади круга через длину окружности: math 982 e09cc5f010a76900eea1924a3414e867
Теперь подставим это равенство в формулу расчета площади круга и получим формулу нахождения площади круга, через длину окружности

math 971 10bc5d0ad8e93d20dd75107e102a5922

Площадь круга описанного вокруг квадрата

krug opisannyj vokrug kvadrata
Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: math 991 1b902984f48df3667b19ef999f1fdd72отсюда math 991 baa73328f3fea6d6e55334bb099c8fff.
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: math 980 95d012993039441d8f260a77be1ce9fc.
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата: math 990 2c9809870a13c5bac427bd416d5e55ef

Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.

Источник

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

dot5Основные определения и свойства. Число π
dot5Формулы для площади круга и его частей
dot5Формулы для длины окружности и ее дуг
dot5Площадь круга
dot5Длина окружности
dot5Длина дуги
dot5Площадь сектора
dot5Площадь сегмента

div1

Основные определения и свойства

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура Рисунок Определения и свойства
Окружность ca1
Дуга
l2

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг
ca2

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор
l4

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент
l5

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник
l6

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

l7

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

l1

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

l2,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

l3,

если величина угла α выражена в радианах

l4,

если величина угла α выражена в градусах

l5,

если величина угла α выражена в радианах

l6,

если величина угла α выражена в градусах

l2,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Числовая характеристика Рисунок Формула
Площадь круга l8
Площадь сектора
l9

l3,

если величина угла α выражена в радианах

l4,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента
l10

l5,

если величина угла α выражена в радианах

l6,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

l9,

если величина угла α выражена в градусах

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Числовая характеристика Рисунок Формула
Длина окружности l11
Длина дуги
l12

если величина угла α выражена в радианах

l9,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

l13

l10

l10w400

l11

l11w400

l12

Длина окружности

l14

l15

l15w400

l17

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

l12

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

l20

из которой вытекает равенство:

l21

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

l22

из которой вытекает равенство:

l23

Площадь сектора

l9

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

l25

из которой вытекает равенство:

l26

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

l27

из которой вытекает равенство:

l28

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

l10

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

l29

l29w300

l30

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector