чему равна площадь полной поверхности пирамиды

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Формула площади правильной пирамиды

pravilnaya piramida ploshad 2

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

pravilnaya piramida ploshad 4

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

pravilnaya piramida ploshad 5

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

pravilnaya piramida ploshad 30

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

pravilnaya piramida ploshad 1

Основание: равносторонний треугольник.

Источник

Геометрия. 10 класс

Конспект урока

Геометрия, 10 класс

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Пирамида – многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников

Основание пирамиды – грань пирамиды, являющаяся n-угольником

Вершина пирамиды – общая точка всех треугольников, лежащих в боковых гранях.

Боковая грань – грань пирамиды, являющаяся треугольником

Боковые ребра – общие отрезки боковых граней

Высота – перпендикуляр, опущенный из вершины пирамиды на ее основание

Апофема – высота боковой грани правильной пирамиды

Правильная пирамида – пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину и центр основания пирамиды, является высотой

Усеченная пирамида – многогранник, образованный двумя n-угольниками, расположенными в параллельных плоскостях (нижнее и верхнее основание) и n-четырехугольников (боковые грани).

Площадь полной поверхности пирамиды – сумма площадей всех граней пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды – сумма площадей боковых граней пирамиды

Потоскуев Е.В., Звавич Л. И. Геометрия. 11кл.: учеб. Для классов с углубл. и профильным изучением математики общеобразоват. Учреждений.. – М.: Дрофа, 2009. – 368 с.: ил. (117 с. – 121 с.)

Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10–11 классы : учеб. Для общеобразоват. организаций : базовый и углубл. уровни – М. : Просвещение, 2014. – 255 с. (65 с. – 68 с.)

Открытые электронные ресурсы:

Многогранники.ru – сайт о создании моделей многогранников из бумаги https://www.mnogogranniki.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Рассмотрим многоугольник A1A2. An и точку Р, не лежащую в плоскости этого многоугольника (рис.1). Соединив точку Р с вершинами многоугольника, получим n треугольников: PA1A2, PA2A3,…, PAnA1.

Многогранник, составленный из n-угольника A1A2. An и n треугольников, называется пирамидой. Многоугольник A1A2. An называется основанием, а треугольники PA1A2, PA2A3,…, PAnA1боковые грани пирамиды, отрезки PA1, PA2,…, PAnбоковые ребра пирамиды, точка Р – вершина пирамиды. Пирамиду с основанием A1A2. An и вершиной Р называют n-угольной пирамидой и обозначают PA1A2. An.

c57e8771 1975 4350 911d ef5c955adb3d

Перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания, называется высотой пирамиды. На рисунке 1 PH является высотой. Обратите внимание, что высота может лежать и вне пирамиды (рис. 3) или быть одним из боковых ребер (рис. 4).

0d3d892d ada7 49e2 bb81 a964adb0d21a

Рисунок 3 – высота вне пирамиды

67c617ef 09da 417c 821e a00069a2dcd2

Будем называть пирамиду правильной, если ее основание – правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой. Напомним, что центром правильного многоугольника называется центр вписанной в него (или описанной около него) окружности (рис.5).

4ee40390 f585 4b4e 87d9 25b3842ed89c

Рисунок 5 – Правильная пирамида

Правильная пирамида обладает несколькими хорошими свойствами. Давайте выясним, какими.

Рассмотрим правильную пирамиду PA1A2. An (рис. 5).

Пусть О – центр описанной около основания окружности, тогда РО – высота пирамиды, значит РО перпендикулярен любой прямой, лежащей в плоскости основания. Таким образом, высота РО перпендикулярна радиусам А1О, А2О. АnО.

Боковые ребра пирамиды равны, значит боковые грани – равнобедренные треугольники. Основания этих треугольников равны друг другу, так как в основании лежит правильный многоугольник. Следовательно, боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников.

Таким образом, верны следующие утверждения:

Введем еще одно определение. Апофемой называется высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины. На рисунке 5 PE – одна из апофем.

Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу как высоты в равных треугольниках.

Возьмем произвольную пирамиду PA1A2. An и проведем секущую плоскость β, параллельную плоскости основания пирамиды α и пересекающую боковые ребра в точках В12. Вn (рис. 6). Плоскость β разбивает пирамиду на два многогранника. Многогранник, гранями которого являются n-угольники A1A2. An и В1В2. Вn (нижнее и верхнее основания соответственно), расположенные в параллельных плоскостях и n четырехугольников A1A2B2B1, A2A3B3B2, … A1AnBnB1 (боковые грани), называется усеченной пирамидой.

1e581204 a2a6 486e 9b94 7900511fce1f

Рисунок 6 – Усеченная пирамида

Перпендикуляр, проведенный из какой-нибудь точки одного основания к плоскости другого основания называется высотой усеченной пирамиды. На рисунке 7 отрезки HH1 и В1O –высоты усеченной пирамиды.

6064eacd b7d9 4cab 9922 e51df8b2d6f1

Рисунок 7 – Высота усеченной пирамиды

Площадь поверхности пирамиды

Площадью полной поверхности пирамиды называются сумма площадей всех ее граней, а площадью боковой поверхности пирамиды – сумма площадей ее боковых граней.

Для пирамиды, верно равенство Sполн= Sбок+Sосн.

Докажем теорему для площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема

Теорема. Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Задание 1. В пятиугольной пирамиде все боковые грани равны между собой. Площадь основания равна 42, а площадь боковой грани на 15 меньше. Чему равна площадь полной поверхности пирамиды?

Поскольку в пирамиде все боковые грани равны, то и площади их будут равны. Знаем, что площадь боковой грани на 15 меньше площади основания, значит она равна 27. В пятиугольной пирамиде боковых граней 5. Таким образом площадь полной поверхности равна 27*5+42 = 177.

Задание 2. В правильной пирамиде высота боковой грани равна 10, а в основании лежит квадрат со стороной 4. Чему равна площадь боковой поверхности?

Боковая грань пирамиды – это треугольник. Все боковые грани этой пирамиды равны между собой, так как пирамида правильная. Вычислим площадь треугольника: ½*4*10=20. В основании пирамиды лежит квадрат, значит боковых граней будет 4. Таким образом, площадь боковой поверхности равна 4* 20=80.

Источник

Пирамида. Площади поверхностей. Объём

Урок 36. Подготовка к ЕГЭ по математике

20210413 vu tg sbscrb2

36

В данный момент вы не можете посмотреть или раздать видеоурок ученикам

Чтобы получить доступ к этому и другим видеоурокам комплекта, вам нужно добавить его в личный кабинет, приобрев в каталоге.

Получите невероятные возможности

20210706 unblock slide1

20210706 unblock slide2

20210706 unblock slide3

Конспект урока «Пирамида. Площади поверхностей. Объём»

Напомним, что пирамида – это многогранник, в основании которого лежит image001–угольник, а остальные image001граней – треугольники с общей вершиной.

Многоугольник image002называется основанием пирамиды.

Треугольники image003, image004, …, image005называются боковыми гранями пирамиды.

Точка image006вершиной пирамиды, а отрезки image007, image008, …, image009– её боковыми рёбрами.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с плоскостью её основания и перпендикулярный к этой плоскости, называется высотой пирамиды.

Пирамиду с вершиной image006и основанием image002называют image010-угольной пирамидой и обозначают так: image011.

image012

Диагональное сечение – это сечение пирамиды плоскостью, которая проходит через два боковых ребра, не принадлежащих одной грани.

image013

Объединение боковых граней называется боковой поверхностью пирамиды, а объединение всех граней называется полной поверхностью пирамиды.

Тогда площадью боковой поверхности пирамиды называется сумма площадей её боковых граней.

image014

А площадью полной поверхности пирамиды называется сумма площадей всех её граней.

image015

Объём пирамиды равен:

image016.

Пирамида, в зависимости от того, какой многоугольник лежит в основании, имеет своё название.

image017

Пирамида называется правильной, если её основанием является правильный многоугольник, а все боковые рёбра равны.

Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является её высотой.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины к ребру основания, называется апофемой.

image018

Выше изображена правильная пирамида. image019– одна из её апофем. Все апофемы правильной пирамиды равны друг другу.

Отметим некоторые свойства правильной image010-угольной пирамиды.

1. В правильной image001-угольной пирамиде все боковые рёбра равны между собой.

image020

2. Боковые рёбра равно наклонены к основанию.

3. Из равенства боковых рёбер пирамиды следует и равенство её боковых граней.

image021

4. Боковые грани равно наклонены к основанию.

5. Вершина проектируется в центр основания (основание высоты совпадает с центром основания).

6. Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна:

image022.

7. Объём правильной четырёхугольной пирамиды со стороной основания image023и высотой image024равен:

image025.

Параллельное сечение пирамиды – сечение пирамиды плоскостью, параллельной основанию.

Параллельное сечение пирамиды обладает следующими свойствами:

1. сечение, параллельное основанию пирамиды, отсекает на высоте пирамиды и боковых рёбрах пропорциональные отрезки;

2. в сечении получается многоугольник, подобный основанию;

3. площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний до вершины.

image026

Усечённая пирамида – это часть пирамиды, заключённая между основанием и параллельным сечением пирамиды.

Основания усечённой пирамиды – подобные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях.

Боковые грани усечённой пирамиды – трапеции.

Высота усечённой пирамиды – это перпендикуляр, опущенный из любой точки верхнего основания на плоскость нижнего.

Площадь полной поверхности усечённой пирамиды равна сумме площади боковой поверхности и площадей двух оснований.

Объём усечённой пирамиды равен разности объёмов полной и отсечённой пирамиды, или его ещё можно вычислить по следующей формуле:

image027.

image028

Правильная усечённая пирамида получается из правильной пирамиды.

Апофема – высота боковой грани правильной усечённой пирамиды.

Площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна:

image029.

image030

Основные моменты мы с вами повторили, а теперь давайте перейдём к практической части занятия.

Задача первая. Дана треугольная пирамида, боковые рёбра которой взаимно перпендикулярны и равны image031см, image032см и image033см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

image034

Задача вторая. Дана правильная четырёхугольная пирамида со стороной основания image033см и высотой image031см. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

image035

image036

image037

Задача третья. Найдите высоту правильной усечённой треугольной пирамиды image038, если стороны её оснований равны image039см и image040см, а боковое ребро равно image041см.

image042

image043

Задача четвёртая. В пирамиде image044боковое ребро image045перпендикулярно основанию и равно ребру image046. Треугольник image047– прямоугольный с катетами image048см и image049см. Найдите объём пирамиды.

image050

image051

Задача пятая. Найдите объём правильной треугольной пирамиды с ребром основания, равным image033см, и боковым ребром, равным image052см.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector