чему равна степень с нулевым показателем

Содержание

Степень с нулевым показателем. 7-й класс

Разделы: Математика

Класс: 7

Ход урока

img1 img6
img2 img7
img3 img8
img4 img9
img5 img10

2 5 :2 5 =1
2 5 :2 5 =2 0

Какой же ответ правильный? Это мы сейчас и узнаем.

Учебник № 629 (а, б), № 631 (а, б),

Поднимает руки класс – это “раз”;
Повернулась голова – это “два”;
Руки вниз, вперёд смотри – это “три”;
Руки в стороны пошире – развернули на “четыре”;
С силой их к плечам прижать – это “пять”;
Всем ребятам тихо сесть – это “шесть”.

а) (2х) 5 ;
б) (10х 2 у) 3 ;
в)img13.

а) 32а 5 х 5
б) –27х 3 у 6 ;
в) img14.

3. Вычислите: img15.

а) (-3а) 4 ;
б) (2аb 5 ) 8 ;
в)img16.

3. Вычислите: img18.

Взаимная проверка сразу. На рабочих листах учащиеся ставят напротив правильно решённых упражнений “+”, неправильно выполненных “-”.

Источник

Что такое степень числа

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

degree with base letter

n multiplies

Исключение составляют записи:

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

negative numbers in degree

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

order of action with degree

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Источник

Число в первой и нулевой степени, как состовлять

Свойства степени с натуральным показателем.

Чтобы умножить степени с одинаковыми основаниями мы основания не меняем, а показатели степеней складываем :

например: 7 1.7 · 7 – 0.9 = 7 1.7+( – 0.9) = 7 1.7 – 0.9 = 7 0.8

Чтобы разделить степени с одинаковыми основаниями основание не меняем, а показатели степеней вычитаем :

При расчетах возведения степени в степень основание не меняем, а показатели степеней умножаем друг на друга.

например: (2 3 ) 2 = 2 3·2 = 2 6

Если необходимо рассчитать возведение в степень произведения, то в эту степень возводится каждый множитель

При выполнении расчетов по возведению в степень дроби мы в данную степень возводим числитель и знаменатель дроби

Степень с натуральным показателем, квадрат числа, куб числа

Вторая степень числа, а также третья степень числа имеют свои названия. Вторую степень числа называют квадратом числа, например, 7 2 читается как «семь в квадрате» или «квадрат числа семь». Третья степень числа называется кубом числа, к примеру, 5 3 можно прочитать как «пять в кубе» или сказать «куб числа 5 ».

Таблица степеней от 1 до 10

1 1 = 1

1 2 = 1

1 3 = 1

1 4 = 1

1 5 = 1

1 6 = 1

1 7 = 1

1 8 = 1

1 9 = 1

1 10 = 1

2 1 = 2

2 2 = 4

2 3 = 8

2 4 = 16

2 5 = 32

2 6 = 64

2 7 = 128

2 8 = 256

2 9 = 512

2 10 = 1024

3 1 = 3

3 2 = 9

3 3 = 27

3 4 = 81

3 5 = 243

3 6 = 729

3 7 = 2187

3 8 = 6561

3 9 = 19683

3 10 = 59049

4 1 = 4

4 2 = 16

4 3 = 64

4 4 = 256

4 5 = 1024

4 6 = 4096

4 7 = 16384

4 8 = 65536

4 9 = 262144

4 10 = 1048576

5 1 = 5

5 2 = 25

5 3 = 125

5 4 = 625

5 5 = 3125

5 6 = 15625

5 7 = 78125

5 8 = 390625

5 9 = 1953125

5 10 = 9765625

6 1 = 6

6 2 = 36

6 3 = 216

6 4 = 1296

6 5 = 7776

6 6 = 46656

6 7 = 279936

6 8 = 1679616

6 9 = 10077696

6 10 = 60466176

7 1 = 7

7 2 = 49

7 3 = 343

7 4 = 2401

7 5 = 16807

7 6 = 117649

7 7 = 823543

7 8 = 5764801

7 9 = 40353607

7 10 = 282475249

8 1 = 8

8 2 = 64

8 3 = 512

8 4 = 4096

8 5 = 32768

8 6 = 262144

8 7 = 2097152

8 8 = 16777216

8 9 = 134217728

8 10 = 1073741824

9 1 = 9

9 2 = 81

9 3 = 729

9 4 = 6561

9 5 = 59049

9 6 = 531441

9 7 = 4782969

9 8 = 43046721

9 9 = 387420489

9 10 = 3486784401

10 1 = 10

10 2 = 100

10 3 = 1000

10 4 = 10000

10 5 = 100000

10 6 = 1000000

10 7 = 10000000

10 8 = 100000000

10 9 = 1000000000

10 10 = 10000000000

Возведение числа в нулевую степень

Первая степень числа

Любое число в первой степени равно самому себе, так как показатель степени 1 указывает что число берётся сомножителем всего один раз, то есть оно ни на что не умножается,а просто остаётся без изменений.

Отрицательный показатель степени

Показатели степени могут быть не только положительными, но и отрицательными.

quicklatex.com 73b589c14a90741b669884b3c5862de6 l3

quicklatex.com 5a94a73ed14963b56d16c2dec7f319f5 l3

quicklatex.com cb76185690c4bd183dd6ddff23a54b1d l3

Возведение в степень

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2 – это основание степени, 3 – показатель степени, 8 – степень.

a) 11 2 = 11 · 11 = 121;

б) 2 5 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 10 4 = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Последовательность выполнения расчетов при работе с выражениями содержащими степень.

При выполнении расчетов выражений без скобок, но содержащих степени, в первую очередь производят возведение в степень, потом действия умножение и деление, и лишь потом операции сложения и вычитания.

Если необходимо вычислить выражение содержащие скобки, то сначала в указанном выше порядке делаем вычисления в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Очень широко в практических вычислениях для упрощения расчетов используют готовые таблицы степеней.

Теория множеств

Вроде на этом можно остановиться, но есть еще одно элегантное доказательство. Дело в том, что математика, это не только цифры и числовые оси. Есть комбинаторика, теория функций, множество других разделов, где нужно значение 0 в степени 0.

Итак, есть три блогера смежной тематики: Я, Артур Шарифов и Топа. И есть две обалденные темы для ролика, например, искусственный интеллект и космос! Каждый записывает 1 ролик на 1 тему, повторяться, конечно, можно. Вопрос: сколькими вариантами они могут это сделать? Ну то есть все на одну тему, или двое одну, третий другую?

К чему эта задача? В теории множеств есть теорема, согласно которой множество с количеством элементов M можно отобразить на множество с количеством элементов N вот столькими вариантами N в степени M.

Здесь как раз множество блогеров (3 элемента) отображается на множество тем (2 элемента). В итоге получается 8 вариантов.

Если что, вот они все перед вами:

Дело в том, что бывают и пустые множества! И есть только один вариант отображения пустого множества на пустое. А это значит, что 0 в степени 0 и есть единица! Это чисто символическое доказательство, не такое серьезное. Но все равно, логично что, ноль блогеров может записать ноль роликов только одним способом.

Как возвести число в натуральную степень?

Чтобы понять, как возводить различные числа в натуральные степени, рассмотрим несколько примеров:

Таким образом, чтобы возвести число в натуральную степень, достаточно всего лишь умножить его само на себя n раз.

Как возвести число в целую отрицательную степень?

Чтобы возвести отличное от нуля число в отрицательную степень, нужно вычислить значение этого числа в той же положительной степени и разделить единицу на полученный результат.

Теория

Степень числа – это сокращенная запись операции многократного умножения числа самого на себя. Само число в данном случае называется – основанием степени, а количество операций умножения – показателем степени.

запись читается: «a» в степени «n».

«a» – основание степени

«n» – показатель степени

4 6 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 4096

Данное выражение читается: 4 в степени 6 или шестая степень числа четыре или возвести число четыре в шестую степень.

Как возвести число в степень.

Давайте рассмотрим процесс возведения в степень на примере. Пусть нам необходимо возвести число 5 в 3-ю степень. На языке математики 5 — это основание, а 3 — показатель (или просто степень). И записать это можно кратко в таком виде:

kalkulyator stepenej

Возведение в степень

А чтобы найти значение, нам будет необходимо число 5 умножить на себя 3 раза, т. е.

5 3 = 5 x 5 x 5 = 125

Соответственно, если мы хотим найти значение числа 7 в 5 степени, мы должны число 7 умножить на себя 5 раз, т. е. 7 x 7 x 7 x 7 x 7. Другое дело когда требуется возвести число в отрицательную степень.

Парадокс нуля

Таблица 1. Функция ƒ(x) = x x

x x x
1 1
0,9 0,909
0,8 0,836
0,7 0,779
0,6 0,736
0,5 0,707
0,4 0,693
0,3 0,697
0,2 0,725
0,1 0,794
0,01 0,955
0,001 0,993

Как видим, с определенного момента значение x x растет вместе с уменьшением x. В этом нет ничего сверхъестественного, это всего лишь пример действия формулы

127

Изобразим это на графике

128

130

Проверим, вычислив это значение. Преобразуем основание выражения. Получаем:

x x = (e ln x ) x = e x ln x

131

Пользуемся правилом Лопиталя:

132

133

Доказательство получено. Официальная позиция современной математики гласит, что выражение 0 0 – представляет собой неопределенность, то есть не имеет точного значения. Однако на практике, при расчетах, его значение подстраивается под конкретные требования. И чаще всего в этих случаях оно равно единице. Чтобы лучше разобраться с темой нулевой степени, советуем посмотреть видео ниже.

Как пользоваться таблицей степеней числа два?

Степень двойки (n) Значение степени двойки
2 n
Максимальное число без знака,

записанное с помощью n бит 0 1 – – 1 2 1 – 2 4 3 1 3 8 7 3 4 16 15 7 5 32 31 15 6 64 63 31 7 128 127 63 8 256 255 127 9 512 511 255 10 1 024 1 023 511 11 2 048 2 047 1023 12 40 96 4 095 2047 13 8 192 8 191 4095 14 16 384 16 383 8191 15 32 768 32 767 16383 16 65 536 65 535 32767 17 131 072 131 071 65 535 18 262 144 262 143 131 071 19 524 288 524 287 262 143 20 1 048 576 1 048 575 524 287 21 2 097 152 2 097 151 1 048 575 22 4 194 304 4 194 303 2 097 151 23 8 388 608 8 388 607 4 194 303 24 16 777 216 16 777 215 8 388 607 25 33 554 432 33 554 431 16 777 215 26 67 108 864 67 108 863 33 554 431 27 134 217 728 134 217 727 67 108 863 28 268 435 456 268 435 455 134 217 727 29 536 870 912 536 870 911 268 435 455 30 1 073 741 824 1 073 741 823 536 870 911 31 2 147 483 648 2 147 483 647 1 073 741 823 32 4 294 967 296 4 294 967 295 2 147 483 647

Как пользоваться калькулятором степеней

Калькулятор помогает возводить число в степень онлайн. Основанием степени могут быть любые целые числа и десятичные дроби. Показатель степени тоже может быть любой десятичной дробью, однако следует помнить о том, что для отрицательных чисел не определена операция возведения в нецелую степень.

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

negative numbers in degree

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Степень с целым показателем

Степень числа a с целым положительным показателем есть не что иное как степень числа a с натуральным показателем: 008, где n – целое положительное число.

Рассмотрим данное определение степени с целым отрицательным показателем на конкретных примерах: 006.

Подытожим информацию этого пункта.

Степень числа a с целым показателем z определяется так:
007

Источник

Показатель степени в математике с примерами решения и образцами выполнения

При введении понятия о степени подразумевалось, что показатель степени — целое положительное число. Все правила действий над степенями были выведены в этом предположении.

В математике наряду со степенями с целыми положительными показателями рассматриваются также и степени с нулевым, отрицательным и дробным показателями. Более того, исследование некоторых вопросов, имеющих очень большое значение, требует рассмотрения степеней с иррациональными показателями.

В этой главе будет введено понятие о степени с любым вещественным показателем и будет показано, что все правила действий над степенями, выведенные для целых положительных показателей, сохраняются и для любых вещественных показателей.

lfirmal 3

Понятие о степени с нулевым и отрицательным показателем

Определение. Если а ≠ 0, то а⁰ = 1. Нулевая степень числа, отличного от нуля, равна единице.

Например, 2°= 1; (0,75)°= 1; (—√3)° = 1. Выражение 0° смысла не имеет.

Определение:

Если а ≠ 0 и q — целое положительное число, то

image 72534

Целая отрицательная степень числа, отличного от нуля, равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,

image 72535

Теорема:

При любых целых положительных m и n справедливо правило деления степеней

image 72665

Доказательство:

Если m > n, утверждение в доказательстве не нуждается.

Если m = n, справедливость утверждения вытекает из определения нулевого показателя.

Если m image 72667

было выведено в предположении, что m и n— целые положительные числа и что m > n.

Допустим, что правило деления степеней можно применять и.тогда, когда показатель степени делимого равен показателю степени делителя и когда» показатель степени делимого меньше показателя степени делителя.

image 72670

image 72671

Сравнение результатов (1) и (2) показывает, что a° = 1

Пусть m image 72674

С другой стороны, посредством сокращения получаем

image 72675

Сравнение результатов (3) и (4) показывает, что целесообразно считать

image 72677

где q — целое положительное число.

Рассуждения, которые приведены выше, не являются, конечно,

доказательствами того, что image 72678Эти рассуждения проведены только для того, чтобы показать, что принимаемые нами определения нулевого и отрицательного показателя подсказаны нам опытом деления степеней с одним и тем же основанием и единственно возможны, если мы желаем сохранить правило деления степеней для случая, когда показатель степени делимого не превосходит показателя степени-делителя.

Замечание:

Не следует думать, что введением отрицательного показателя дробное выражение image 72681превращается в целое image 72682. Выражение image 72682является лишь другой формой записи выраженияimage 72681

Понятие о степени с дробным показателем

Определение:

Если a > 0 и числа m и n натуральные, то

image 72687

Пример:

image 72690

Определение дробного показателя возникло в связи с желанием обобщить правило извлечения корня на случай, когда показатель подкоренного количества не делится на показатель корня. Правило

image 72691

было выведено в предположении, что m и n натуральные и m делится на n. Теперь, это правило можно применять и тогда, когда m и n— любые натуральные числа.

Известно, что рациональная дробь может быть представлена в различных видах. Например, image 72695может быть представлена как image 72697и т. п. Выражение с дробным показателем не зависит oт того, в каком виде представлен показатель. Пусть

image 72701

image 72705

В силу (1) правые части равенств (2) и (3) тождественны. Поэтому

image 72707

Определение дробного показателя не распространяется на степени с отрицательными основаниями, так как тогда выражения с дробными показателями не обладали бы столь простым и важным свойством, которое указано.

Пример:

Допустим, что определение дробного показателя распространено на степени с отрицательным основанием. Тогда

image 72722

image 72725

Замечание:

Не следует думать, что введением дробного показателя иррациональное выражение image 72728превращается в рациональное image 72732. Если выражение image 72728иррациональное, то и выражение image 72732тоже иррациональное. Выражение image 72732является лишь другой формой записи выражения image 72728

Понятие о степени с дробным отрицательным показателем

Определение:

Если а — положительное число, то

image 72739

где m и n— любые натуральные числа.

То есть дробная отрицательная степень положительного числа равна единице, деленной на степень того же числа с показателем, равным абсолютной величине отрицательного показателя. Например,

image 72741

Теорема:

image 72742

Доказательство:

Если x > 0 справедливость утверждения вытекает из определения дробного показателя.

image 72745

image 72746

image 72752

Действия над степенями с рациональными показателями

В этом параграфе буквы m, n, р, q обозначают целые положительные числа, буква r, а также r₁— любые рациональные числа.

Теорема:

Произведение степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным сумме показателей.

Короче: при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, т. е.

image 72755

Доказательство:

Переместительный закон умножения справедлив для любых действительных чисел. При любых рациональных r и r₁ степени image 72757—действительные числа, поэтому

image 72758

Для доказательства теоремы достаточно рассмотреть следующие случат

Случай 1. r = 0; r₁ — любое рациональное число. Имеем

image 72761

Случай 2.image 72764Имеем

image 72768

Случай 3. image 72771Имеем

image 72774

Случай 4. image 72779имеем

image 72782

На основании доказанного в случае 2

image 72783

image 72784

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Пример:

image 72786

Пример:

image 72788

Теорема:

Частное от деления степеней с одинаковыми основаниями равно степени с тем же основанием и с показателем, равным разности показателей делимого и делителя.

Короче; при делении степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней вычитаются, т. е.

image 72790

Доказательство:

На основании правила умножения степеней

image 72792

Отсюда по определению деления

image 72794

Пример:

image 72795

Пример:

image 72796

Теорема:

Степень произведения двух чисел равна произведению степеней сомножителей, т. е.

image 72799

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

image 72802

image 72803

Случай 2. image 74267. Имеем

image 74270

Случай 3. image 74271Имеем

image 74274

На основании доказанного в случае 2

image 74275

image 74276

Методом математической индукции можно показать, что теорема верна для любого количества множителей.

Теорема:

Степень дроби равна частному от деления степени числителя с показателем, равным показателю дроби на степень знаменателя с показателем, равным показателю дроби.

Короче: степень дроби равна частному от деления степени числителя на степень знаменателя, т. е.

image 74277

Доказательство:

Возможны три случая:

Случай 1. r = 0. Имеем

image 74279

image 74280

Случай 2. image 74267Имеем

image 74281

Случай 3. image 74271Имеем

image 74286

На основании доказанного в случае 2

image 74287

image 74288

Пример:

image 74290

Теорема:

Результат возведения степени в степень равен степени с тем же основанием и с показателем, равным произведению показателей, участвующих в действии.

Короче: при возведении степени в степень показатели перемножаются, т. е.

image 74292

Доказательство:

Возможны шесть случаев:

Случай 1. r = 0. Имеем

image 74293

image 74294

Случай 3. r > 0; r₁ > 0. Положим image 74296Тогда

image 74297

Случай 4, r 0. Положим r = — r₂r₂, > 0. Тогда

image 74299

На основании теоремы 4 и доказанного в случае 3

image 74301

image 74302

Случай 5. r > 0; r₁ 0. Тогда

image 74304

На основании доказанного в случае 3

image 74306

image 74307

Случай 6. r 0, r₃ >0. Тогда

image 74312

На oсновании доказанного в случае 4

image 74313

image 74314

Следствие. image 74316

Пример:

image 74318

Из доказанных теорем вытекает, что для степеней с любыми рациональными показателями справедливы следующие правила, которые были ранее установлены для степеней с натуральными показателями:

1) правило умножения степеней;

2) правило деления степеней;

3) правило возведения произведения в степень;

4) правило возведения дроби в степень;

5) правило возведения степени в степень.

Пример:

Вычислить при а = 2,5 и b= 20

image 74321

Решение:

image 74323

При а = 2,5; b = 20 имеем image 74324

Степень с рациональным показателем

Теорема:

Пусть r рационально, тогда

Доказательство:

1) Пусть а > 1 и image 74267, где m и n— натуральные числа. Тогда

image 74332

Так как image 74333

image 74335

так как по доказанному в п. 1) image 74336

3) Пусть а > 1 и image 74271, тогда

image 74337

так как по доказанному в п. 1) image 74339

4) Пусть а image 74340

так как image 72732 1 и рациональное r больше рационального r₁, то image 74341если же 0 1 то при возрастании r возрастает и степень image 74328, а если 0 1 и r > r₁ Рассмотрим разность

image 74343

Так как image 74344и, следовательно, image 74345, т. е.image 74341

Пусть а r₁. Рассмотрим разность

image 74347

Так как image 74348

Теорема:

Если c > 0, то последовательность image 74349имеет пределом единицу, т. е.

image 74351

Доказательство:

image 74352

При с = 1 утверждение проверяется легко. Остается рассмотреть два случая: c > 1 и c 1. Тогда каждый член последовательности (3) больше единицы. Обозначим

image 74354

Тогда последовательность (3) может быть переписана так:

image 74355

где image 74356при любом n.

Пусть теперь n >1 тогда (см. теорему 1 § 9 гл. V)

image 74357

Но image 74358значит,

image 74359

Последнее неравенство показывает, что по любому заданному положительному e можно указать столь большой номер N, что при всех n >N число image 74360будет меньше e. Действительно, чтобы image 74360было меньше е, достаточно, чтобы image 74361Таким образом, за N можно принять любое целое число, бoльшее image 74364Отсюда вытекает, что image 74365а тогда

image 74367

Пусть теперь подкоренное выражение c₁ меньше единицы. Положим image 74369Тогда последовательность

image 74370

image 74385

image 74386

Последовательность (4), составленная из знаменателей последовательности (7), как показано, стремится к единице, значит, и последовательность (7) стремится к единице, т. е. опять

image 74387

Понятие о степени с иррациональным показателем

Пусть а — какое-нибудь положительное число и а — иррациональное. Какой смысл следует придать выражению image 74388?

Чтобы сделать изложение более наглядным, проведем его на частном примере. Именно, положим а = 2 и а = 1,624121121112…. Здесь, а — бесконечная десятичная дробь, составленная по такому закону: начиная с четвертого десятичного знака, для изображения а употребляются только цифры 1 и 2, и при этом количество цифр 1, записываемых подряд перед цифрой 2, все время увеличивается на одну. Дробь а непериодическая, так как иначе количество цифр 1, записываемых подряд в его изображении, было бы ограниченным. Следовательно, а — иррациональное число.

Итак, какой же смысл следует придать выражению

image 74389

Чтобы ответить на этот вопрос, составим последовательности значений а с недостатком и избытком с точностью до image 74390. Получим

1,6; 1,62; 1,624; 1,6241; …, (1)

1,7; 1,63; 1,625; 1,6242; … (2)

Составим соответствующие последовательности степеней числа 2:

image 74391

Последовательность (3) возрастает, так как возрастает последовательность (1) (теорема 2 § 6).

Последовательность (4) убывает, так как убывает последовательность (2).

Каждый член последовательности (3) меньше каждого члена последовательности (4), и, таким образом, последовательность (3) ограничена сверху, а последовательность (4) ограничена снизу.

На основании теоремы о монотонной ограниченной последовательности каждая из последовательностей (3) и (4) имеет предел. Если теперь окажется, что разность последовательностей (4) и (3) сходится к нулю, то из этого будет вытекать, что обе эти последовательности, имеют общий предел.

Разность первых членов последовательностей (3) и (4)

image 74392

Разность вторых членов

image 74393

Разность n-х членов

image 74394

На основании теоремы 3 § 6

image 74395

Итак, последовательности (3) и (4) имеют общий предел. Этот предел является единственным вещественным числом, которое больше всех членов последовательности (3) и меньше всех членов последовательности (4), его и целесообразно считать точным значением image 74400.

Из сказанного вытекает, что и вообще целесообразно принять следующее определение:

Определение:

Если a > 1 то степенью числа а с иррациональным показателем а называется такое действительное число, которое больше всех степеней этого числа, показатели которых есть рациональные приближения а с недостатком, и меньше всех степеней этого числа, показатели которых — рациональные приближения а с избытком.

Если a image 74397

Пример:

Вычислить с точностью до 0,1 число image 74400, если а= 1,624121121112 … (а то же, что и выше).

Решение:

Для приближенного вычисления image 74400заметим, что

image 74401

image 74402

Таким образом, image 74400 image 74405

Число image 74400вычислено с точностью до: 0,06.

Свойства степени с любым вещественным показателем

Теорема:

1) Если а > 1 и а > 0, то image 74409

2) если 0 0, то image 74411

3) если а > 1 и а image 74439

2) Положим image 74443, тогда a₁ >. 1. По доказанному image 74449, значит,

image 74453

3) Пусть а > 1; а image 74461

По доказанному в п. (1) image 74465Значит,

image 74466

4) Пусть а image 74472

так как image 74473(по доказанному в п. 2).

Теорема:

Если а > 1 и число а больше image 74475, то image 74479т. е. при а > 1 функция image 74481возрастает.

Если 0 image 74475то image 74479, т. е. при 0 image 74506

Так как image 74510, то и, следовательно, image 74512. Пусть image 74515Рассмотрим

image 74520

image 74522

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

lfirmal 3

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector