чему равна площадь сектора круга

Выполняя инженерные расчёты при проектировании различных объектов строительства, создании роботов, автоматизированных систем, станков, машин, самолётов, ракет, современных средств вооружения часто бывает необходимо найти площадь сектора круга.

Геометрия помогает при этом решать задачи на нахождение центра тяжести (центр масс), вычислять его координаты для плоских пластин, имеющих, в частности, форму правильного многоугольника.

Измерять и вычислять величины считается базовым умением. Оно включено в первую часть профильной программы выпускного экзамена ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Содержание

Сектор круга

ad74f74aede34ea7251db04aa51a3313

Существует несколько определений, каждое из которых отличается только формулировкой, не меняющей подход к рассмотрению понятия:

Часть плоскости, ограниченная центральным углом и соответствующей дугой окружности.

Часть круга, заключённая между двумя радиусами.

Часто эту формулировку заменяют похожей, описывающей построение непосредственно: часть круга, лежащего внутри соответствующего центрального угла.

Площадь сектора круга через радиус и длину дуги

Пусть известны радиус круга R, длина дуги l. Как в этом случае определить площадь сектора, стягиваемого данной дугой?

41b74e5bf1ab618774b7eee9d4a7f895

Для ответа на вопрос понадобится формула нахождения длины окружности:

Определение, представленное через третью формулировку, даёт возможность соотнести численные величины понятий: сектор и круг, дуга и окружность, центральный и полный углы.

2ac092feff228c0c5088e32e5f03ed4b

После сокращения дроби получают формулу:

8223915ec7cfcd28b9315191aa61c573

Примеры решения задач

Задача №1

Найти площадь сектора круга радиусом 2 см, имеющего длину дуги 4 см.

Подставляя имеющиеся величины в формулу, получаем:

Задача №2

1ba780bc8dc495f6ded7fc5ae03ffcc8

Подставив известные данные в формулу, получим:

e5b06eb236284a4ae4f872f4d6990631

Тот же результат получился бы при первоначальной работе в «общем виде»:

6cbbf11728cdbefa6f87ffa350525537

Площадь сектора круга через радиус и угол сектора

ce836580b8f8311a359c7c2e971674f1

Если известна градусная мера центрального угла (n°), то, находя отношение её к полному кругу (к 360º), также умножают результат на площадь круга:

46a0ac15008d6273423a313e20fc2340

Задача №3

Чему равна площадь фигуры, изображённой на рисунке?

26b7dc8d49f3425e47b8a94579386f03

Центральный угол изображённого сектора равен

Подставляя в формулу величины, несложно получить искомый результат:

6701762e7940b02757945ae32793dfdd

Также аналогичным образом решаются обратные задачи.

Площадь сектора круга через угол сектора в радианах

Пусть центральный угол задан своей радианной мерой. Учитывая, что

825afd9d41ad480579d704d694f87dde

несложно получить искомую формулу:

964632faf62d439da631edc7a1ce6f4a

Задача №4

Чему равен центральный угол сектора в радианах (рад.), если его площадь равна 32, а радиус – 4?

Выразив α, затем подставив числовые данные, легко получить результат:

2a1da14f068f970f28c25352a7ebb3a2

Благодаря этой формуле, несложно доказать, что площади двух секторов с равными центральными углами относятся как квадраты радиусов соответствующих окружностей:

db0fbf71bc5c6f79dd76e639524fcd79

С другой стороны, площадь части кольца находится из условия:

4e61bfd3e269c7c67b42f4c5956afc95

Сегмент круга

0362984b130ce09552c5d277800327fe

Существует два подхода к определению понятия:

Геометрическая фигура, являющаяся общей частью круга и полуплоскости, называется сегментом круга.

Часть плоскости, заключённая между хордой и окружностью.

Оба определения характеризуют один и тот же объект с разных сторон, выражая, по сути одно и то же.

Иногда проводится описательное построение. В этом случае второй вариант быстрее приводит к данному термину.

Площадь сегмента круга по хорде и высоте

Тогда можно приближённо считать, что

cf89528a8e4d6e15bfd833e59ee909fb

Погрешность такого вычисления уменьшается вместе с отношением

В частности, когда дуга содержит угол, меньший 50º, то есть,

7d2e2278033a89bd8a66d43581d0ebe3

погрешность оказывается менее 1%.

Более точной является формула для любого сегмента меньшего полукруга:

bad724ee3965551f1905061797b76bb2

Точный расчёт производится, исходя из свойства нахождения сложной фигуры, являющейся суммой или разностью двух и более объектов.

Сегмент является частью сектора, к которому либо добавлен треугольник, содержащий центральный угол (для дуг больших 180º), либо убран (соответствующий центральный угол меньше 180º).

Отсюда следует, что

28b7760d8d61449ce6b038b7b594e172

Задача №5

Вычислить стрелку и площадь сегмента, если центральный угол содержит 60º, а

e760520225a92adb4ffefcb151fb25c0

760c80d69f8f0b8f41310b3b963d471c

Для нахождения стрелки достаточно из радиуса вычесть высоту треугольника AOB. Поскольку угол AOB по условию равен 60º, то треугольник AOB равносторонний. Поэтому его высота в √3/2 раз отличается от стороны (от радиуса).

Отсюда следует, что:

36cf93aa38946358d3b8e8010204ffd0

Площадь по первой формуле будет приблизительно равна

4c9af20c07834d4672985e93b0964b13

b88e50b2c79d814f166ccd642c1f24ba

Применяя точную формулу и учитывая, что

b0e90e6eb589c1abeabbc3303d77ed10

f2e59b7ef8698559610423fe86342d56

e1251cfc274c61d50e6ff46c1ba55172

Площадь сегмента круга через синус угла

08c46bd0624207eef05175b70a12df1f

Рассматривая точную формулу, площадь треугольника можно находить, используя половину произведения сторон на синус угла между ними. А значит:

9cafcb89c47b48fd51559bd3c82a2645

f3edb42f942b38aa98bd1627adf4a30f

Многие вычисления помогает провести онлайн калькулятор. Достаточно ввести исходные данные и запросить результат.

Источник

Нахождение площади сектора круга

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно вычислить площадь сектора круга, а также разберем примеры решения задач для демонстрации их практического применения.

Определение сектора круга

Сектор круга – это часть круга, образованная двумя его радиусами и дугой между ними. На рисунке ниже сектор закрашен зеленым цветом.

ploshad sektora kruga exc 1

Формулы нахождения площади сектора круга

Через длину дуги и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется одной второй произведения длины дуги сектора (L) и радиуса круга (r).

ploshad sektora kruga exc 2

Через угол сектора (в градусах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется площади круга, умноженной на угол сектора в градусах ( α°) и деленной на 360°.

ploshad sektora kruga exc 3

Через угол сектора (в радианах) и радиус круга

Площадь (S) сектора круга равняется половине произведения угла сектора в радианах (aрад) и квадрата радиуса круга.

ploshad sektora kruga exc 4

Примеры задач

Задание 1
Дан круг радиусом 6 см. Найдите площадь сектора, если известно, что длина его дуги составляет 15 см.

Решение
Воспользуемся первой формулой, подставив в нее заданные значения:

ploshad sektora kruga exc 5

Решение
Выведем формулу для нахождения центрального угла из второй формулы, рассмотренной выше:

Источник

Площадь сектора круга.

Сектор круга — пересечение круга и некоторого его центрального угла, то есть часть круга, ограниченная дугой и двумя радиусами.

Площадь сектора круга равна произведению его дуги на половину радиуса.

Пусть дуга AB сектора AOB содержит n°.Очевидно, что площадь сектора, дуга которого содержит 1°, равна πR 2 /360:

52879558a74190608b2.98987872

Следовательно, площадь S сектора, дуга которого содержит n°, равна:

83723558a743571d943.24298938.

Поскольку πRn/180 выражает длину дуги AB, то обозначив ее через s, получим:

879399558a7455bd37b9.47974666.

Вычислить площадь сегмента, зная радиус круга и число градусов, заключающееся в дуге сегмента.

022702558a7472e04b46.40388594

Чтобы получить площадь сегмента ASB, достаточно из площади сектора AOB вычесть площадь треугольника AOB.

Таким образом, вопрос сводится к вычислению высоты AС. Геометрически ее можно вычислить только в некоторых частных случаях следующим способом. Продолжив AС до пересечения с окружностью в точке D, мы увидим, что AС = СD и ∪AB = ∪BD. Значит, AС есть половина хорды, стягивающей дугу, вдвое большую дуги сегмента.

Отсюда заключаем, что если хорда, стягивающая двойную дугу, будет стороной такого правильного вписанного многоугольника, для которого мы знаем формулу его стороны, то высота AС определится геометрически.

Например, пусть дуга сегмента содержит 60°. Тогда AD есть сторона правильного вписанного треугольника. Значит, AС = 1/2R√3.

Дуга AB в этом случае равна 1 /6 окружности, т.е. 1 /3 πR.

Поэтому: площадь сегмента равна:

289656558a74904cdf09.80750729.

Источник

Чему равна площадь сектора круга

Круг — это часть плоскости, ограниченная окружностью. Центр данной окружности называется центром круга, а расстояние от центра до любой точки окружности — радиусом круга:

krug

O — центр круга, OA — радиус круга.

Площадь круга

Площадь круга равна произведению числа π на квадрат радиуса. Формула нахождения площади круга:

где S — площадь круга, а r — радиус круга.

Так как диаметр круга равен удвоенному радиусу, то радиус равен диаметру, разделённому на 2:

D = 2r, значит r = D .
2

Следовательно, формула нахождения площади круга через диаметр будет выглядеть так:

S = π( D ) 2 = π D 2 = π D 2 .
2 2 2 4

Сектор круга. Площадь сектора

Сектор — это часть круга, ограниченная двумя радиусами и дугой. Два радиуса разделяют круг на два сектора:

krug2

Чтобы найти площадь сектора, дуга которого содержит , надо площадь круга разделить на 360 и полученный результат умножить на n.

krug3

Формула площади сектора:

S = πr 2 · n = πr 2 n ,
360 360

где S — площадь сектора. Выражение

можно представить в виде произведения

πr 2 n = n · πr · r ,
360 180 2

где nπr — это длина дуги сектора.
180

Следовательно, площадь сектора равна длине дуги сектора, умноженной на половину радиуса:

где S — это площадь сектора, s — длина дуги данного сектора, r — радиус круга.

Сегмент. Площадь сегмента

Сегмент — это часть круга, ограниченная дугой и стягивающей её хордой. Любая хорда делит круг на два сегмента:

krug4

Площадь сегмента равна половине радиуса, умноженной на разность между дугой сегмента и половиной хорды двойной дуги.

krug5

Площадь сегмента AMB будет вычисляться по формуле:

где S — это площадь сегмента, r — радиус круга, s — длина дуги AB, а BC — длина половины хорды двойной дуги.

Источник

Площадь круга и его частей. Длина окружности и ее дуг

dot5Основные определения и свойства. Число π
dot5Формулы для площади круга и его частей
dot5Формулы для длины окружности и ее дуг
dot5Площадь круга
dot5Длина окружности
dot5Длина дуги
dot5Площадь сектора
dot5Площадь сегмента

div1

Основные определения и свойства

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Часть круга, ограниченная хордой

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

Фигура Рисунок Определения и свойства
Окружность ca1
Дуга
l2

Часть окружности, расположенная между двумя точками окружности

Круг
ca2

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Сектор
l4

Часть круга, ограниченная двумя радиусами

Сегмент
l5

Часть круга, ограниченная хордой

Правильный многоугольник
l6

Выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны

l7

Около любого правильного многоугольника можно описать окружность

l1

Число π является трансцендентным числом, то есть числом, которое не может быть корнем алгебраического уравнения с целочисленными коэффициентами.

Формулы для площади круга и его частей

l2,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

l3,

если величина угла α выражена в радианах

l4,

если величина угла α выражена в градусах

l5,

если величина угла α выражена в радианах

l6,

если величина угла α выражена в градусах

l2,

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Числовая характеристика Рисунок Формула
Площадь круга l8
Площадь сектора
l9

l3,

если величина угла α выражена в радианах

l4,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь сегмента
l10

l5,

если величина угла α выражена в радианах

l6,

если величина угла α выражена в градусах

Формулы для длины окружности и её дуг

где R – радиус круга, D – диаметр круга

если величина угла α выражена в радианах

l9,

если величина угла α выражена в градусах

где R – радиус круга, D – диаметр круга

Числовая характеристика Рисунок Формула
Длина окружности l11
Длина дуги
l12

если величина угла α выражена в радианах

l9,

если величина угла α выражена в градусах

Площадь круга

l13

l10

l10w400

l11

l11w400

l12

Длина окружности

l14

l15

l15w400

l17

откуда вытекает формула для длины окружности радиуса R :

Длина дуги

Рассмотрим дугу окружности, изображённую на рисунке 3, и обозначим её длину символом L(α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

l12

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

l20

из которой вытекает равенство:

l21

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

l22

из которой вытекает равенство:

l23

Площадь сектора

l9

В случае, когда величина α выражена в градусах, справедлива пропорция

l25

из которой вытекает равенство:

l26

В случае, когда величина α выражена в радианах, справедлива пропорция

l27

из которой вытекает равенство:

l28

Площадь сегмента

Рассмотрим круговой сегмент, изображённый на рисунке 5, и обозначим его площадь символом S (α), где буквой α обозначена величина соответствующего центрального угла.

l10

Поскольку площадь сегмента равна разности площадей кругового сектора MON и треугольника MON (рис.5), то в случае, когда величина α выражена в градусах, получаем

l29

l29w300

l30

В случае, когда величина α выражена в в радианах, получаем

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector