чему равна плотность энергии электромагнитного поля

Плотность и поток энергии электромагнитного поля

1. Объемная плотность энергии электромагнитного поля W равна сумме объемных плотностей энергии электрического (we) и магнитного (wm) полей.

Для поля в линейной изотропной среде, не обладающей сегнетоэлектрическими и ферромагнитными свойствами, we можно найти по формуле we=dWe/dV=½εε0E 2 =½ED, а wm – по формуле image744, поэтому

image746,

Где ε и μ – относительные диэлектрические и магнитная проницаемость среды. Из соотношения image748между модулями векторов E и H поля электромагнитной волны следует, что объемная плотность энергии электромагнитной волны

image750,

Где ν – скорость электромагнитной волны в среде image752.

Эти величины связаны уравнением которое выражает собой закон сохранения энергии электромагнитного поля.

Дифференциальному уравнению (10.13) соответствует интегральное

image754

есть мощность, выделяющаяся в виде тепла в объеме V. Анализируя

уравнение (10.14), можно заключить, что поток вектора S через поверх­ность S, ограничивающую объем V,

есть энергия электромагнитного поля, падающая на некоторую поверх­ность S за единицу времени.

Вернемся к уравнению (10.14). Оно утверждает, что энергия W в S ndS S ndS(10.17)

объ­еме V изменяется вследствие того, что часть ее переходит в тепло, а часть вытекает

Энергия электромагнитных волн.

2. Объемная плотность энергии электромагнитного поля W равна сумме объемных плотностей энергии электрического (we) и магнитного (wm) полей.

Для поля в линейной изотропной среде, не обладающей сегнетоэлектрическими и ферромагнитными свойствами, we можно найти по формуле we=dWe/dV=½εε0E 2 =½ED, а wm – по формуле image744, поэтому

image746,

Где ε и μ – относительные диэлектрические и магнитная проницаемость среды. Из соотношения image748между модулями векторов E и H поля электромагнитной волны следует, что объемная плотность энергии электромагнитной волны

image756,

Где ν – скорость электромагнитной волны в среде image752.

2. В случае плоской линейно поляризованной монохроматической волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси OX, напряженность поля image758.Соответственно объемная плотность энергии этой волны

image760.

Значение w в каждой точке поля периодически колеблется с частотой image762в пределах от 0 до image764. Среднее за период значение w пропорционально квадрату амплитуды напряженности поля:

image766.

Если плоская монохроматическая волна имеет произвольную (эллиптическую) поляризацию, то image768и отсюда получим

image770

image772

3. Вектор П плотности потока энергии электромагнитной волны называется вектором Умова-Пойтинга (вектором Пойтинга).

В случае переноса энергии бегущей монохроматической волной равна фазовой скорости этой волны. Вектор Умова-Пойтинга равен

image774

В случае плоской бегущей монохроматической волны, которая эллиптически поляризована, модуль вектора П равен

image776

Если, в частности, волна линейно поляризована, то

Источник

Чему равна плотность энергии электромагнитного поля

Плотность энергии электромагнитного поля.

Из предыдущего параграфа известно, что запас электромагнитного поля в объеме V: (1)

Правую часть можно представить в виде двух слагаемых, одно из которых зависит только от электрического поля, а другое только от магнитного.

Так как энергии представлены в виде интегралов по объему, то подынтегральные выражения можно трактовать как объемную плотность энергий, а их сумму — как объемную плотность энергии электромагнитного поля.

Принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы электромагнитного поля, не распространяется на энергию электромагнитного поля. Мощность периодических несинусоидальных токов Для определения активной мощности, выделяемой на активных элементах, воспользуемся формулой мгновенной мощности p = iu, где i и u заданы рядом Фурье.

Пусть в объеме V существует независимо два электромагнитных поля. Энергия суммарного электромагнитного поля:

где W12 — взаимная энергия электромагнитного поля. Она может быть как положительной, так и отрицательной, т.е. суммирование электромагнитных полей может приводить как к увеличению энергии результирующего поля, так и к уменьшению ее. Если электрический и магнитный вектора, суммируемых полей, взаимно ортогональны, то очевидно, что взаимная энергия будет равна нулю. В случае переменных процессов электромагнитная энергия непрерывно изменяется. Эти изменения в каждой точке можно описать следующим соотношением:

Так как левая часть и первое слагаемое есть подынтегральные выражения, то их можно трактовать объемной плотностью мощности сторонних источников и сторонних потерь.

Соотношение (8) есть дифференциальная форма теоремы Пойнтинга.

Скорость распространения энергии электромагнитных волн.

В пространстве, в котором распространяется электромагнитная энергия, выделим энергетическую трубку (некий протяжный объем, на боковой поверхности которого вектор Пойнтинга равен нулю).

Тогда скорость распространения энергии:

Энергию, заключенную между торцами D S и D S1:

где w — объемная плотность энергии, а D S’ — среднее сечение.

Если промежуток D t взять достаточно малым, чтобы не успел измениться, то энергию:

Найдем предел от соотношения (4) при D t ® 0. Получим:

Источник

Плотность потока энергии

В фотометрии наряду с величиной «плотность потока энергии» используется имеющая ту же размерность и близкий физический смысл величина «облучённость» (энергетическая освещённость). От плотности потока энергии данная величина отличается тем, что относится только к оптическому излучению и представляет собой поток энергии, падающий на произвольно ориентированную малую площадку единичной площади.

Связанные понятия

Фотометри́ческая величина́ — аддитивная физическая величина, определяющая временно́е, пространственное, спектральное распределение энергии оптического излучения и свойств веществ, сред и тел как посредников переноса или приемников энергии.

Фотоны, которые мигрируют в биологических тканях могут быть описаны при помощи численного моделирования методом Монте Карло или аналитическим уравнением переноса излучения (УПИ). Однако, УПИ трудно решается без применения упрощений (приближений). Стандартным методом упрощения УПИ является диффузионное приближение. Общее решение уравнения диффузии для фотонов получается быстрее, но менее точно чем методом Монте Карло.

Упоминания в литературе

Связанные понятия (продолжение)

γ4), радиационное затухание важно для ускорителей лёгких ультрарелятивистских частиц (электронные синхротроны), и несущественно для адронных машин.

Ниже приведены примеры уравнений непрерывности, которые выражают одинаковую идею непрерывного изменения некоторой величины. Уравнения непрерывности — (сильная) локальная форма законов сохранения.

В теории поля представление системы зарядов в виде некоторых квадрупо́лей, аналогично представлению её в виде системы диполей, используется для приближённого расчёта создаваемого ей поля и излучения. Более общим представлением является разложение системы на мультиполи, соответствующее разложению потенциалов в ряд Тейлора по некоторым переменным. Квадруполь — частный случай мультиполя. Квадрупольное рассмотрение системы оказывается особенно важным в том случае, когда её дипольный момент и заряд равны.

Эта статья — об энергетическом спектре квантовой системы. О распределении частиц по энергиям в излучении см. Спектр, Спектр излучения. Об энергетическом спектре сигнала см. Спектральная плотность.Энергетический спектр — набор возможных энергетических уровней квантовой системы.

Источник

Энергия и мощность электромагнитного поля

dark fb.4725bc4eebdb65ca23e89e212ea8a0ea dark vk.71a586ff1b2903f7f61b0a284beb079f dark twitter.51e15b08a51bdf794f88684782916cc0 dark odnoklas.810a90026299a2be30475bf15c20af5b

caret left.c509a6ae019403bf80f96bff00cd87cd

caret right.6696d877b5de329b9afe170140b9f935

Энергией называется общая количественная мера различных форм движения материи, а мощностью называется работа, производимая в единицу времени.

Электромагнитное поле обладает энергией, значит, ее можно определить. При этом векторы поля и электродинамические характеристики средысчитаем известными.

Баланс энергии электромагнит­ного поля

Вначале сформулируем уравнение баланса энергии в общем виде. Для этого рассмотрим объем V, заполненный однородной изо­тропной средой и ограни­ченный поверхностью S. Пусть в этом объеме за счет действия сторонних источни­ков выделяется электромаг­нитная энергия. Очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходо­ваться на потери в среде, на изменение запаса энергии внутри объема и на излучение в окружающую среду через поверхность S.

При этом должно выполняться следующее равенство:

Уравнение (4.1) дает качественное представление об энергетических соотношениях в электромагнитном поле. Для определения количественных характеристик воспользуемся уравнениями Максвелла.

После скалярного умножения получим:

image207 (4.2)

Далее необходимо использовать формулу векторного анализа (1.26) и выразить из нее произведение Еrot Н, стоящие в правой части уравнения (4.2):

image209 (4.3)

Подставим это выражение в формулу (4.2) и перенесем произведение вектора напряженности электрического поля на вектор плотности сторонних токов в левую часть, а все остальные слагаемые – в правую. Кроме того, с помощью второго уравнения Максвелла заменим rot Е на производную по времени от вектора магнитной индукции с обратным знаком и с помощью формул (1.9), (1.14) выразим векторы индукции через соответствующие векторы напряженности поля и проницаемости.

Получим:

image211 (4.4)

Векторное произведение векторов Е и Н обозначается буквой П и называется вектор Пойнтинга:

image213 (4.5)

Осталось проинтегрировать уравнение (4.4) по объему V. В результате получим:

image215 (4.6)

В преобразовании уравнения (4.6) использована теорема Остроградского-Гаусса (1.33). Кроме того, в последнем слагаемом правой части уравнения изменен порядок операций интегри­рования и дифференцирования.

Левая часть уравнения (4.6) определяет мощность, отдаваемую сторонними токами в объеме V. Сторонний ток проводимости – это упорядоченное движение заряженных частиц. Для простоты положим, что векторы напряженности электрического поля и плотности сторонних токов коллинеарны. Если частицы тормозятся полем, ток отдает ему свою энергию. Для этого требуется, чтобы векторы напряженности электрического поля и плотности стороннего тока были направлены про­тивоположно. Значит, скалярное произведе­ние векторов Е и Jст будет отрицательным и левая часть уравнения (4.5) станет положительной величиной. Такая ситуация характерна для работы некоторых передающих антенн.

Если векторы плотности стороннего тока и напряженности электрического поля направлены в одну сторону, заряженные частицы будут ускоряться полем, и ток станет отбирать у него энергию. Эту процедуру осуществляют разного рода приемные антенны, однако энергия, которую они могут отнять у поля в свободном пространстве, невелика.

Иначе обстоит дело в волноводах, которые служат для передачи энергии от источника к потребителю. На входном конце волновода сторонние силы реализуют процедуру возбуждения поля. Когда энергия достигает конца волновода, ее надо полностью отобрать у поля и передать потребителю. Для этого используются приемные устройства, преобразующие энергию электрической или магнитной составляющей поля в ток проводимости и передающие его дальше. В этом случае требуется отбирать у поля максимум энергии.

640 1

Реальная среда всегда обладает электропроводностью. Поэтому, зная напряженность электрического поля и электропроводность среды, можно найти мощность тепловых потерь, т. е. энергию, теряемую электромагнитным процессом за единицу времени.

image217
Рис. 4.1. К определению мощности потерь

Обратимся к рис. 4.1, на котором изображена картина линий вектора плотности тока проводимости. В объеме протекания тока выделена цилиндрическая область V. Этот цилиндр имеет длину l и площадь основания S, а ось его совпадает с направлением вектора плотности тока проводимости. Для упрощения решения задачи область должна быть так мала, чтобы вектор плотности тока внутри нее можно было бы считать не зависящим от координат. В этом случае в соответствии с первым слагаемым правой части формулы (4.6) получим:

image219 (4.7)

Так как плотность тока проводимости и напряженность поля не зависят от координат, они вынесены из-под знака интеграла. Там остался только скалярный дифференциал объема. Его интегрирование по объему дает величину объема. В средней части формулы (4.7) объем цилиндра представлен как произведение площади его основания S на длину l, а параллельные векторы плотности тока и напряженности поля заменены их модулями. Ток I в последней части формулы определен как произведение площади основания цилиндра на плотность тока, а напряжение U – как произведение длины цилиндра на напряженность электрического поля.

Для выяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (4.6) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеальной проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S. Такая оболочка блокирует обмен энергией с внешней средой, и объем становится энергетически изолированным. В этом случае тангенциальная (касательная) составляющая напря­женности электрического поля на поверхности S будет равна нулю. Векторный дифференциал поверхности dS совпадает по направлению с ортом внешней нормали n0. Следовательно, поверхностный интеграл в уравнении (4.6) будет равен нулю из-за того, что нормальная компонента вектор­ного произведения [Е, Н] определяется тангенциальными составляю­щими входящих в него векторов.

Предположим, кроме того, что электропроводность среды в объеме V равна нулю. Значит, тепловые потери исчезнут, и первый интеграл в правой части уравнения (4.6) также будет ра­вен нулю.

Получим:

image221 (4.8)

В таком изолированном объеме без потерь мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение запаса энергии электромагнитного поля. Значит, правая часть уравнения (4.8) равна скорости изменения энергии электро­магнитного поля, запасенной в объеме V, а интеграл в правой части этого уравнения равен энергии электромагнитного поля в объеме V:

image223 (4.9)

Осталось выяснить физическую сущность поверхностного инте­грала в уравнении (4.6). Предположим, что потери внутри объема V отсут­ствуют и, кроме того, величина электромагнитной энергии остаетсяпостоянной.

B этом случае уравнение (4.6) примет следующий вид:

image225 (4.10)

Потерь в объеме нет, и запас энергии не меняется, значит, вся мощность сторонних источников должна излучаться в окружающее пространство. Следовательно, поток вектора Пойнтинга П через поверхность S равен излучаемой мощности, которую в уравнении (4.1) мы обозначили РΣ.

Таким образом, качественное уравнение (4.1) преобразовано в уравнение (4.6) с помощью которого можно проводить количественные оценки составляющих баланса мощности.

Рассмотрим частный случай отбора энергии электромагнитного поля сторонними источниками. Пусть энергия поступает в объем V из окружающего пространства. Часть ее преобразуется в тепло, а другая отбирается сто­ронними источниками. При этом количество электромагнитной энер­гии, запасенной в объеме V, не изменяется.

Урав­нение (4.6) в этом случае надо переписать в следующем виде:

image227 (4.11)

Так как левая часть уравнения (4.11) представляет собой поток энергии, то вектор Пойнтинга является вектором плотности потока энергии. Направление вектора Пойнтинга в изотропной среде совпадает с направлением распространения энергии.

Плотность энергии электромаг­нитного поля

image229 (4.12)

где W э – энергия электрического поля, Вт*с:

image231 (4.13)
image233 (4.14)

Подынтегральные выражения в формулах (4.13) и (4.14) описывают объемные плотности энергии электрического и магнитного полей:

image235 (4.15)
image237 (4.16)

Сумма результатов вычислений по формулам (4.15) и (4.16) дает объемную плотность полной энергии электромагнитного поля.

Необходимо обратить внимание на следующий факт. Векторы напряженности электрического и магнитного полей удовлетворяют принципу суперпозиции. Это означает, что векторы напряженности полей, созданных разными источниками, складываются. Однако этот принцип не распространяется на энергию.

Для доказательства этого рассмотрим два поля, вектора напряженности которых равны Е1, Н1 и Е2, Н2 соответственно. Они существуют в одной области V и имеют энергии W1 и W2. Векторы напряженности суммарного поля определятся простым суммированием: Е = Е1 + Е2, Н = Н1 + H2. Энергию суммарного поля надо определять по формуле (4.9):

image239 (4.17)

где W12 — взаимная энергия полей:

image241 (4.18)

Взаимная энергия может быть как положительной, так и отрицательной. Если же векторы Е1 и Е2, а также Н1 и Н2 взаимно перпенди­кулярны, то взаимная энергия полей равна нулю.

В переменном электромагнит­ном поле энергия непрерывно перераспределяется между электрическим и магнитным полем. Это перераспределение в каждой точке поля описывается уравнением (4.4). Однако его целесообразно переписать в ином виде:

Уравнение (4.19) является дифференциальной формой теоремы Пойнтинга.

Скорость распространения элек­тромагнитной энергии

Электромагнитная энергия распространяется в пространстве не мгновенно, а с некоторой скоростью. Для определения этой скорости в пространстве, в котором распространяется энергия, выделим энергетическую трубку (рис. 4.2). Форма трубки должна быть такой, что­бы ее боковая поверхность совпадала с направлением вектора Пойнтинга. То есть на боковой поверхности трубки нормальная составляющая векто­ра Пойнтинга должна быть равна нулю.

image245
Рис. 4.2. Энергетическая трубка

За время Δt через поперечное сечение труб­ки ΔS проходит энергия ΔW. Она сосредоточена в объеме ΔV между сечениями трубки ΔS и ΔS1. Расстояние между этими сечениями равно Δl. При этих условиях скорость распространения энергии можно описать формулой:

Энергию ΔW, распространяющуюся вдоль трубки, можно определить интегрированием плотности энергии по площади сечения трубки и умножением результата на ее длину:

Положение этого сечения не важно, так как через любое сечение трубки за время Δt проходит вся энергия ΔW. При достаточно малых промежутках времени Δt вектор Пойнтинга можно считать неизменным, поэтому, кроме равенства (4.21) должно выполняться еще одно:

image251 (4.22)

Для того чтобы определить скорость переноса энергии надо разделить Δl на Δt и устремить Δt к нулю. Для этого надо формулу (4.22) разделить на формулу (4.21), выделить искомое отношение и выполнить предельный переход:

image253 (4.23)

Если векторы Е и Н постоянны в сечении ΔS, постоянными будут и вектор Пойнтинга П и объемная плотность энергии w.В этом случае соотношение (4.23) можно упростить, основываясь на том, что направ­ление вектора Пойнтинга совпадает с направлением распростра­нения энергии:

image255 (4.24)

Следовательно, скорость переноса энергии электромагнитным полем можно вычислить, разделив плотность потока энергии (вектор Пойнтинга) на плотность энергии.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector