чему равна работа кулоновских сил по замкнутой траектории

10 класс

§ 62. Работа кулоновских сил. Энергия взаимодействия точечных зарядов

Работа кулоновских сил.

На точечный заряд, помещённый в однородное электростатическое поле, действует сила, и, следовательно, при перемещении заряда сила совершает над ним работу.

При этом заряд перемещается из точки 1 с координатой x1 в точку 2 с координатой x2. Пусть перемещение заряда происходит вдоль прямой, соединяющей точки 1 и 2. Действующая на заряд кулоновская сила FK постоянна, следовательно, работу, совершаемую силами электростатического поля, можно рассчитать как работу постоянной силы:

Можно доказать, что формула (2) справедлива при перемещении заряда из точки 1 в точку 2 не только по прямой, соединяющей эти точки, но и по любой другой траектории.

1 Не только однородное, но и любое другое электростатическое поле является потенциальным.

В процессе совершения работы изменяется энергия системы взаимодействующих зарядов, поэтому выражение Eqx, меняющееся при совершении работы, будет представлять собой потенциальную энергию Wp заряда в однородном электростатическом поле:

Формула (3) подобна формуле Ep = mgh для потенциальной энергии тела, поднятого над поверхностью Земли (в однородном поле тяготения). В данном случае роль массы играет заряд, а ускорения свободного падения — напряжённость поля. Если электростатическое поле совершает положительную работу, то потенциальная энергия заряженного тела уменьшается: ΔWp 0. Такое движение заряженной частицы подобно движению камня, брошенного вверх. Потенциальная энергия частицы при этом увеличивается, а кинетическая энергия уменьшается: частица тормозится.

Система заряженных тел обладает потенциальной энергией подобно системе тел, взаимодействующих посредством гравитационных сил. Для электростатического поля работа сил, действующих на внесённый в него заряд, равна изменению ΔWp потенциальной энергии заряда (системы зарядов), взятому с противоположным знаком:

Работа сил электростатического поля равна изменению потенциальной энергии заряда, взятому с противоположным знаком.

Важное свойство электростатического поля состоит в том, что работа кулоновских сил по перемещению заряда из одной точки поля в другую по любой замкнутой траектории равна нулю.

Нулевой уровень потенциальной энергии.

Потенциальная энергия в электростатике определяется, как и в механике, с точностью до произвольной постоянной: Wp = Eqx + С, где C — произвольная константа.

Нулевой уровень потенциальной энергии заряда выбирают произвольно. Например, для случая движения точечного заряда в однородном электростатическом поле (см. рис. 9.33), потенциальная энергия заряда на поверхности нижней пластины считается равной нулю Wp = 0 (постоянную C приравниваем к нулю). Тогда на расстоянии x1 от нижнеи пластины заряд обладает потенциальной энергией Wp = Eqx1.

Напомним, что физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность её значений, определяемая работой однородного электростатического поля при перемещении заряда из начального положения в конечное. Потенциальная энергия заряда в однородном электростатическом поле пропорциональна модулю заряда. Это справедливо как для однородного, так и для любого другого электрического поля. Следовательно, отношение потенциальной энергии заряда к величине заряда не зависит от помещённого в поле заряда.

Энергия взаимодействия точечных зарядов.

В курсе механики было получено выражение для потенциальной энергии гравитационного взаимодействия материальных точек:

Воспользуемся аналогией. Если вместо материальных точек взять два разноимённых по знаку заряда q1 и q2 (заряды притягиваются), то можно получить выражение для потенциальной энергии их взаимодействия:

Для зарядов одного знака (заряды отталкиваются) знак потенциальной энергии будет противоположным:

Формулы (5) и (6) можно объединить в одно выражение, если вместо модулей зарядов использовать их значения с учётом знака:

Если заряды q1 и q2 имеют одинаковые знаки, то потенциальная энергия их взаимодействия положительна (рис. 9.34, а).

Она тем больше, чем меньше расстояние между зарядами, так как работа, которую могут совершить кулоновские силы при отталкивании зарядов друг от друга, будет больше. Если заряды имеют противоположные знаки, то энергия отрицательна и максимальное её значение, равное нулю, достигается при r → ∞ (рис. 9.34, б). Чем больше r, тем большую работу совершат силы притяжения при сближении зарядов.

При записи потенциальной энергии в виде формулы (7) уже сделан выбор нулевого уровня потенциальной энергии. Считается, что потенциальная энергия бесконечно удалённых зарядов равна нулю: Wp 0 при r → ∞. Такой выбор нулевого уровня удобен, но не обязателен.

Потенциальная энергия системы точечных зарядов.

Вопросы:

1. Как можно определить:

а) работу сил однородного электростатического поля;

б) потенциальную энергию заряда в однородном электростатическом поле?

2. Как связаны между собой работа сил однородного электростатического поля и потенциальная энергия заряда?

3. Какие поля называют потенциальными? Приведите примеры таких полей.

4. В каком случае потенциальная энергия точечного заряда в однородном электростатическом поле:

Источник

Работа кулоновских сил в электрическом поле. Потенциал.

Потенциальная энергия зарядов

Заряды притягивают и отталкивают друг друга, а, следовательно, совершают работу. Из механики известно, что система способная совершать работу благодаря взаимодействию сил друг с другом, обладает потенциальной энергией. Следовательно, система зарядов обладает потенциальной энергией, называемой электростатической.

С точки зрения теории близкодействия, непосредственно на заряд действует электрическое поле, в которое он внесен. При перемещении заряда это поле совершает работу, поэтому можно говорить о том, что заряженное тело (или заряд) в электрическом поле обладает энергией.

Работа кулоновских сил по замкнутому контуру

Из закона сохранения энергии следует, что работа кулоновских сил по любой замкнутой траектории в статическом электрическом поле равна нулю. Докажем это.

В самом деле, пусть пробный заряд q перемещается в электрическом поле из какой-либо точки M в какую-либо точку N по траектории MBN. При этом поле совершает работу A1. Вернем теперь пробный заряд в начальную точку M по траектории NCM. При этом внешние силы должны совершить работу A’2, а работа поля будет равна A2=-A’2. Суммарная работа поля будет равна AСУММ=A1+A2.

Но, после того как заряд q вернулся в первоначальную точку, в системе заряд – электрическое поле никаких изменений не произошло, следовательно, энергетическое состояние системы не изменилось. А это означает, что поле не совершало никакой работы, т.е. AСУММ=0. □

Таким образом, электрическое поле является потенциальным, то есть таким полем, работа сил которого по любой замкнутой траектории равна нулю.

Потенциал как физическая величина

Потенциальная энергия заряда в электростатическом поле пропорциональна величине заряда. Это справедливо как для однородного электрического поля, так и для любого другого. Поэтому отношение потенциальной энергии к заряду есть величина для данной точки поля постоянная и независящая от заряда.

Это позволяет ввести такую характеристику электрического поля как потенциал.

Потенциал в данной точке электрического поля – физическая величина численно равная отношению потенциальной энергии, которой обладает пробный заряд, помещенный в данную точку электрического поля к величине этого заряда. Потенциал – величина скалярная.

Для поля, образованного одним точечным зарядом формула потенциала будет выглядеть следующим образом:

image016

Если электрическое поле задается не одним, а рядом электрических зарядов, то в этом случае потенциал равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемыми всеми электрическими зарядами в данной точке, то есть:

image018

Разность потенциалов

Разностью потенциалов называют алгебраическую разность потенциалов двух точек пространства.

Разность потенциалов между двумя точками также называют напряжением.

Работа по перемещению электрического заряда между двумя точками в электрическом поле пропорциональна разности потенциалов между двумя данными точками, а именно: разность потенциалов между двумя точками равна отношению работы поля по перемещению заряда из начальной точки в конечную, к величине этого заряда. Или:

Источник

Чему равна работа кулоновских сил по замкнутой траектории

Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле

Электростатическое поле обладает важным свойством:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда и две различные траектории перемещения пробного заряда из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение 63230164553715 4Работа Δ кулоновских сил на этом перемещении равна

63230164553725 5

Таким образом, работа на малом перемещении зависит только от расстояния между зарядами и его изменения Δ. Если это выражение проинтегрировать на интервале от = 1 до = 2, то можно получить

63230164553755 6

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов 63230164553775 7то при перемещении пробного заряда работа результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ 63230164553795 8кулоновских полей точечных зарядов: 63230164553795 9Так как каждый член суммы 63230164553795 10не зависит от формы траектории, то и полная работа результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

12 = 10 + 02 = 1020 = p1p2.

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

63230164553885 11

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Работа 12 по перемещению электрического заряда из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:

12 = p1p2 = φ1 – φ2 = (φ1 – φ2).

В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

63230164553935 12

Потенциал φ поля точечного заряда на расстоянии от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

63230164553945 13

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рис. 1.4.3 представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд совершил малое перемещение 63230164553975 14вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

Δ12 = Δ = (φ1 – φ2) = – Δφ,

где Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует

63230164554005 15

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.

Источник

Чему равна работа кулоновских сил по замкнутой траектории

При перемещении пробного заряда q в электрическом поле электрические силы совершают работу. Эта работа при малом перемещении 63230164553694 1равна (рис. 1.4.1):

63230164553694 2
1 4 1

Рассмотрим работу сил в электрическом поле, создаваемом неизменным во времени распределенным зарядом, т.е. электростатическом поле

Электростатическое поле обладает важным свойством:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории, а определяется только положением начальной и конечной точек и величиной заряда.

Аналогичным свойством обладает и гравитационное поле, и в этом нет ничего удивительного, так как гравитационные и кулоновские силы описываются одинаковыми соотношениями.

Следствием независимости работы от формы траектории является следующее утверждение:

Работа сил электростатического поля при перемещении заряда по любой замкнутой траектории равна нулю.

На рис. 1.4.2 изображены силовые линии кулоновского поля точечного заряда Q и две различные траектории перемещения пробного заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2). На одной из траекторий выделено малое перемещение 63230164553715 4Работа Δ A кулоновских сил на этом перемещении равна

63230164553725 5
63230164553755 6
1 4 2

Полученный результат не зависит от формы траектории. На траекториях I и II, изображенных на рис. 1.4.2, работы кулоновских сил одинаковы. Если на одной из траекторий изменить направление перемещения заряда q на противоположное, то работа изменит знак. Отсюда следует, что на замкнутой траектории работа кулоновских сил равна нулю.

Если электростатическое поле создается совокупностью точечных зарядов 63230164553775 7то при перемещении пробного заряда q работа A результирующего поля в соответствии с принципом суперпозиции будет складываться из работ 63230164553795 8кулоновских полей точечных зарядов: 63230164553795 9Так как каждый член суммы 63230164553795 10не зависит от формы траектории, то и полная работа A результирующего поля не зависит от пути и определяется только положением начальной и конечной точек.

Так же, как и в механике, потенциальная энергия определена с точностью до постоянной величины, зависящей от выбора опорной точки (0). Такая неоднозначность в определении потенциальной энергии не приводит к каким-либо недоразумениям, так как физический смысл имеет не сама потенциальная энергия, а разность ее значений в двух точках пространства.

Работа, совершаемая электростатическое полем при перемещении точечного заряда q из точки (1) в точку (2), равна разности значений потенциальной энергии в этих точках и не зависит от пути перемещения заряда и от выбора точки (0).

A 12 = A 10 + A 02 = A 10 – A 20 = W p1 – W p2.

Физическую величину, равную отношению потенциальной энергии электрического заряда в электростатическом поле к величине этого заряда, называют потенциалом φ электрического поля:

63230164553885 11

Потенциал φ является энергетической характеристикой электростатического поля.

Работа A 12 по перемещению электрического заряда q из начальной точки (1) в конечную точку (2) равна произведению заряда на разность потенциалов (φ1 – φ2) начальной и конечной точек:

A 12 = W p1 – W p2 = q φ1 – q φ2 = q (φ1 – φ2).

В Международной системе единиц (СИ) единицей потенциала является вольт (В).

Во многих задачах электростатики при вычислении потенциалов за опорную точку (0) удобно принять бесконечно удаленную точку. В этом случае понятие потенциала может быть определено следующим образом:

Потенциал поля в данной точке пространства равен работе, которую совершают электрические силы при удалении единичного положительного заряда из данной точки в бесконечность.

63230164553935 12

Потенциал φ поля точечного заряда Q на расстоянии r от него относительно бесконечно удаленной точки вычисляется следующим образом:

63230164553945 13

Силовые линии электростатическое поля всегда перпендикулярны эквипотенциальным поверхностям.

Эквипотенциальные поверхности кулоновского поля точечного заряда – концентрические сферы. На рисунке ниже представлены картины силовых линий и эквипотенциальных поверхностей некоторых простых электростатических полей.

В случае однородного поля эквипотенциальные поверхности представляют собой систему параллельных плоскостей.

Если пробный заряд q совершил малое перемещение 63230164553975 14вдоль силовой линии из точки (1) в точку (2), то можно записать:

Δ A 12 = qE Δ l = q (φ1 – φ2) = – q Δφ,

где Δφ = φ1 – φ2 – изменение потенциала. Отсюда следует

63230164554005 15

Это соотношение в скалярной форме выражает связь между напряженностью поля и потенциалом. Здесь l – координата, отсчитываемая вдоль силовой линии.

Из принципа суперпозиции напряженностей полей, создаваемых электрическими зарядами, следует принцип суперпозиции для потенциалов:

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector