чему равна средняя линия трапеции формула

Все формулы средней линии трапеции

1. Формула средней линии трапеции через основания

m a b trapezia

Формула средней линии, ( m ):

F m a b trapezia

2. Формулы средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

m a b ugol h trapezia

Формулы средней линии трапеции, ( m ):

F m ab ugol h trapezia

F m ba ugol h trapezia

3. Формула средней линии трапеции через диагонали, высоту и угол между диагоналями

m d1 d2 trapezia

F m d1 d2 trapezia

4. Формула средней линии трапеции через площадь и высоту

m h s trapezia

Источник

Средняя линия трапеции

Здравствуйте, уважаемые читатели блога KtoNaNovenkogo.ru.

И расскажем о том, что такое средняя линия этой геометрической фигуры.

sr liniia trapetciia eto

Средняя линия – это.

Вообще, этот термин в геометрии весьма распространен.

Средняя линия – это отрезок, проходящий через противоположные стороны, и который делит их ровно на две одинаковых части.

Средняя линия есть практически у каждой геометрической фигуры. Например, у четырехугольников она выглядит вот так:

sr liniia trapetciia chetirehugolnik

А вот так у треугольников:

sr liniia trapetciia treugolnik

И наконец, в случае трапеции изображение средней линии будет вот таким:

sr liniia trapetciia figura

На данном рисунке показана трапеция ABCD. Если кто забыл, то у такой фигуры две противоположные грани расположены на параллельных прямых.

Они называются основаниями. А оставшиеся стороны, которые соответственно не параллельны друг другу, это боковые.

Так вот в нашем случае мы имеем среднюю линию EF, которая делит боковые стороны АВ и СD на две половинки. То есть:

Как найти среднюю линию трапеции (формула)

Есть одна главная формула, позволяющая рассчитать значение нашего отрезка.

Так, длина средней линии будет равна сумме оснований фигуры, поделенной на два. Или, другими словами, половине суммы оснований.

Возьмем для примера трапецию:

sr liniia trapetciia storona

И тогда формула расчета будет выглядеть так:

sr liniia trapetciia formula

Если есть желание доказать правдивость этой формулы, нужно несколько дорисовать нашу изначальную фигуру. А именно провести линию через В и L, а также продлить сторону АD. И сделать так, чтобы эти две линии пересеклись.

В итоге получится вот что:

sr liniia trapetciia peresechenie

Далее нас будут интересовать оба треугольника, которые получились. Это BLC и DLQ. Необходимо доказать, что они имеют равные размеры.

И это просто, так как у них одинаковы углы:

sr liniia trapetciia ugli

Соответственно, если равны в треугольниках углы и стороны между ними, то и сами фигуры одинаковы.

А уже из этого следует, что ВL и LQ равны. А значит, КL является не только средней линией трапеции, но также и аналогичной линией для треугольника ABQ.

А дальше уже совсем просто, так как есть специальная формула для расчета средней линии треугольника. Она равна одной второй (половине) длины параллельной стороны:

Длина стороны AQ у нас равна AD + DQ (или ВС). И таким образом мы и получаем ту самую формулу расчета средней линии трапеции:

KL = ½ AQ = ½ (AD + DQ) = ½ (AD + ВС)

Как принято говорить в таких случаях – что и требовалось доказать.

Свойства средней линии трапеции

У средней линии трапеции есть три главных свойства:

S1/S2 = (3BC + AD) / (BC + 3AD)

Эту формулу мы не будем доказывать. Просто поверьте, что так и есть на самом деле.

Вторая средняя линия

Внимательный читатель мог бы заметить, что мы рассказывали до этого только про одну среднюю линию. Ту, что лежит параллельно основаниям. Но ведь у этой геометрической фигуры, как и любого четырехугольника, таких отрезков должно быть два.

И действительно, у трапеции имеется вторая такая линия. И она уже делит на две равные части оба основания:

sr liniia trapetciia linii

В нашем случае, это отрезок KL.

Интересно, что эту среднюю линию крайне мало изучают во время школьного обучения. И на экзаменах нет задач, с ней связанных. Хотя у нее есть несколько интересных свойств:

Вот и все, что мы хотели рассказать о средних линиях в трапеции.

Удачи вам! До скорых встреч на страницах блога KtoNaNovenkogo.ru

Эта статья относится к рубрикам:

Комментарии и отзывы (2)

Очень здорово, что здесь все так подробно описано со всеми рисунками и формулами, что сразу становится все понятно.

Кто же это такой умный придумал, опять небось древние греки? Они были великими мастерами в геометрии, а мне эта наука всегда тяжело давалась, особенно с доказательствами, ужас просто, но со средней линией трапеции я разобрался, наверное поумнел за эти годы.

Источник

srednyaya liniya trapecii

Серединный отрезок

Трапеция — фигура (четырехугольник), что состоит из четырех сторон, две из которых лежат на параллельных прямых, а остальные нет. Параллельные — верхнее и нижнее основание, 2 другие имеют название боковых сторон. Из этого следует, что четырехугольник состоит из двух оснований.

Средняя линия — отрезок, который соединяет середины боков фигуры и обозначается буквой m. Интересно, что если в треугольнике таких отрезков можно провести 3, то в таком четырёхугольнике исключительно одну.

Свойство и формулы

Серединная линия равняется половине сумм длины двух оснований. Это определение является теоремой, доказательство и для того чтобы его сформулировать, необходимо обратить внимание на свойство срединного отрезка в треугольнике.

srednyaya liniya trapecii

Доказать теорему просто. Для этого в трапеции проводят серединный отрезок так, чтобы он опускался с верхней точки фигуры и пересекался с продленным нижним основанием. Такая линия делит четырёхугольник на два треугольника. Причем средняя линия фигуры также принадлежит треугольнику и выполняет те же функции. Она равна половине нижней стороны, которая состоит из двух отрезков, равных основаниям трапеции.

Свойство такого отрезка — в четырехугольнике он параллелен основаниям. Учитывая эти данные, их можно использовать как признак при решениях различных заданий для выявления этого понятия.

Формула для нахождения записывается так:

m = (a + b) / 2, где a, b — обозначение длины оснований.

Тригонометрия углов применима в формуле:

nayti srednyuyu liniyu trapecii

Полусумма оснований трапеции вычисляется через диагонали и их угол пересечения и высоту. Итак, для этого находится:

Углы а, b находятся при нижнем основании, а линия h является высотой, проведенной к этому отрезку.

Формула средней линии трапеции через площадь и высоту записывается так:

Кроме этого, такой отрезок делит фигуру на две части и имеет место соотношение их площадей, которое выражается в виде:

Источник

Что такое средняя линия трапеции

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признак средней линии трапеции, а также разберем пример решения задачи для лучшего понимания изложенного материала.

Определение средней линии трапеции

Отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, называется ее средней линией.

sredn liniya trapetsii exc 3

Свойства средней линии трапеции

Свойство 1

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется их полусумме.

sredn liniya trapetsii exc 5

Свойство 2

Средняя линия трапеции делит пополам любой отрезок, концы которого лежат на основаниях данной трапеции.

sredn liniya trapetsii exc 4

Свойство 3

Средняя линия трапеции делит ее на две другие трапеции, площади которых соотносятся следующим образом (см. первый чертеж публикации):

sredn liniya trapetsii exc 6

sredn liniya trapetsii exc 7

sredn liniya trapetsii exc 8

Признак средней линии трапеции

Если отрезок, выходящий из середины боковой стороны трапеции, пересекает ее вторую боковую сторону и, при этом, параллелен основаниям фигуры, то он является средней линией этой трапеции.

Вторая средняя линия

Иногда дополнительно выделяют вторую среднюю линию трапеции – отрезок, соединяющий середины ее оснований. При этом следует помнить, что к ней не применимы Свойства 1-3 и Признак, рассмотренные выше.

sredn liniya trapetsii exc 2

Вторая средняя линия равнобедренной трапеции одновременно является ее высотой.

sredn liniya trapetsii exc 1

Пример задачи

Средняя линия трапеции равняется 25 см, а ее высота – 7 см. Найдите площадь фигуры.

Как мы знаем, площадь трапеции равняется полусумме оснований, умноженной на высоту h: S = (a+b) /2 ⋅ h

В данном случае полусумма оснований – это и есть средняя линия. Обозначим ее буквой m. То есть m = (a+b) /2.

Источник

Трапеция. Иллюстрированный гид

Перед тобой лучший гид по трапеции! Только то, что нужно. Без воды.

Основные определения, формулы и свойства.

Помни о своей цели!

Тебе нужно подготовиться к ЕГЭ по математике так, чтобы поступить в ВУЗ мечты!

Трапеция — коротко о главном

Что такое трапеция:

Трапеция – четырёхугольник, у которого две стороны параллельны (они называются основания), а две другие – нет (это боковые стороны).

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°

\( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \)

Средняя линия трапеции:

Средняя линия трапеции (\( \displaystyle MN\)) – отрезок, соединяющий середины боковых сторон: \( \displaystyle AM=MB,\ \ CN=ND\).

Средняя линия параллельна основаниям: \( \displaystyle MN\parallel BC\parallel AD\).

Длина средней линии трапеции равна полусумме длин оснований: \( \displaystyle MN=\frac<2>\).

Диагонали трапеции:

Диагонали любой трапеции пересекаются в точке О.

Треугольники, образованные основаниями трапеции и отрезками диагоналей
(\( \displaystyle BOC\) и \( \displaystyle AOD\)) подобны по двум углам с коэффициентом подобия равным отношению оснований: \( \displaystyle k=\frac\).

Площади треугольников, образованных боковыми сторонами и отрезками диагоналей трапеции, равны: \( \displaystyle <_<\Delta AOB>>=<_<\Delta COD>>\).

Равнобедренная (равнобокая трапеция)

Равнобедренная (равнобокая) трапеция – это трапеция, у которой боковые стороны равны: \( \displaystyle AB=CD\).

Свойства равнобедренной трапеции:

Углы при основании равны: \( \displaystyle \angle A=\angle D,\text< >\angle B=\angle C\);

Сумма противолежащих углов равна \( \displaystyle 180<>^\circ \): \( \displaystyle \angle A+\angle C=\angle B+\angle D=180<>^\circ \).

Стороны и диагональ равнобокой трапеции связаны соотношением: \( \displaystyle A<^<2>>=B<^<2>>=AD\cdot BC+A<^<2>>\).

Если трапецию можно вписать в окружность…

Если трапецию можно вписать в окружность, то она – равнобокая.

Площадь трапеции

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту: \( \displaystyle <_>=\frac<2>\cdot h\).

Для справки: В нашем учебнике для подготовки к ЕГЭ по математике есть все темы планиметрии и стереометрии (да и алгебры тоже есть).

Что такое трапеция?

Трапеция – такой четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие – нет.

Параллельные стороны называются – основания, а непараллельные стороны называются боковые стороны.

Оказывается, трапеция (как и треугольник) бывает равнобедренная.

Если боковые стороны трапеции равны, то она называется равнобедренной (или равнобокой).

И тут возникает вопрос: а могут ли у трапеции быть равными ОСНОВАНИЯ?

А вот и нет. Тогда это получится не трапеция, а параллелограмм, потому что две стороны окажутся параллельны и равны (вспоминаем признаки параллелограмма)

Свойства трапеции

Итак, что ты должен знать о свойствах трапеции…

Сумма углов при каждой боковой стороне трапеции равна 180°. (у нас на рисунке \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \) и \( \displaystyle \angle 3+\angle 4=180<>^\circ \))

Ну, конечно, просто потому, что основания – параллельны, а боковая сторона – секущая.

Вот и получается, что \( \displaystyle \angle 1\) и \( \displaystyle \angle 2\) – внутренние односторонние углы при параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\) и секущей \( \displaystyle AB\).

Поэтому \( \displaystyle \angle 1+\angle 2=180<>^\circ \).

И точно так же \( \displaystyle \angle 3\) и \( \displaystyle \angle 4\) – внутренние односторонние углы при тех же параллельных \( \displaystyle AD\) и \( \displaystyle BC\), но секущая теперь – \( \displaystyle CD\).

Видишь: главное, что играет роль – это параллельность оснований. Давай разберем еще некоторые свойства трапеции.

Как у всякого четырехугольника, у трапеции есть диагонали. Их две – посмотри на рисунки:

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector