чему равна средняя линия прямоугольного треугольника

Содержание

Средняя линия прямоугольного треугольника – формула

Средняя линия прямоугольного треугольника – это прекрасная возможность для составителей задач. Большая часть обучающихся знают, что такое средняя линия и умело используют ее свойства в решении. Но как только этот отрезок появляется на чертеже прямоугольного треугольника, то сразу впадают в ступор из-за некоторой необычности рисунка, поэтому разберемся в теме подробнее.

c084969035c8e3b18d311cfe8f15d5c1

Что такое прямоугольный треугольник?

В общем случае, треугольник это фигура, состоящая из стрех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, входящих в состав треугольника выделяют:

Прямоугольные треугольники интересны специальными формулами, которые значительно упрощают решение. Но средняя линия прямоугольного треугольника ни чем не отличается от средней линии произвольного. Почему задачи с этим отрезком вызывают затруднения?

Только из-за необычности чертежа

2663957857bcceca2fbf4b61d8459b1b

Рис. 1. Прямоугольный треугольник.

Средняя линия

Что такое средняя линия? Это один из характеризующих отрезков любого треугольника. Средняя линия соединяет середины смежных сторон многоугольника.

Средняя линия есть не только у треугольника. Она существует у каждой выпуклой фигуры. При этом свойства средних линий треугольников не всегда совпадают с свойствами средних линий трапеций. Поэтому будьте аккуратны, у каждой фигуры есть свои свойства и признаки.

3f399b3adc7302a4a8d46059e3ea65d5

Рис. 2. Средняя линия трапеции.

Свойства средней линии

Свойств у средней линии не так много, но все они более чем интересны.

Если формулировка «Средняя линия параллельна основанию» не совсем правильная, то почему же ее применяют в учебнике? Дело в том, что любое свойство должно быть коротким и ясным для простоты запоминания. Поэтому и сокращают некоторые высказывания. А основанием произвольного треугольника можно считать любую сторону, а значит неправильной формулировку назвать нельзя.

Задача

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

909961a52a27d847f03e884e014e04f6

Рис. 3. Рисунок к задаче.

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.

В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

$S=12,5*2=25$ – ответ получен.

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое средняя линия прямоугольного треугольника. Поговорили о свойствах средней линии и решили небольшую задачу для закрепления материала.

Источник

Средняя линия треугольника — свойства, признаки и формулы

Одним из важных понятий, с помощью которого легко решается целый класс задач по геометрии, является средняя линия треугольника.

Разберём данное понятие, рассмотрим свойства, и научимся правильно решать задачи на эту тему.

Определение и признаки средней линии треугольника

Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

f08f6745ca132d876ab5b8bbc2357516

Отрезок, у которого один из концов совпадает с серединой одной из сторон, другой находится на второй стороне, проведённый параллельно третьей стороне, является средней линией треугольника.

Доказательство следует из теоремы Фалеса.

0519563092b3c2c750d671c27c036556

Теорема о средней линии треугольника

Средняя линия треугольника параллельна основанию (третьей стороне) и равна её половине.

Существует три вида доказательств этого положения. Каждое из них базируется на одной из ключевых позиций планиметрии.

Пусть дан треугольник ABC, M – середина стороны AB, N – середина BC.

По определению, MN – средняя линия ΔABC.

14331385b60ba622e85ca0fa46b285fd

Необходимо доказать, что MN II AC, MN = ½AC.

Доказательства

Пусть прямая MK II AC. Тогда по теореме Фалеса MK пересекает сторону BC в её середине. В этом случае отрезок MN лежит на прямой MK.

Следовательно, MN II AC.

2ff55b8b5d476f0bb971bd937d086a30

Тогда NP – средняя линия по теореме Фалеса, то есть AP = PC.

Так как AMNP – параллелограмм по определению, то AP = MN. Из этого и предыдущего утверждения следует, что длина MN равна ½AC.

Рассматриваются треугольники MBN и ABC. В них угол B является общим,

8abef97e0acc03aa0285e5e89d9ee2e1

По второму признаку подобия треугольников ΔMBN ∼ ΔABC. Следовательно, углы BMN и BAC равны.

Поскольку эти углы являются соответственными, то прямые MN и AC параллельны.

Формула MN = ½AC следует из условий

a8c3bd2ecf730ab5e0a6f5faa62e806b

поскольку пропорциональность двух пар сторон влечёт соответствующее отношение для третьей пары сторон.

Рассматривается сумма векторов

f832f4ab41eb4e1455bc287cbd57260e

Поскольку в результате образуется замкнутая ломаная, то

2cb2bf77d8dcc65aca7182ab1af3bd6b

Отсюда следует, что

8d6e26c125c7f434f969aa87a2ea3c03

f24c4a9ca661b446b5463c81fa0f5bf2

d0c3ab0d3c1ba0732f19bedb3f4bfd06

762dc4b375380de14140a741a39f36c8

Из последнего равенства следуют условия теоремы.

Следствия из теоремы с доказательствами

Следствие №1

Средняя линия отсекает треугольник, подобный данному, с коэффициентом подобия ½ и площадью, составляющий ¼ площади заданного треугольника.

dd20c9261c59ab84da6d5e92d4d1e8c8

По определению стороны AB и BC делятся пополам, поэтому

99f7ccfbd3f187b8b0d6337236d887e2

ba07e500fd89b27063fdbaa81fb323da

Из третьего признака подобия вытекает рассматриваемое свойство.

Поскольку площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, то получается вторая часть свойства, то есть площадь маленького треугольника относится к площади большого как

20dde96f1ee081378b2d1be6c5176014

Следствие №2

Три средних линии треугольника разбивают его на четыре равных треугольника, подобные заданному, с коэффициентом подобия ½.

184f72eea1db259cd73ffc893cf91bad

Поскольку MN – средняя линия, то MN II AC, поэтому ∠BMN = ∠BAP, ∠BNM = ∠BCA как соответственные при MN II AC и секущей AB или BC соответственно.

Поскольку MP – средняя линия, то MP II BC, поэтому ∠MPA = ∠BCA как соответственные при MP II BC и секущей AC.

Таким образом: ∠BNM = ∠BCA = ∠MPA.

Так как MN – средняя линия, то сторона MN = ½AC, поэтому MN = AP.

Следовательно, ΔAMP = ΔMBN по второму признаку равенства треугольников.

Равенство остальных пар треугольников доказывается аналогично.

По основному свойству ΔMBN ∼ ΔABC с коэффициентом подобия ½. Так как все полученные маленькие треугольники равны между собой, то каждый из них, следовательно, подобен большому с тем же коэффициентом.

Свойства средней линии треугольника

Теорема и следствия из неё составляют основные свойства средней линии треугольника.

7992ddcf4641fab04ffa7d9243423c81

Согласно второму утверждению, вид большого треугольника такой же, как и у маленьких. То есть для равностороннего и равнобедренного треугольников средние линии отсекают равносторонние и равнобедренные треугольники.

Высоты тупоугольного треугольника, проведённые к тупому углу из вершин острых, располагаются вне треугольника. Поэтому часто рассматривают не саму среднюю линию, а её продолжение. Учитывая подобие получаемых фигур, можно утверждать, что точкой пересечения с продолжением средней линии высота делится на две равные части.

Биссектриса угла треугольника точкой пересечения со средней линией также делится пополам.

Средняя линия прямоугольного треугольника

Для прямоугольного треугольника две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведённой к гипотенузе.

c3d7ac6ea17031aa98e311b60c51669c

Остроугольный разносторонний треугольник не имеет средних линий, обладающих подобными характеристиками.

Пример решения задачи

2cf3bdfa4858336e929b3a47e517630a

Доказать, что середины сторон произвольного выпуклого четырёхугольника являются вершинами параллелограмма.

Проводя диагональ четырёхугольника, получают разбиение на два треугольника, в каждом из которых построена средняя линия, параллельная по основной теореме диагонали, как основанию.

Так как две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой, то противолежащие стороны образованного средними линиями четырёхугольника параллельны.

Аналогично доказывается параллельность двух других сторон нового четырёхугольника. По определению четырёхугольник, полученный соединением середин сторон заданного четырёхугольника, является параллелограммом.

Источник

Средняя линия прямоугольного треугольника

srednyaya liniya pryamougolnogo treugolnika srednyaya liniya pryamougolnogo treugolnika

Всего получено оценок: 107.

Всего получено оценок: 107.

Средняя линия прямоугольного треугольника – это прекрасная возможность для составителей задач. Большая часть обучающихся знают, что такое средняя линия и умело используют ее свойства в решении. Но как только этот отрезок появляется на чертеже прямоугольного треугольника, то сразу впадают в ступор из-за некоторой необычности рисунка, поэтому разберемся в теме подробнее.

haritonenko natalya vladimirovna 100

Что такое прямоугольный треугольник?

В общем случае, треугольник это фигура, состоящая из трех сторон и трех углов. В зависимости от величин углов, входящих в состав треугольника выделяют:

Прямоугольные треугольники интересны специальными формулами, которые значительно упрощают решение. Но средняя линия прямоугольного треугольника ни чем не отличается от средней линии произвольного. Почему задачи с этим отрезком вызывают затруднения?

srednie linii pryamougolnogo treugolnikaРис. 1. Средние линии прямоугольного треугольника.

Средняя линия

Что такое средняя линия? Это один из характеризующих отрезков любого треугольника. Средняя линия соединяет середины смежных сторон многоугольника.

Средняя линия есть не только у треугольника. Она существует у каждой выпуклой фигуры. При этом свойства средних линий треугольников не всегда совпадают с свойствами средних линий трапеций. Поэтому будьте аккуратны, у каждой фигуры есть свои свойства и признаки.

Свойства средней линии

Свойств у средней линии не так много, но все они более чем интересны.

Если формулировка «Средняя линия параллельна основанию» не совсем правильная, то почему же ее применяют в учебнике? Дело в том, что любое свойство должно быть коротким и ясным для простоты запоминания. Поэтому и сокращают некоторые высказывания. А основанием произвольного треугольника можно считать любую сторону, а значит неправильной формулировку назвать нельзя.

Задача

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что синус угла между диагоналями равен 0,5. А средние линии MN и NP равны 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

risunok k zadacheРис. 3. Рисунок к задаче.

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP это гипотенуза прямоугольного треугольника MNP. Катеты треугольника известны, значит можно найти гипотенузу через теорему Пифагора.

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.

В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольнику, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

$S=12,5*2=25$ – ответ получен.

lazyimg

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое средняя линия прямоугольного треугольника. Поговорили о свойствах средней линии и решили небольшую задачу для закрепления материала.

Источник

Средняя линия прямоугольного треугольника

srednyaya liniya pryamougolnogo treugolnika srednyaya liniya pryamougolnogo treugolnika

Всего получено оценок: 295.

Всего получено оценок: 295.

Прямоугольный треугольник стоит особняком от остальных треугольников. Прямой угол делает возможным применение других признаков равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно без дополнительных построений использовать геометрические тождества, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора. Но среднюю линию прямоугольного треугольника определить трудно просто потому, что она редко упоминается в задачах, из-за чего мало кто может себе её визуально представить.

haritonenko natalya vladimirovna 100

Что такое средняя линия прямоугольного треугольника?

Средняя линия – это отрезок, соединяющий середины сторон в треугольнике. В любом треугольнике можно провести три средних линии. При этом этот отрезок будет равен половине основания – это и считается формулой средней линии прямоугольного треугольника. Основанием считается сторона, с которой средняя линия не пересекается.

Причем, если средняя линия проводится в прямоугольном треугольнике, то каждый из четырех получившихся треугольников будет являться прямоугольным.

Все эти свойства можно использовать в ряде задач, что позволяет создавать интересные уникальные решения и доказательства.

Задача 1

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. При этом MN=NP=2.

risunok k zadacheРис. 1. Рисунок к задаче

Задача 2

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. В получившемся прямоугольнике MNPA известно, что диагональ MP равна 5, а синус угла между диагоналями равен 0,48. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

risunok k zadache 2

Рис. 2. Рисунок к задаче

В прямоугольнике две диагонали между собой равны. Одна из диагоналей MP = 5, значит и вторая диагональ AN равна тоже 5.

Найдем площадь прямоугольника, как произведение диагоналей на синус угла между ними.

В большом треугольнике 4 малых, а в прямоугольнике 2 малых треугольника. Все малые треугольники между собой равны, значит, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, нужно умножить площадь прямоугольника на 2.

$S=12*2=24$ – ответ получен.

Задача 3

В прямоугольном треугольнике АВС проведены три средние линии: MN; NP; MP. Найти площадь прямоугольника MNPA, если известно, что площадь АВС равна 36.

risunok k zadache 3Рис. 3. Рисунок к задаче

Аналогично с предыдущей задачей, можно вывести утверждение, что площадь треугольника равна двум площадям малого прямоугольника. Подставим в выражение цифры и выразим неизвестное. Площадь треугольника обозначим за S, прямоугольника s.

lazyimg

Что мы узнали?

Мы узнали, что такое средняя линия, поговорили о свойствах средней линии и выделили особенности средней линии в прямоугольном треугольнике. Также мы закрепили пройденный материал, подробно изучив алгоритм решения задач на заданную тему.

Источник

Как найти среднюю линию треугольника?

5fc7926b929c7799770184

Понятие треугольника

Треугольник — это геометрическая фигура, которая получилась из трех отрезков. Их соединили тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Отрезки принято называть сторонами, а точки — вершинами.

Треугольник считают равнобедренным, если две его стороны равны. Эти стороны называют боковыми сторонами, а третью — основанием.

Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним или правильным.

Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол, то есть угол в 90°. Сторона прямоугольного треугольника, которая лежит напротив прямого угла — гипотенуза, а две другие стороны — катеты.

Правильный (равносторонний или равноугольный) треугольник — это правильный многоугольник, в котором все стороны равны между собой, все углы также равны и составляют 60°. В равностороннем треугольнике высота является и биссектрисой, и медианой.

Свойства треугольников:

Понятие средней линии треугольника

Определение средней линии треугольника подходит для любого вида этой фигуры.

​Средняя линия треугольника — отрезок, который соединяет середины двух сторон. В любом треугольнике можно провести три средних линии.

​Основанием считается сторона, которой параллельна средняя линия.

Как найти среднюю линию треугольника — расскажем дальше, а для начала еще немного разберемся со всеми определениями.

Понятие средней линии прямоугольного треугольника

Математики говорят: в любом треугольнике можно провести три средних линии. В прямоугольном треугольнике этот отрезок будет равен половине основания — это и есть формула средней линии прямоугольного треугольника.

5fc7929367873791681190

Прямой угол помогает нам применить другие признаки равенства и подобия. Для углов в прямоугольном треугольнике можно использовать геометрические тождества без дополнительных построений, а любую из сторон можно найти по теореме Пифагора.

В прямоугольном треугольнике две средние линии перпендикулярны катетам, а третья равна медиане, проведенной к гипотенузе. Средние линии острого и разностороннего треугольника не обладают подобными свойствами.

Свойства средней линии треугольника

Признак средней линии треугольника: если отрезок в треугольнике проходит через середину одной из его сторон, пересекает вторую и параллелен третьей — этот отрезок можно назвать средней линией этого треугольника.

Свойства:

Теорема о средней линии треугольника

Теорема о средней линии треугольника звучит так:

Средняя линия треугольника параллельна основанию и равна его половине. А так выглядит формула нахождения средней линии треугольника:

6130b150edec6427150259

Докажем теорему:

По условию нам дано, что MA = MB, NA = NC

5fc792f6a8414624772363

Рассмотрим два образовавшихся треугольника ΔAMN и ΔABC.

6130b26f00d2d995868400(по второму признаку подобия треугольников).

△ABC, то 5fc7933402058283562480Следовательно, ВС = 2МN. Значит, доказано, что средняя линия равна половине основания.

Параллельность средней линии и соответствующего ей основания доказана.

Пример 1. В треугольнике ΔABC AB = 8, BC = 7, CA = 5, точки M, K, N — середины сторон AB, BC, CA соответственно. Найти периметр ΔMNK.

5fc7934d45b14143173276

Соединим середины сторон треугольника ΔABC и получим его средние линии, которые образуют треугольник ΔMNK. Найдем их длины по теореме о средней линии:

5fc79370304e5168710954

Ответ: периметр треугольника ΔMNK равен 10.

Пример 2. В прямоугольном треугольнике АВС есть две средние линии: MN и NP, равные 3 и 4 соответственно. Найти площадь большого прямоугольного треугольника.

6130b7e05ac92386837528

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Так как треугольник прямоугольный, то его площадь найдем как половину произведения катетов:

Так как MN — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета AC:

Значит, AC = 2MN = 2 × 3 = 6.

Так как NP — средняя линия, то по теореме о средней линии она равна половине катета BC:

Значит, BC = 2NP = 2 × 4 = 8.

Тогда найдем площадь большого треугольника, используя формулу, указанную выше:

S = ½ × 6 × 8 = ½ × 48 = 24.

Ответ: площадь большого прямоугольного треугольника равна 24.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector