чему равна разность квадратов двух выражений

Разность квадратов: формула и примеры

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a 2 – b 2 = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a 2 – b 2

Примечание: a 2 – b 2 ≠ (a – b) 2

Доказательство формулы

Арифметическое

Геометрическое

raznost kvadratov 1

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета ( a 2 – b 2 ).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

raznost kvadratov 2 1

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a 2 – ab + ba – b 2 = a 2 – b 2

Примеры задач

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x 2 – 9y 2

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x 2 – y 2 = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x 2 + 5xy – 5xy – y 2 = 25x 2 – y 2

Источник

Разность квадратов

Каждая из формул сокращенного умножения является тождеством. Это значит, что ее можно применять в обоих направлениях: и от левой части переходить к правой, и от правой — к левой. Разность квадратов — правая часть формулы произведения суммы и разности двух выражений.

Соответственно, разность квадратов двух выражений равна произведению их суммы и разности. Формула разности квадратов

quicklatex.com cfebfe13c8645fb12e937ec1ef24bb29 l3

quicklatex.com 1b0eeb9439fc0064c299005d85f76cce l3

На практике, как правило, выражения не представлены в виде квадратов, то есть, прежде чем воспользоваться формулой, их надо преобразовать.

quicklatex.com 7b99b239c67e1b086850fc2d145e56b5 l3

Представим каждое выражение в виде квадрата, используя свойства степеней:

quicklatex.com 9e94996c0fc978a57a4ee5eef594bcd2 l3

теперь можем разложить разность квадратов на множители:

quicklatex.com a22f5a55b7f6cf11f9a41424057a8c61 l3

С помощью схемы разложение разности квадратов на множители можно изобразить так:

Схему можно использовать для наглядности на начальном этапе работы с формулой.

Например, нужно разложить как разность квадратов двучлен 16a²-49b². Представим каждое из выражений в виде квадрата и воспользуемся схемой:

0 f2e4e 87ca1261 orig

Еще примеры разложения многочлена на множители по формуле разности квадратов:

quicklatex.com 1491f9d28cbbbe0f487508f0ea9c565d l3

quicklatex.com e8209dd066b9c9e29981ec4d1e8c2719 l3

quicklatex.com de1f8fa92571f5a682560bcfcf3a93bc l3

quicklatex.com 03185851ac0fdabd171d634e6d9ebef8 l3

quicklatex.com 9b0f71ebe14f52321cec866a45494f63 l3

Чтобы представить в виде квадрата смешанное число, надо перевести его в неправильную дробь. Разложив разность квадратов на множители, неправильную дробь переводим в смешанное число, выделив целую часть

quicklatex.com 167a6f0e54ee9765f69ef3be3bf6190a l3

В алгебре разность квадратов — одна из самых востребованных формул сокращенного умножения.

Источник

Сокращенное умножение: правила, формулы

5f23c26cde42e683737554

Формулы сокращенного умножения

Вместо букв a, b могут быть любые числа, переменные или даже целые выражения. Для быстрого решения задач лучше выучить основные 7 формул сокращенного умножения (ФСУ) наизусть. Да, алгебра такая, нужно быть готовым много запоминать.

Ниже удобная табличка, которую можно распечатать и использовать, как закладку для быстрого запоминания формул.

6191f61051049335348824

Как читать формулы сокращенного умножения

Учимся проговаривать формулы сокращенного выражения:

Доказательство формул сокращенного умножения

Остальные ФСУ можно доказать аналогичным методом.

Дополнительные формулы сокращенного умножения

К таблице основных ФСУ следует добавить еще несколько важных тождеств, которые пригодятся для решения задач.

Бином Ньютона

Формула для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных. Записывается вот так:

Пример вычисления биномиальных коэффициентов, которые стоят в строке под номером n в треугольнике Паскаля:

ФСУ для квадрата и куба суммы и разности — являются частными случаями формулы бинома Ньютона при n = 2 и n = 3.

Формула возведения в квадрат суммы трех, четырех и более слагаемых

Пригодится, если слагаемых в сумме, которую нужно возвести в степень, больше, чем два.

Читается так: квадрат суммы n слагаемых равен сумме квадратов всех этих слагаемых и удвоенных произведений всех возможных пар этих слагаемых.

Формула разности n-ых степеней двух слагаемых

a n − b n = (a − b) * (a n-1 + a n-2 * b + a n-3 * b 2 + … + a * b n-2 + b n-1 ).

Для четных показателей можно записать так:

a 2*m − b 2*m = (a 2 − b 2 ) *(a 2*m−2 + a 2*m−4 * b 2 + a 2*m−6 * b 4 + … + b 2*m−2 ).

Для нечетных показателей:

a 2*m+1 − b 2*·m+1 = (a − b) * (a 2*m + a 2*m−1 * b + a 2*m−2 * b 2 + … + b 2*m ).

Частными случаями являются формулы разности квадратов и кубов при n = 2 и n = 3. Для разности кубов b можно также заменить на −b.

Решение задач

Давайте потренируемся и рассмотрим примеры с дробями.

Задание 1

Как решаем: воспользуемся формулой квадрата суммы: (55 + 10) 2 = 55 2 + 2 * 55 * 10 + 10 2 = 3025 + 1100 + 100 = 4225.

Задание 2

Что сделать: упростить выражение 64 * с 3 – 8.

Как решаем: применим разность кубов: 64 * с 3 – 8 = (4 * с) 3 – 2 3 = (4 * с – 2)((4 * с) 2 + 4 * с * 2 + 2 2 ) = (4 * с – 2)(16 * с 2 + 8 * с + 4).

Задание 3

Как решаем:

Многочленов бояться не стоит, просто совершайте последовательно каждое действие. С формулами решать задачки быстрее и удобнее — сохраняйте шпаргалку, запоминайте и радуйте своих учителей 🙂

Источник

Как использовать разность квадратов a 2 − b 2

В предыдущих уроках мы рассмотрели два способа разложения многочлена на множители: вынесение общего множителя за скобки и способ группировки.

В этом уроке мы рассмотрим еще один способ разложения многочлена на множители с применением формул сокращённого умножения.

Прежде чем перейти к этому уроку обязательно выучите наизусть все формулы сокращенного умножения.

Рекомендуем каждую формулу прописать не менее 12 раз. Для лучшего запоминания выпишите все формулы сокращённого умножения себе на небольшую шпаргалку.

Вспомним, как выглядит формула разности квадратов.

a 2 − b 2 = (a − b)(a + b)

(a − b)(a + b) = a 2 − b 2

Как разложить на множители разность квадратов

Рассмотрим пример. Необходимо разложить на множители разность квадратов.

Обратим внимание, что « 64y 2 » — это « (8y) 2 », значит, для формулы разности квадратов вместо « a » мы используем « 8y ».

Используем формулу разности квадратов. На месте « a 2 » у нас будет « 64y 2 », а на месте « b 2 » стоит « 36x 2 ».

difference of squares solved

Разность квадратов в обратную сторону

Рассмотрим другой пример. Требуется преобразовать произведение многочленов обратно в разность квадратов, используя формулу сокращенного умножения.

Обратим внимание, что произведение многочленов « (с + 3d)(с − 3d) » напоминает правую часть формулы разности квадратов « a 2 − b 2 = (a − b)(a + b) », только вместо « a » стоит « c », а на месте « b » стоит « 3d ».

Используем для « (с + 3d)(с − 3d) » формулу разности квадратов в обратную сторону.

difference of squares reverse solved

Рассмотрим другой пример. Требуется упростить произведение многочленов.

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » как в формуле, могут стоять в степени.

Например, в рассматриваемом примере на месте « a » стоит « x 2 ». Это означает, что именно « x 2 » мы рассматриваем как « a ».

Используем формулу разности квадратов и решим пример до конца.

difficult difference of squares reverse solved

Рассмотрим пример сложнее. Требуется разложить на множители многочлен, используя формулу разности квадратов.

Представим « (a + 2b) 2 − 9a 2 » как разность квадратов « a 2 − b 2 ».

Одночлены, которые стоят на месте « a » или « b » как в формуле, могут быть в скобках, т.е. быть многочленами.

В рассматриваемом примере на месте « a 2 » стоит многочлен « (a + 2b) 2 ». Это означает, что мы рассматриваем всю скобку « (a + 2b) » как « a » для формулы.

Решим пример до конца. После применения формулы разности квадратов не забудем привести подобные в примере.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector