чему равна потенциальная энергия системы точечных зарядов

Потенциальная энергия заряда в однородном электрическом поле. Энергия взаимодействия точечных зарядов

Энергия взаимодействия точечных зарядов

В курсе механики было получено выражение для энергии взаимодействия точечных тел:

22.7

Если вместо точечных масс взять два разноименных по знаку заряда q1 и q2 (заряды притягиваются), то можно получить аналогичное выражение для потенциальной энергии их взаимодействия:

22.8

Для зарядов одного знака (заряды отталкиваются) знак потенциальной энергии будет противоположным:

22.9

Формулы (1.18.6) и (1.18.7) можно объединить в одну, если вместо модулей зарядов взять их алгебраические значения:

22.10

Знак потенциальной энергии автоматически получится правильным.

Если заряды q1 и q2 имеют одинаковые знаки, то потенциальная энергия их взаимодействия положительна (рис. 1.80, а). Она тем больше, чем меньше расстояние между зарядами, так как работа, которую могут совершить кулоновские силы при отталкивании зарядов друг от друга, будет больше. Если заряды имеют противоположные знаки, то энергия отрицательна и максимальное ее значение, равное нулю, достигается при r → ∞ (рис. 1.80, б). Чем больше r, тем бо́льшую работу совершат силы притяжения при сближении зарядов.

22.11

При записи потенциальной энергии в форме (1.18.8) уже сделан определенный выбор нулевого уровня потенциальной энергии. Считается, что потенциальная энергия бесконечно удаленных зарядов равна нулю: Wp → 0 при r →. Такой выбор нулевого уровня удобен, но не обязателен. Вместо выражения (1.18.8) можно было бы с тем же успехом записать, что

22.12

где С — произвольная постоянная. Отсюда видно, что положительное или отрицательное значение потенциальной энергии особого физического смысла не имеет. Знак потенциальной энергии будет определенным при фиксации произвольной постоянной С. Изменив значение С, мы можем изменить знак W при данном расстоянии r между зарядами.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов

22.13

Докажите это самостоятельно, используя следующий прием. Вначале заряды q2 и q3 находятся на бесконечно большом расстоянии от заряда q1. Затем заряд q2 перемещается в точку, находящуюся на расстоянии r1,2 от первого заряда. Вслед за тем заряд q3 перемещается в точку на расстоянии r1,3 от первого заряда и r2,3 от второго. Надо вычислить работу кулоновских сил, совершаемую при этих перемещениях, и приравнять ее изменению потенциальной энергии, взятому с противоположным знаком.

В общем случае N зарядов

22.14

где ri k — расстояние между зарядами номеров i и k. Коэффициент 22.15получается из-за того, что при суммировании потенциальная энергия учитывается дважды в виде одинаковых слагаемых 22.16

Формулы для потенциальной энергии электрического заряда в однородном поле (1.18.2) и для двух точечных зарядов (1.18.8) целесообразно запомнить. Они будут встречаться достаточно часто.

3.2

22.17

1. Можно ли создать электростатическое поле, линии напряженности которого параллельны, а модуль напряженности возрастает в направлении, перпендикулярном линиям (рис. 1.81)?

2. Нарисуйте график зависимости потенциальной энергии разноименно заряженных частиц от расстояния при условии, что произвольная постоянная С в формуле (1.18.9) положительна.

3. Как будет выглядеть формула (1.18.8), если заряды находятся в среде с диэлектрической проницаемостью ε?

Источник

Чему равна потенциальная энергия системы точечных зарядов

Потенциальная энергия заряда в электрическом поле. Работу, совершаемую силами электрического поля при перемещении положительного точечного заряда q из положения 1 в положение 2, представим как изменение потенциальной энергии этого заряда:

где Wп1 и Wп2 – потенциальные энергии заряда q в положениях 1 и 2. При малом перемещении заряда q в поле, создаваемом положительным точечным зарядом Q, изменение потенциальной энергии равно

При конечном перемещении заряда q из положения 1 в положение 2, находящиеся на расстояниях r1 и r2 от заряда Q,

Приведённые формулы позволяют найти только изменение потенциальной энергии точечного заряда q, а не саму потенциальную энергию. Для определения потенциальной энергии необходимо условиться, в какой точке поля считать ее равной нулю. Для потенциальной энергии точечного заряда q, находящегося в электрическом поле, созданном другим точечным зарядом Q, получим

где C – произвольная постоянная. Пусть потенциальная энергия равна нулю на бесконечно большом расстоянии от заряда Q (при r ® ¥ ), тогда постоянная C = 0 и предыдущее выражение принимает вид

При этом потенциальная энергия определяется как работа перемещения заряда силами поля из данной точки в бесконечно удаленную. В случае электрического поля, создаваемого системой точечных зарядов, потенциальная энергия заряда q:

Потенциал поля точечного заряда Q в однородной изотропной среде с диэлектрической проницаемостью e :

1) Дайте определение потенциала данной точки поля и разности потенциалов двух точек поля.

2) Приведите графики зависимостей напряженности поля и потенциала от расстояния для равномерно заряженной сферической поверхности. Дайте их объяснение и обоснование.

Источник

ЛЕКЦИЯ №16

1. Энергия системы точечных зарядов.

ris 16 01

image003

image005(16.2)

Это энергия взаимодействия двух точечных зарядов, которая в зависимости от знака зарядов, может быть как положительной, так и отрицательной. Можно говорить, что заряд q2 в поле, созданном зарядом q1 обладает потенциальной энергией Wp. Из симметрии формулы ясно, что можно рассуждать и наоборот.

ris 16 02

Теперь добавим в систему третий заряд q3 (рис.16.2). По аналогии

image008

а энергия всей системы зарядов

image010

Это та энергия, которую нужно затратить, чтобы собрать из бесконечно малых порций заряда точечный заряд. Формально она бесконечна, так как необходимо уложить заряды в нулевой объем. Кроме того, эту энергию изменить весьма проблематично. Поэтому можно считать, что это постоянная величина. А мы помним, что потенциальную энергию определяют с точностью до постоянной, которую всегда можно отбросить, так как смысл имеет не сама энергия, а ее изменение.

Обобщив сказанное, можно записать потенциальную энергию взаимодействия системы из N точечных зарядов

image012(16.5)

Множитель 1/2 появляется в связи с тем, что при суммировании каждая пара зарядов входит в формулу два раза. Перепишем это выражение несколько по иному

image014, N>1 (16.6) ris 16 02a

Напомним, что энергия одного точечного заряда в поле, созданном всеми другими зарядами (рис.16.2) вычисляется в соответствии с формулами (6.16)-(6.18) как

image017(16.7)

2. Энергия заряженного тела.

Если распределение зарядов в пространстве непрерывное, то

image019(16.8)

Эту формулу уже можно трактовать и по-другому. При конечных размерах тела потенциал в любой точке пространства конечен в отличии от точечного заряда. Поэтому эту формулу можно рассматривать и как учитывающую собственную энергию заряда, то есть энергию, которую нужно было затратить, чтобы собрать этот заряд из бесконечно малых частей.

Заметим, что полная энергия (16.8) всегда положительна. При переходе к точечным зарядам она становится бесконечной положительной величиной. Если от этой бесконечной величины отнять бесконечную собственную энергию точечных зарядов, то останется конечная энергия взаимодействия точечных зарядов друг с другом (16.6), которая может быть как положительной, так и отрицательной.

Формула (16.7) соответствует духу теории дальнодействия, так как выражает энергию через потенциалы и заряды тел.

3. Энергия заряженной сферы.

image021

где dV=4 p r 2 dr. Очевидно, что image023— то есть поверхностная плотность заряда. Потенциал, который создает сфера, нам известен (7.17). Тогда энергия сферы в соответствии с (16.8)

image025(16.24)

Хотя потенциал сферы внутри и снаружи описывается разными формулами, но при вычислении необходимо только его значение на поверхности сферы, а там он одинаков.

4. Энергия конденсатора.

Известно, что если взять заряженный конденсатор и замкнуть его обкладки через сопротивление, то по цепи потечет ток, проводник нагреется, выделится какое-то количество теплоты. Следовательно, заряженный конденсатор обладал запасом энергии.

Перекидывая ключ на схеме (рис.16.3)(попробуйте это сделать движением мыши), можно периодически заряжать конденсатор от источника и разряжать его через резистор. Лампочка при этом будет на короткое время вспыхивать. Найдем выражение для энергии плоского конденсатора, используя (16.6). Нас очень выручит то, что поле между обкладками этого конденсатора однородно. Тогда

image028

Оказывается, что это выражение справедливо для любого конденсатора. Кроме того, учтем, что часто используют понятие напряжения U, как модуля разности (или изменения) потенциалов. В электростатике это справедливо. Более подробно мы разберем понятие напряжения в лекции №18.

Учитывая вышесказанное и (15.3), энергию конденсатора можно записать как

image030(16.26)

Все три формы записи эквивалентны и применяются при решении задач в зависимости от того, какая из величин остается постоянной.

5. Энергия электрического поля.

ris 16 04

Мы выяснили, что система точечных зарядов и конденсатор обладают энергией. Можно предположить, что это энергия самих зарядов, в том числе и расположенных на обкладках конденсатора. Однако можно говорить, что это энергия электрического поля, созданного системой зарядов или поля внутри конденсатора. Какая из этих точек зрения более правильная неясно. Ответ может дать только опыт, а в электростатике такой эксперимент невозможен, так как нет поля без зарядов, и зарядов без поля. Поэтому этот волнующий вопрос мы оставим без внимания до тех пор, пока не начнем изучать переменные поля.

Здесь выразим энергию конденсатора через характеристики поля, зная формулу емкости плоского конденсатора (15.6), связь между напряженностью и потенциалом (7.8), и очевидное выражение для объема V=Sd

image033

Таким образом, энергия равна

image035(16.28)

Естественно, это справедливо, если нет сторонних потерь и диэлектрическая проницаемость постоянна. Однако нетрудно догадаться, как выглядит это выражение в произвольном случае для бесконечно малого объема.

image037

image039(16.30)

Часто говорят об энергии единицы объема или о плотности энергии электростатического поля

image041(16.31)

Формула (16.30) соответствует духу теории близкодействия, так как выражает энергию через характеристики поля. Сравните с (16.8). Эти формулы эквивалентны.

remark rem: Если вы считаете, что усвоили данный материал, то попробуйте поразмышлять о следующем. Энергия конденсатора и поля в нем согласно (16.26) и (16.30) положительна, а энергия разноименно заряженных пластин по (16.5) отрицательна. Как вы объясните это противоречие?

6. Энергия заряженной сферы(еще раз).

image043(16.32)

Теперь рассчитаем энергию поля, созданного этой сферой, не забыв о том, что внутри поля нет.

image045(16.33)

Как и ожидалось, результаты (16.24), (16.32) и (16.33) совпадают.

remark rem: Заметим, что потенциальная энергия подчиняется принципу минимума: в любой системе проводников при фиксированных значениях потенциалов заряд распределяется таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле была минимальна.

7. Сила взаимодействия пластин конденсатора.

ris 16 05

Ранее отмечалось, что для любого потенциального поля выполняется следующее соотношение между силой и энергией

image048(16.34)

Тогда несложно рассчитать силу взаимодействия между пластинами плоского конденсатора.

Через характеристики поля:

image050image052, image054 image056(16.38)

Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна плотности энергии. Как и следовало ожидать это сила притяжения, так как пластины заряжены разноименно.

Через энергию конденсатора (16.26) расчет еще проще

image058

Эта формула в точности совпадает с (12.10).

Заметим, что сила стремится уменьшить область пространства, заполненного электрическим полем, то есть уменьшить потенциальную энергию в соответствии с принципом минимума потенциальной энергии.

8. Классический радиус электрона.

Снаружи шара все аналогично заряженной сфере, так как поля шара и сферы снаружи одинаковы. Тогда энергия поля снаружи равна

image060

Внутри равномерно заряженного шара поле тоже известно (5.14), поэтому

image062

Интеграл несложный. Мы легко получаем энергию поля внутри шара

image064

Очевидно, что полная энергия заряженного шара

image066

Согласно знаменитому соотношению Эйнштейна между массой и энергией

где m— масса электрона, с— скорость света в вакууме. Приравнивая, получаем

image068(16.45)

На коэффициент в скобках не обращают внимания, так как непонятно, что такое диэлектрическая проницаемость среды внутри электрона. Ясно, что эта величина находится в диапазоне от 0,5 до 0,6, поэтому ее для оценки считают равной единице, и определяют классический радиус электрона по формуле

image070(16.46)

Расчет показывает, что эта величина равна

9. Точечный заряд и бесконечная плоскость.

image072(16.48)

теперь найдем ту же самую величину как энергию взаимодействия двух точечных зарядов: самого заряда и его зеркального отображения по формуле (16.2).

image074

Результат получился в 2 раза больше?! Дело в том, что за плоскостью на самом деле поля нет, поэтому от полученного выражения нужно оставить только половину, что как раз и совпадает с (16.48).

10. Конденсатор с частичным заполнением-1.

ris 16 06

В качестве дополнительной тренировки рассчитаем силу, действующую на единице поверхности диэлектрика, если заряженный конденсатор заполнен им не полностью, а частично. Конденсатор отключен от источника питания.

Сначала рассмотрим следующую конфигурацию (рис.16.6). Данный конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Тогда их емкости соответственно

image077и image079, а общая емкость

image081

image083

Тогда в соответствии с (16.34)

image085(16.54)

Если e 1 e 2, то Fx e 1> e 2, то Fx>0. Очевидно, что диэлектрик втягивается в область с меньшей диэлектрической проницаемостью. Направление силы легко было определить, как силу, действующую со стороны поля на поляризационный заряд. И, наконец, если конденсатор заполнится полностью диэлектриком с большей диэлектрической проницаемостью, то его энергия станет меньше в соответствии с принципом минимума.

Выразим формулу (16.54) через характеристики поля, учитывая, что Q= s S=DS. Заметим, что индукции по обе стороны от границы одинаковы. Тогда

image087

Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна разности плотности энергий

image089(16.57)

Эту же формулу можно получить быстрее, используя (16.30) и (16.31).

image091

11. Конденсатор с частичным заполнением-2.

ris 16 07

Пусть теперь диэлектрик заполняет конденсатор по-другому (рис.16.7). Сторона пластины равна а. Очевидно, что такую систему можно рассмотреть как два параллельно соединенных конденсатора. Далее все делаем по аналогии с п.10 и получаем следующее выражение для силы

image094(16.59)

Опять видим, что сила направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью. Учтем, что при этом распределение зарядов на пластинах конденсатора меняется. Однако напряженности поля справа и слева от границы равны.

Через характеристики поля сила, действующая на единицу поверхности, выражается следующим образом

image096(16.60)

Формулы (16.57) и (16.60) очень похожи.

Можно сделать общий вывод:

zakon Lex: Сила, действующая на границу диэлектрика, пропорциональна разности плотностей энергии электростатического поля и направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.

ris 12 11

image098

отсюда высота подъема

image100

Попробуйте решить ту же задачу, если конденсатор подключен к источнику питания. Результат должен быть аналогичен (16.60). Если ошибетесь со знаком, то посмотрите разъяснения Фейнмана (т.5 стр 158 и 213).

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector