чему равна полная энергия колебательного контура

Физика. 11 класс

Конспект урока

Урок 7. Свободные и вынужденные электромагнитные колебания. Колебательный контур

Перечень вопросов, рассматриваемых на уроке:

1) электромагнитные колебания, колебательный контур;

2) универсальность основных закономерностей колебательных процессов для колебаний любой физической природы;

3) гармонические колебания;

4) физический смысл характеристик колебаний.

5) графики зависимости электрического заряда, силы тока и напряжения от времени при свободных электромагнитных колебаниях.

6) определение по графику характеристик колебаний;

7) аналогия между механическими и электромагнитными колебаниями.

Электромагнитными колебаниями называют периодические изменения со временем заряда, силы тока и напряжения.

Свободными колебаниями называют колебания, возникающие в колебательной системе за счет первоначально сообщенной этой системе энергии.

Система, состоящая из конденсатора и катушки индуктивности, присоединенной к его обкладкам, называется колебательным контуром.

Период электромагнитных колебаний – промежуток времени, в течение которого ток в колебательном контуре и напряжение на пластинах конденсатора совершает одно полное колебание.

Частота колебаний – число колебаний в единицу времени.

Основная и дополнительная литература по теме урока:

Основное содержание урока

Колебательным контуром называется система, состоящая из конденсатора и катушки, присоединенной к его обкладкам, в которой могут происходить свободные электромагнитные колебания

Электромагнитные колебания в контуре происходят с большой частотой и определять его характеристики без осциллографа невозможно.

Развертка получаемая на экране осциллографа схожа с той, что вычерчивает маятник с песочницей над движущимся листом бумаги при колебаниях математического маятника.

Чтобы в колебательном контуре возникли колебания, необходимо сообщить колебательному контуру энергию, зарядив конденсатор от источника тока.

Энергия, полученная конденсатором заключена в электрическом поле обкладок

a876c8e7 0670 4f81 9dce d3f4f670c6d8

где c790ea3c ff98 46dc 90bd 795ed383b592— заряд конденсатора, C – его электроемкость.

Между обкладками конденсатора возникает разность потенциалов 4fe8ab0b 754a 4b88 b490 1fdb11245807.

При разрядке конденсатора энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля, определяемая по формуле

82fd8aa2 5190 4103 abfd 99254913d0d9

где b24825cb 003e 42e6 b3af 0774b54e86cc– индуктивность катушки, 0c28f97e 15cf 4213 9596 68e63aec7c58– сила переменного тока.

Полная энергия колебательного контура равна

4803bf1f 5970 42a5 8566 6950ba013915

Когда конденсатор разрядится полностью, вся энергия электрического поля превращается в энергию магнитного поля. Когда сила тока и созданное им магнитное поле начинает уменьшаться, возникает ЭДС самоиндукции, стремящийся поддержать ток, и начинается перезарядка конденсатора. При свободных колебаниях через промежутки времени, равные периоду колебаний, состояние системы в точности повторяется. Полная энергия такой системы любой момент времени равно максимальной энергии электрического поля или максимальной энергии магнитного поля.

4e93c2de 41d8 4c1c baed fdcba7a4a95c

Электромагнитные колебания в контуре имеют сходство со свободными механическими колебаниями. Характер периодического изменения различных величин одинаков. При механических колебаниях периодически изменяются координата тела x и проекция его скорости 9ff07596 e5c6 485a a594 3ac8b0cbe8ac, а при электромагнитных колебаниях изменяются заряд q конденсатора и сила тока i в цепи.

Индуктивность катушки L аналогична массе тела m, при колебаниях груза на пружине, кинетическая энергия тела 45529901 c5d5 46ce aa6c 51be859c11c8, аналогична энергии магнитного поля тока c7dd705a 10e9 497f a646 f719cd2a5a72.

Роль потенциальной энергии выполняет энергия заряда конденсатора:

2cd558a3 c15f 4e7d a061 f141fc78b119

Координата тела аналогична заряду конденсатора.

Полная энергия колебательного контура, в любой момент времени, равна сумме энергий магнитного и электрического полей:

c67a5f11 b57a 4909 8f73 422bf2583434

Производная полной энергии по времени равна нулю при R = 0. Следовательно, равна нулю сумма производных по времени от энергий магнитного и электрического полей:

66aec5fb 5bc3 4337 91fd 389df9f6c8e6

9c84a63f d132 480f b8c9 93d6449fb25e

Электрический заряд и сила тока, при свободных колебаниях с течением времени изменяются по закону синуса или косинуса, то есть совершают гармонические колебания.

Циклическая частота для свободных электрических колебаний:

4221e038 22ed 4a8d 9cb6 84b8212d1c46

e86f8d6e 1744 4666 bd48 df8229619ef3

Период свободных колебаний в контуре равен:

7ae1a5d2 534d 4f13 a243 62e557f022a9

Период свободных электрических колебаний в колебательном контуре зависит от индуктивности катушки и емкости конденсатора.

Период электромагнитных колебаний – промежуток времени, в течение которого ток в колебательном контуре и напряжение на пластинах конденсатора совершает одно полное колебание.

Частотой колебаний называется величина, обратная периоду колебаний:

f0576684 5171 4502 87d6 72e7e457e7b7

Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы.

Заряд конденсатора изменяется по гармоническому закону:

4fc76c60 f158 4b88 835d dbfc5ad0a4d6

где 3f4ae38a 41fa 4cf0 8a29 f37ea0be67e3– амплитуда колебаний заряда. Сила тока также совершает гармонические колебания:

df62ec18 2786 4d1d 8acb 367327751196

где 1dbf63ef 46ce 45e8 9708 ebd246c06061– амплитуда колебаний силы тока. Колебания силы тока опережают по фазе колебания заряда на b9c7157a 5a2c 4d51 802c b2961063caa0.

Разбор типовых тренировочных заданий

Задача 1. Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора ёмкостью 2 мкФ и катушки индуктивности. В контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице приведена зависимость энергии W, запасённой в конденсаторе идеального колебательного контура, от времени t.

Источник

Чему равна полная энергия колебательного контура

Теорема физики (формула) и словесная формулировка математической записи: полная энергия Е электромагнитных колебаний колебательного контура в каждый момент времени равна сумме энергии электрического поля в конденсаторе и энергии магнитного поля катушки индуктивности в этот момент времени. Полная энергия равна максимальной энергии электрического поля ECmax (в момент, когда энергия магнитного поля катушки равна нулю) и максимальной энергии магнитного поля катушки ELmax (в момент, когда энергия электрического поля равна нулю).

\(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaaeaaaaaaaaa8% qacaWGfbGaeyypa0Jaamyra8aadaWgaaWcbaGaamitaiGac2gacaGG% HbGaaiiEaaqabaGcpeGaaiilaiaadweapaWaaSbaaSqaa8qacaWGmb% aapaqabaGcdaWgaaWcbaWdbiaad2gacaWGHbGaamiEaaWdaeqaaOWd% biabg2da98aadaWcaaqaaiaadYeacaWGXbWaa0baaSqaaiaaicdaae% aacaaIYaaaaOGaeqyYdC3aaWbaaSqabeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOm% aaaapeGaaiilaiaacckacaWGfbGaeyypa0Jaamyra8aadaWgaaWcba% Gaai4qaiGac2gacaGGHbGaaiiEaaqabaGcpeGaaiilaiaadweapaWa% aSbaaSqaaiaadoeaaeqaaOWaaSbaaSqaa8qacaWGTbGaamyyaiaadI% haa8aabeaak8qacqGH9aqppaWaaSaaaeaacaWGXbWaa0baaSqaaiaa% icdaaeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaadoeaaaaaaa!5E23!E = >,_ = \frac<>><2>,E = >,_ = \frac<><<2C>>\)

Здесь L – индуктивность катушки, q0 – максимальный заряд конденсатора, ω – круговая частота электромагнитных колебаний контура, С – емкость конденсатора.

Доказательство теоремы (вывод формулы): значение электрической энергии колебательного контура, в котором совершаются гармонические колебания, в любой момент времени t равно

Магнитная энергия контура, совершающего гармонические колебания, в любой момент времени t равна

EL(t)= \(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGmbGaamyCamaaDaaaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaaakiabeM8a3naa% CaaaleqabaGaaGOmaaaakiGacohacaGGPbGaaiOBamaaCaaaleqaba% GaaGOmaaaakiaacIcacqaHjpWDcaWG0bGaey4kaSIaeqy1dy2aaSba% aSqaaiaaicdaaeqaaOGaaiykaaqaaiaaikdaaaaaaa!487A!\frac<<<\sin >^2>(\omega t + <\phi _0>)>><2>\)

В области гармонических колебаний, когда омическое сопротивление пренебрежимо мало (R=0), энергетических потерь нет, и заряд на обкладках восстанавливается через каждый период полностью. Магнитная энергия переходит в электрическую, и наоборот, электрическая в магнитную. По закону сохранения энергии полная энергия контура не изменяется и в любой момент времени равна сумме электрической и магнитной энергий. Найдем эту сумму:

Выражение в скобках равно единице, поэтому \(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaGaamyraiabg2% da9maalaaabaGaamyCamaaDaaaleaacaaIWaaabaGaaGOmaaaaaOqa% aiaaikdacaWGdbaaaaaa!3BFD!E = \frac<><<2C>>\)

Максимального значения электрическая энергия достигает в те моменты времени, когда косинус фазы принимает значения, равные единице, поэтому EСмах = \(% MathType!MTEF!2!1!+-% feaagKart1ev2aaatCvAUfeBSjuyZL2yd9gzLbvyNv2CaerbuLwBLn% hiov2DGi1BTfMBaeXatLxBI9gBaerbd9wDYLwzYbItLDharqqtubsr% 4rNCHbGeaGqiVu0Je9sqqrpepC0xbbL8F4rqqrFfpeea0xe9Lq-Jc9% vqaqpepm0xbba9pwe9Q8fs0-yqaqpepae9pg0FirpepeKkFr0xfr-x% fr-xb9adbaqaaeGaciGaaiaabeqaamaabaabaaGcbaWaaSaaaeaaca% WGXbWaa0baaSqaaiaaicdaaeaacaaIYaaaaaGcbaGaaGOmaiaadoea% aaaaaa!3A2D!\frac<><<2C>>\)

Максимальная электрическая энергия электромагнитного колебания равна максимальной магнитной энергии. Сравнивая полученные значения с выражением для полной энергии, как и положено по закону сохранения энергии, имеем равенство полной энергии в любой момент времени максимальным значениям кинетической и потенциальной энергий. В те моменты времени, когда кинетическая энергия максимальна, потенциальная минимальна и наоборот, так один вид энергии периодически полностью без потерь переходит в другой.

Условия выполнения: выполняется в области упругих растяжений пружины для случая, когда массой пружины пренебрегают по сравнению с массой подвеса. Кроме того, пренебрегают процессами затухания колебаний.

Источник

Колебательный контур:

Явление возникновения ЭДС индукции при изменении магнитного потока через площадь, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре. Правило Ленца: возникающий в замкнутом контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им собственный магнитный поток через площадь, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение внешнего магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, содержащую конденсатор электроемкостью С и катушку (соленоид) индуктивностью L (рис. 15). Такая цепь называется идеальным колебательным контуром или LC-контуром.

225446

В отличие от реального колебательного контура, который всегда обладает некоторым электрическим сопротивлением (R225444

Пусть в начальный момент времени (t = 0) конденсатор С заряжен так, что на его первой обкладке находится заряд +225464 IL4f6qr, а на второй —225465. При этом конденсатор обладает энергией 225471

С течением времени конденсатор начнет разряжаться, и в цепи появится электрический ток, сила l(t) которого будет меняться с течением времени. Поскольку при прохождении такого электрического тока в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, то это вызовет появление ЭДС самоиндукции, препятствующей изменению силы тока.

Вследствие этого сила тока в колебательном контуре будет возрастать от нуля до максимального значения в течение некоторого промежутка времени, определяемого индуктивностью катушки.

В момент полной разрядки конденсатора (q = 0) сила тока в катушке I(t) достигнет своего максимального значения 225480. В соответствии с законом сохранения энергии первоначально запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

225489

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начнет убывать. Это также произойдет не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создаст индукционный ток. Он будет иметь такое же направление, как и уменьшающийся ток в цепи, и поэтому будет «поддерживать» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезарядит конденсатор до начального напряжения обратной полярности — знак заряда на каждой обкладке окажется противоположным начальному.

Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения 225465. При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно (см. рис. 15). Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток будет проходить в противоположном направлении.

Таким образом, в идеальном LC-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без потребления энергии от внешних источников.

Таким образом, возникновение свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора и возникновением в катушке ЭДС самоиндукции, которая «обеспечивает» эту перезарядку. Заметим, что заряд q(t) конденсатора и сила тока I(t) в катушке достигают своих максимальных значений 225465и 225480в различные моменты времени (см. рис. 15).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальному значению заряда данной обкладки), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Период свободных электромагнитных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона:

225558

Получим эту формулу, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального LC-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство

225568(1)

Поскольку закономерности гармонических колебаний носят универсальный характер, то можно сравнить колебания в LC-контуре с колебаниями пружинного маятника.

225562(2)

и период его колебаний

225571

Проанализируем соотношения (1) и (2). Сравним выражения для энергии электростатического поля конденсатора 225574и потенциальной энергии упругой деформации пружины 225576энергии магнитного поля катушки 225580и кинетической энергии груза 225584Аналогом координаты x(t) при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора q(t), а аналогом проекции скорости груза 225594служит сила тока I(t) в колебательном контуре.

Следуя аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника т на L и k на 225597, тогда для периода свободных колебаний в LC-контуре получим формулу Томсона:

225599

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

Таблица 4

Сопоставление физических величин, характеризующих электромагнитные и механические колебания

225615
Соответственно, зависимость заряда конденсатора от времени будет иметь такой же характер, как и зависимость координаты (смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

225620

Также по гармоническому закону (но с другими начальными фазами) будут изменяться сила тока в цепи, напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы 225640и амплитуды колебаний заряда 225643необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени (t = 0).

Полная энергия идеального колебательного контура (R = 0) с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется.

Как уже отмечалось, реальный колебательный контур всегда имеет некоторое сопротивление R, обусловленное сопротивлением катушки, соединительных проводов и т. д. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они «будут происходить» сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с трением.

Пример №1

При изменении емкости конденсатора идеального LC-контура на 225647= 50 пФ частота свободных электромагнитных колебаний в нем увеличилась с 225659= 100 кГц до 225663= 120 кГц. Определите индуктивность L контура.

225679

Решение

Частота колебаний в контуре

225685

Поскольку частота колебаний в контуре увеличилась (225690), то электроемкость должна уменьшится, т. е. 225696.

Из условия задачи получаем систему уравнений

Откуда 225709

Вычитая из первого уравнения второе, получаем

225718

225722

225727

Ответ: L = 0,015 Гн.

Пример №2

Колебательный контур состоит из конденсатора емкостью С = 400пФ и катушки индуктивностью L=10 мГн. Определите амплитудное значение силы тока 225734в контуре, если амплитудное значение напряжения на конденсаторе 225738= 500 В.

225743

Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора

225747

а максимальная энергия магнитного поля катушки

225754

Так как контур идеальный (R = 0), то его полная энергия не меняется с течением времени. Кроме того, в момент, когда заряд конденсатора максимален, сила тока в катушке равна нулю, а в момент, когда заряд конденсатора равен нулю, сила тока в ней максимальна. Это позволяет утверждать, что максимальные энергии в конденсаторе и катушке равны: 225775, т. е.

откуда 225782

225788

Ответ: 225793.

Колебательный контур и свободные электромагнитные колебания в контуре

Явление возникновения ЭДС в любом контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром, называется явлением электромагнитной индукции.

Под явлением самоиндукции понимают возникновение в замкнутом проводящем контуре ЭДС индукции, создаваемой вследствие изменения силы тока в самом контуре.

Правило Ленца: возникающий в замкнутом проводящем контуре индукционный ток имеет такое направление, при котором созданный им магнитный поток через поверхность, ограниченную контуром, стремится компенсировать изменение магнитного потока, вызвавшее данный ток.

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных конденсатора электроемкостью 231511и катушки (соленоида) индуктивностью 231514(рис. 29, а), называемую идеальным колебательным контуром или 231516-контуром. Электрическое сопротивление идеального контура считают равным нулю 231522Следовательно, идеальный колебательный контур является упрощенной моделью реального колебательного контура.

Подключив (при помощи ключа 231524источник тока, зарядим конденсатор до напряжения 231526 9wfqbodсообщив ему заряд 231530(рис. 29, б). Следовательно, в начальный момент времени 231532конденсатор заряжен так, что на его обкладке 1 находится заряд 231535а на обкладке 2 — заряд 231537При этом электростатическое поле, создаваемое зарядами обкладок конденсатора, обладает энергией 231539
231545

Рассмотрим процесс разрядки конденсатора в колебательном контуре. После соединения заряженного конденсатора с катушкой (при помощи ключа 231551(рис. 30) он начнет разряжаться, так как под действием электрического поля, создаваемого зарядами на обкладках конденсатора, свободные электроны будут перемещаться по цепи от отрицательно заряженной обкладки к положительно заряженной. На рисунке 30 стрелкой показано начальное направление тока в электрической цепи.

Таким образом, в контуре появится нарастающий по модулю электрический ток, сила 231553которого будет изменяться с течением времени (рис. 31, а). Но мгновенная разрядка конденсатора невозможна, так как изменение магнитного поля катушки, создаваемое нарастающим по модулю током, вызывает возникновение вихревого электрического поля. Действительно, в катушке индуктивности возникнет изменяющийся во времени магнитный поток, который вызовет появление ЭДС самоиндукции. Согласно правилу Ленца ЭДС самоиндукции стремится противодействовать вызвавшей ее причине, т. е. увеличению силы тока по модулю.

Вследствие этого модуль силы тока в колебательном контуре будет в течение некоторого промежутка времени плавно возрастать от нуля до максимального значения 231560 Rt2dCsfопределяемого индуктивностью катушки и электроемкостью конденсатора (рис. 31, б).
231564

При разрядке конденсатора энергия его электростатического поля превращается в энергию магнитного поля катушки с током. Согласно закону сохранения энергии суммарная энергия идеального колебательного контура остается постоянной с течением времени (уменьшение энергии электростатического поля конденсатора равно увеличению энергии магнитного поля катушки):

231567

где 231569 LHgVogj— мгновенное значение заряда конденсатора и 231570— сила тока в катушке в некоторый момент времени 231573после начала разрядки конденсатора.

В момент полной разрядки конденсатора 231576сила тока в катушке 231579достигнет своего максимального по модулю значения 231581 FTBpJ5t(см. рис. 31, б). В соответствии с законом сохранения энергии запасенная в конденсаторе энергия электростатического поля перейдет в энергию магнитного поля, запасенную в этот момент в катушке:

231584

После разрядки конденсатора сила тока в катушке начинает убывать по модулю. Это также происходит не мгновенно, поскольку вновь возникающая ЭДС самоиндукции согласно правилу Ленца создает индукционный ток. Он имеет такое же направление, как и уменьшающийся по модулю ток в цепи, и поэтому «поддерживает» его. Индукционный ток, создаваемый ЭДС самоиндукции катушки, перезаряжает конденсатор до начального напряжения 231588но знак заряда на каждой обкладке оказывается противоположным знаку начального заряда. Соответственно, к моменту исчезновения тока заряд конденсатора достигнет максимального значения 231590При этом его обкладка, первоначально заряженная положительно, будет заряжена отрицательно. Далее процесс повторится с той лишь разницей, что электрический ток в ко туре будет проходить в противоположном направлении, что отражено на рисунке 31, а.

Таким образом, в идеальном 231595-контуре будут происходить периодические изменения значений силы тока и напряжения, причем полная энергия контура будет оставаться постоянной. В этом случае говорят, что в контуре возникли свободные электромагнитные колебания.

Свободные электромагнитные колебания в LC-контуре — это периодические изменения заряда на обкладках конденсатора, силы тока и напряжения в контуре, происходящие без пополнения энергии от внешних источников.

Таким образом, существование свободных электромагнитных колебаний в контуре обусловлено перезарядкой конденсатора, вызванной возникновением ЭДС самоиндукции в катушке. Заметим, что заряд 231609 WlUUd2oконденсатора и сила тока 231610в катушке достигают своих максимальных значений 231613в различные момента времени (см. рис. 31 а, б).

Наименьший промежуток времени, в течение которого LC-контур возвращается в исходное состояние (к начальным значениям заряда на каждой из обкладок), называется периодом свободных (собственных) электромагнитных колебаний в контуре.

Получим формулу для периода свободных электромагнитных колебаний в контуре, используя закон сохранения энергии. Поскольку полная энергия идеального 231620-контура, равная сумме энергий электростатического поля конденсатора и магнитного поля катушки, сохраняется, то в любой момент времени справедливо равенство:
231622

Процессы, происходящие в колебательном контуре, аналогичны колебаниям пружинного маятника. Для полной механической энергии пружинного маятника в любой момент времени:

231626

где 231631— жесткость пружины, 231632 kWdN4CE— масса груза, 231634— проекция смещения тела от положения равновесия, 231636— проекция его скорости на ось 231637

Период его колебаний:

231640

Проанализируем соотношения (1) и (2). Видно, что энергия электростатического поля конденсатора 231646является аналогом потенциальной энергии упругой деформации пружины 231648Соответственно, энергия магнитного поля катушки 231652которая обусловлена упорядоченным движением зарядов, является аналогом кинетической энергии груза 231657Следовательно, аналогом координаты 231659пружинного маятника при колебаниях в электрическом контуре является заряд конденсатора 231663Тогда, соответственно, аналогом проекции скорости груза будет сила тока в колебательном контуре, поскольку сила тока характеризует скорость изменения заряда конденсатора с течением времени.

Следуя проведенной аналогии, заменим в формуле для периода колебаний пружинного маятника массу 231670на индуктивность 231673и жесткость 231676тогда для периода свободных колебаний в 231678-контуре получим формулу:

231680

которая называется формулой Томсона.

Несложные дальнейшие рассуждения позволяют установить аналогии между физическими величинами при электромагнитных и механических колебаниях (табл. 4).

231696Для наблюдения и исследования электромагнитных колебаний применяют электронный осциллограф, на экране которого получают временную развертку колебаний (рис. 32).

231699

Зависимость заряда конденсатора от времени имеет такой же вид, как и зависимость координаты (проекции смещения) тела, совершающего гармонические колебания, от времени:

231705

Также по гармоническому закону изменяются сила тока (но с другой начальной фазой) в цепи и напряжение на конденсаторе.

Для определения начальной фазы 231707и максимального заряда 231709необходимо знать заряд конденсатора и силу тока в катушке в начальный момент времени 231711 WQ7a20j

Отметим, что колебательный контур, в котором происходит только обмен энергией между конденсатором и катушкой, называется закрытым.

Полная энергия идеального колебательного контура 231714с течением времени сохраняется, поскольку в нем при прохождении тока теплота не выделяется. Реальный колебательный контур всегда имеет некоторое электрическое сопротивление 231715которое обусловлено сопротивлением катушки и соединительных проводов. Это приводит к тому, что электромагнитные колебания в реальном контуре с течением времени затухают, тогда как в идеальном контуре они будут происходить сколь угодно долго.

Таким образом, механическим аналогом идеального колебательного контура является пружинный маятник без учета трения, а механическим аналогом реального колебательного контура — пружинный маятник с учетом трения.

Пример решения задачи:

Идеальный колебательный контур состоит из конденсатора емкостью 231721пФ и катушки индуктивностью 231723 uK95RdGмГн. Определите максимальное значение силы тока 231726в контуре, если максимальное значение напряжения на конденсаторе 231727
Дано:

231730

231733
Решение

Максимальная энергия электростатического поля конденсатора:

231736
а максимальная энергия магнитного поля катушки:

231740

Так как контур идеальный 231742то его полная энергия сохраняется с течением времени. По закону сохранения энергии 231745т. е.

231747

231748
Ответ: 231750

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector