чему равна проекция вектора на ось вектора

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

projection v to line
рис. 1

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 3 2 + 4 2 = √ 9 + 16 = √ 25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a = a · b = 11 = 2.2
| b | 5

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

| b | = √ 4 2 + 2 2 + 4 2 = √ 16 + 4 + 16 = √ 36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр b a = a · b = 12 = 2
| b | 6

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Источник

Вектор. Проекция вектора на ось.

Проекцию вектора 07265455b9e8a4909826.17444278 на ось ОХ принято понимать в различных смысловых значениях: геометрическом и арифметическом (алгебраическом).

65372255b9e8e7c89fd6.68856551

На письме геометрическую проекцию данного вектора можно показать следующим образом:

44676455b9e908d5d8a5.66499583или 68083155b9e917c71235.46747421.

В случае задачи оси ОХ с помощью вектора с, вектор 7645455b9e96f396ee3.42784331называется проекцией вектора 8630255b9e97e1c15f8.20128888на направление вектора с, и на письме его принято обозначать в виде 55703855b9e9a8074f24.55520166.

Геометрическую проекцию вектора на ось ОХ иначе принято называть компонентой вектора по оси ОХ.

2. Алгебраической или арифметической проекцией вектора 2916255b9e9ce059f44.19247636на ось ОХ (или на направление вектора с) называется длина вектора 41749155b9e9de22a7f2.81739503, которая берется с положительным «+» или с отрицательным «-» знаком, согласно тому, направлен ли рассматриваемый вектор одинаково с осью ОХ или иначе.

На письме обозначается следующим образом:

29097055b9e9f6b6f508.27708543или 9883155b9ea02431558.75535588.

Геометрическая проекция вектора выражена в виде вектора, а алгебраическая проекция вектора представлена числовым значением.

1315955b9ea830c7be3.48403555

9012355b9ea97e17831.22680558

В случае, когда векторы 7136955b9eac5a33115.91921483и 9251955b9ead49a9c37.95597497равны, их алгебраические проекции по одинаковой оси тоже равны между собой 54353755b9eae4bf5ae5.29754862Аналогично можно выразить случай с геометрической проекцией вектора.

56706855b9eb39e9d6f1.27113017

Арифметическая проекция одного и того же вектора, но для случая разнонаправленных осей, (О1Х1 и О2Х2) равна:

8329455b9eb5da72f15.02033663.

Аналогично получаем и для случая геометрической проекции векторов, но только при условии параллельности осей, которые нам заданы.

82908155b9eb7137d5a7.49146425

3. Рассмотрим взаимосвязь между компонентой (геометрической проекцией) и алгебраической проекцией вектора.

При условии когда c1 является разнонаправленным с осью ОХ вектором, и имеет длину равную 1, геометрическая проекция выбранного вектора а по оси ОХ равна произведению вектора с1 на алгебраическую проекцию вектора а по оси ОХ. Сказанное записывают в виде:

2160055b9eb88b94581.45828601.

В случае параллельности, но разнонаправленности осей алгебраические проекции не равны, т.к. отличаются своим знаком.

Таким образом, 5586755b9ebf5807dc0.34464699=-2 3647755b9ec04bff9f8.97798725.

Источник

Проекция вектора на ось

Вектор может отбрасывать тень (проекцию) на какую-нибудь ось

r1 460 210

Если:

Примечание:

Длина вектора – это положительная величина, а проекция вектора может быть отрицательной

Как разложить вектор на проекции

Мы уже находили длину и направление вектора по его координатам.

Теперь решим обратную задачу: пользуясь длиной и направлением вектора, найдем его координаты.

На плоскости (две оси) легко разложить вектор на проекции, если известны:

Алгоритм действий для разложения вектора на проекции

Важно! Вектор, который мы раскладываем, всегда является гипотенузой.

r2 460 344 2

Формулы разложения вектора на проекции

Формулы разложения легко запомнить с помощью фразы:

Гипотенузу умножаем на косинус (угла), получаем катет, который касается (дуги).

На языке математики эта фраза запишется так:

\[ |\vec| \cdot cos(\alpha) = m_ \]

Катет \( m_ \) – это «x» координата вектора.

Если длину вектора умножим на синус, то получим второй катет:

\[ |\vec| \cdot sin(\alpha) = m_ \]

Катет \( m_ \) – это «y» координата вектора.

Обе формулы запишем в виде системы:

\[ \large \boxed <\begin\left|\vec\right| \cdot cos(\alpha) = m_ \\ \left|\vec\right| \cdot sin(\alpha) = m_ \end> \]

Величина \( |\vec| \) — это длина вектора \( \vec \)

Источник

Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов

44976

44979

44981

44983

44987

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по математике:

Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось I, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24). Определение. Проекцией вектора АВ на ось I называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом. Основные свойства проекций 1. Проекция вектора АВ на какую-либо ось I равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25) 2.

Заметив, что (b| cosy> есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать (рис. 27 6) и,аналогично, (рис.27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или Ь — нулевой, будем считать, что Проекция вектора на ось.

Скалярное произведение векторов 5.1.

Свойства скалярного произведения 1. Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и Ь ортогональны, a J.h. Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение. Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так: 2.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Скалярное произведение векторов, заданных координатами Пусть векторы а и Ь заданы своими координатами в ортонор миро ванном базисе Рассмотрим скалярное произведение векторов и и Ь: Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим Учитывая, что Тоесть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат. Пример.

Найти скалярное произведение векторов

Тогда формула (7) примет следующий вид cos Пример. Найти угол между векторами Пользуясь формулой (8), находом Пусть b = i, т.е. b = <1,0, 0>. Тогда для всякого вектора О имеем Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов или, в координатной записи, где q есть угол, образованный вектором а с осью Ох.

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 396373396374

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Чему равна проекция вектора на ось вектора

§ 3. Проекции вектора на оси координат

1. Нахождение проекций геометрически.

1

veca— вектор
— проекция вектора vecaна ось OX
a y— проекция вектора vecaна ось OY

Определение 1. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется взятое со знаком «плюс» или «минус» число, соответствующее длине отрезка, расположенного между основаниями перпендикуляров, опущенных из начала и конца вектора на ось координат.

2

По рисунку видно, что если вектор ориентирован как-то противоположно оси координат, то его проекция на эту ось отрицательна. Если вектор ориентирован как-то в положительном направлении оси координат, то его проекция на эту ось положительна.

3

Если вектор перпендикулярен оси координат, то его проекция на эту ось равна нулю.
Если вектор сонаправлен с осью, то его проекция на эту ось равна модулю вектора.
Если вектор противоположно направлен оси координат, то его проекция на эту ось по абсолютной величине равна модулю вектора, взятому со знаком минус.

2. Наиболее общее определение проекции.

4

a A1B1 AD
Из прямоугольного треугольника ABD: a x acosalpha.

Определение 2. Проекцией вектора на какую-либо ось координат называется число, равное произведению модуля вектора и косинуса угла, образованного вектором с положительным направлением оси координат.

5

PL

Никакую часть этого материала ни в каких целях, включая образовательные и научные, нельзя без письменного разрешения владельца авторских прав дублировать в сети Интернет и воспроизводить в какой бы то ни было форме и какими бы то ни было средствами, будь то электронные или механические, включая запись на магнитный или электронный носитель, вывод на печать, фотокопирование.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector