чему равна площадь шестиугольника правильного

Нахождение площади правильного шестиугольника: формула и примеры

Правильный шестиугольник – это геометрическая фигура; правильный многоугольник с 6 равными углами и сторонами.

Общая формула вычисления площади

Площадь (S) правильного шестиугольника вычисляется по формуле ниже, где a – длина его стороны:

ploshad shestiugolnika 3

ploshad shestiugolnika 1

Формула получена следующим образом:

Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников. Площадь каждого рассчитывается так:

ploshad shestiugolnika 5

ploshad shestiugolnika 2

Следовательно, площадь правильного шестиугольника равна:

ploshad shestiugolnika 9

Площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность

Сторона правильного шестиугольника равняется радиусу окружности, описанной вокруг него (a=r).

ploshad shestiugolnika 8

Это значит, что формула площади может быть представлена в таком виде (а заменяем на r):

ploshad shestiugolnika 6

Примеры задач

Задание 1
Сторона правильного шестиугольника равна 8 см. Найдите его площадь.

Решение:
Используем первую формулу, в которой задействована длина стороны:
ploshad shestiugolnika 12

Задание 2
Вычислите площадь правильного шестиугольника, ели радиус описанной вокруг нее окружности равен 15 см.

Решение:
Воспользуемся второй формулой (через радиус окружности):
ploshad shestiugolnika 11

Источник

Как найти площадь шестиугольника по формуле?

С вопросом: «Как найти площадь шестиугольника?», можно столкнуться не только на экзамене по геометрии и т.п., эти знания пригодятся и в быту, например, для правильного и точного вычисления площади помещения в процессе ремонта. Подставив в формулу требуемые значения, получится определить нужное количество рулонов обоев, плитки в ванную или на кухню и т.д.

Немного фактов из истории

Геометрия использовалась еще в древнем Вавилоне и прочих государствах, существовавших в одно время с ним. Вычисления помогали при возведении значительных сооружений, так как благодаря ей зодчие знали как выдержать вертикаль, правильно составить план, определить высоту.

Эстетика тоже имела большое значение, и здесь снова шла в ход геометрия. Сегодня этой науки нужны строителю, закройщику, архитектору, да и не специалисту тоже.

Поэтому лучше уметь рассчитывать S фигур, понимать, что формулы могут пригодиться на практике.

geometriya v drevnem vavilone

Площадь правильного 6-угольника

Итак, у нас шестиугольная фигура с равными сторонами и углами. В повседневности мы часто имеем возможность встретить предметы правильной шестиугольной формы.

Шестиугольная фигура наиболее экономично заполняет пространство на плоскости. Взгляните на тротуарную плитку, одна подогнана к другой так, что зазоров не остается.

Каждый угол равен 120˚. Сторона фигуры равна радиусу описанной окружности.

postroenie pravilnogo shestiugolnika

Расчет

Требуемое значение можно вычислить, разбив фигуру на шесть треугольников с равными сторонами.

formula rascheta 1

Вычислив S одного из треугольников, нетрудно определить и общую. Простая формула, так как правильный шестиугольник, по сути, является шестью равными треугольниками. Таким образом, для ее расчета найденную площадь одного треугольника умножают на 6.

Если от центра шестиугольника к любой его стороне провести перпендикуляр, получается отрезок – апофема.

Посмотрим, как находить S шестиугольника, если апофема известна:

Подставляем полученные результаты в формулу: S=1/2×периметр×апофема

Считаем:

Упрощаем полученный ответ, чтоб избавиться от корней. Результат будет выражен в квадратных сантиметрах: ½×60см×5√3см=30×5√3см=150 √3см=259,8с м².

Как находить площадь неправильного шестиугольника

Есть несколько вариантов:

Выбор способа диктуется исходными данными.

Метод трапеции

Шестиугольник делится на отдельные трапеции, после чего вычисляется площадь каждой полученной фигуры.

formula rascheta 2

Использование осей координат

Используем координаты вершин многоугольника:

Разбивка шестиугольника на другие фигуры

Многоугольники разбиваются на другие фигуры: трапеции, треугольники, прямоугольники. Пользуясь формулами вычисления площадей перечисленных фигур, требуемые значения вычисляются и складываются.

Неправильный шестиугольник может состоять из двух параллелограммов. Чтоб вычислить площадь параллелограмма, его длина умножается на его ширину, а далее уже известные две площади складываются.

Площадь равностороннего шестиугольника

У правильного шестиугольника шесть равных сторон. Площадь равносторонней фигуры равна 6S треугольников, на которые разбит правильный шестиугольник. Каждый треугольник в правильном шестиугольнике равен, поэтому для вычисления площади такой фигуры довольно знать площадь хотя б одного треугольника.

formula rascheta ploschadi treugolnika

Чтоб найти искомое значение пользуются формулой площади правильной фигуры, описанной выше.

Источник

Правильный шестиугольник: свойства, формулы, площадь

Знаете ли вы, как выглядит правильный шестиугольник?
Этот вопрос задан не случайно. Большинство учащихся 11 класса не знают на него ответа.

Правильный шестиугольник — такой, у которого все стороны равны и все углы тоже равны.

Железная гайка. Снежинка. Ячейка сот, в которых живут пчелы. Молекула бензола. Что общего у этих объектов? — То, что все они имеют правильную шестиугольную форму.

6ang 00

Многие школьники теряются, видя задачи на правильный шестиугольник, и считают, что для их решения нужны какие-то особые формулы. Так ли это?

Проведем диагонали правильного шестиугольника. Мы получили шесть равносторонних треугольников.
6ang 01

Тогда площадь правильного шестиугольника — в шесть раз больше.

, где — сторона правильного шестиугольника.

Обратите внимание, что в правильном шестиугольнике расстояние от его центра до любой из вершин одинаково и равно стороне правильного шестиугольник.

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

6ang 02

. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

6ang 03

Мы знаем, что сторона правильного шестиугольника равна радиусу описанной вокруг него окружности.

Источник

Правильный шестиугольник

MT A 6 10 1

\(\blacktriangleright\) Около правильного шестиугольника можно описать окружность: ее радиус равен его стороне.

\(\blacktriangleright\) Большие диагонали правильного шестиугольника делят его на \(6\) равносторонних треугольников, у которых высота равна радиусу вписанной в правильный шестиугольник окружности.

\(\blacktriangleright\) Центры вписанной и описанной около правильного шестиугольника окружностей есть точка пересечения больших диагоналей этого шестиугольника.

\(\blacktriangleright\) Площадь правильного шестиугольника со стороной \(a\) равна \[S=\dfrac<3\sqrt3>2a^2\]

A 6 10 4

По свойству правильного шестиугольника радиус \(r\) вписанной окружности равен перпендикуляру, проведенному из центра правильного шестиугольника (центр вписанной и описанной окружности) к стороне шестиугольника; причем этот перпендикуляр падает в середину стороны.

A 6 10 1

\[a^2=\left(\frac a2\right)^2+r^2 \quad \Rightarrow \quad a=\dfrac 2<\sqrt3>\,r \quad\Rightarrow \quad a=\dfrac2<\sqrt3>\cdot \sqrt<12>=4\]

fipi 6 10 1

Если провести все большие диагонали правильного шестиугольника, то они пересекутся в одной точке, которая и будет центром описанной около него окружности (свойство правильного шестиугольника). Рассмотрим чертеж:

fipi 6 10 2

fipi 6 8 5

fipi 6 8 5

A 6 10 3

\[S=6\cdot \dfrac<\sqrt3>4a^2=24\sqrt3 \quad \Rightarrow \quad a=4 \quad \Rightarrow \quad AD=2a=8.\]

B 6 47 1

Радиус описанной около правильного шестиугольника окружности равен стороне этого шестиугольника.

Теме «Правильный шестиугольник и его свойства» в ЕГЭ по математике традиционно отводится сразу несколько заданий. Причем в зависимости от условия от учащегося может требоваться как развернутый, так и краткий ответ. Именно поэтому в процессе подготовки к сдаче аттестационного испытания выпускникам непременно стоит научиться решать задачи на применение свойств этой фигуры, в которых необходимо найти ее стороны, диагонали, радиус окружности со вписанным правильным шестиугольником и т. д.

Восполнить пробелы в знаниях, «прокачать» навыки и улучшить собственные знания по данной теме вам поможет образовательный проект «Школково». Наши специалисты подготовили и изложили весь базовый материал для подготовки к ЕГЭ в максимально доступной форме.

Чтобы школьники могли успешно справляться с задачами по данной теме, мы рекомендуем повторить базовые понятия: каковы свойства правильного шестиугольника, описанного около окружности, как вычисляется его площадь, чему равны его углы и т. д. Весь необходимый материал вы найдете в разделе «Теоретическая справка». Он был разработан нашими сотрудники на основе богатого практического опыта.

Для закрепления полученных знаний предлагаем потренироваться в решении соответствующих задач, а также заданий по теме «Параллелограмм в ЕГЭ». Найти их вы сможете в разделе «Каталог». Для каждого упражнения на сайте представлены алгоритм решения и правильный ответ.

Готовиться к ЕГЭ школьники из Москвы и других городов могут в режиме онлайн. В случае необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное». В дальнейшем к этому заданию можно будет вернуться и, к примеру, обсудить алгоритм его решения с преподавателем.

Источник

Площадь правильного шестиугольника

Magnify clip

Площадь правильного шестиугольника — это число, характеризующее правильный шестиугольник в единицах измерения площади.

Правильный шестиугольник (гексагон) — это шестиугольник, у которого все стороны и углы равны.

[править] Обозначения

n — число сторон, n = 6 ;

r — радиус вписанной окружности;

R — радиус описанной окружности;

α — половинный центральный угол, α = π/6 ;

P6 — периметр правильного шестиугольника;

SΔ — площадь равнобедренного треугольника с основанием, равным стороне, и боковыми сторонами, равными радиусу описанной окружности;

S6 — площадь правильного шестиугольника.

[править] Формулы

[math]S_6=\frac<3\sqrt<3>><2>a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=6S_<\triangle>, \ S_<\triangle>=\frac<\sqrt<3>><4>a^2 \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=\frac<1><2>P_6r, \ P_6=6a, \ r=\frac<\sqrt<3>><2>a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=\frac<3\sqrt<3>><2>R^2, \ R=a \Leftrightarrow[/math] [math]\Leftrightarrow S_6=2\sqrt<3>r^2, \ r=\frac<\sqrt<3>><2>R[/math]

[править] Другие многоугольники

Персональные инструменты
Пространства имён
Варианты
Просмотры
Действия
Поиск
Навигация
Инструменты

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector