чему равна сумма кубов двух выражений

summa kubov

Краткое описание

В алгебре большим спросом пользуются различные формулы и соответствующие правила сокращённого умножения. При правильном подходе ученик может максимально быстро и правильно решать большие уравнения. Универсальные формулы были получены специалистами для умножения и вычитания сразу нескольких многочленов. Только подготовленные ученики могут максимально быстро решать поставленные задачи, существенно упростив используемое выражение. Базовые правила востребованных преобразований позволяют выполнять определённые манипуляции с уравнениями.

formuly algebre

Если максимально придерживаться основных рекомендаций, то можно будет получить в левой части примера равенство выражения, расположенное с правой стороны. Ученик должен хорошо владеть теми формулами, которые применяются для сокращённого умножения, используемого во время решения задач, а также уравнений. Но даже в этом случае нужно соблюдать ряд нюансов, чтобы можно было избежать допущения грубых ошибок.

Интересным фактом является то, что некоторые формулы для быстрого умножения были выведены экспертами ещё в конце четвёртого тысячелетия до нашей эры. Именно целеустремлённые греки максимально развили идеи своих предшественников, из-за чего им удалось разработать сразу несколько важных и полезных правил. Но в те времена математики мыслили совершенно иначе, так как они стремились воссоздать числа с помощью подручных материалов или геометрических фигур. К примеру: специально обтёсанные камни на счётной доске из дерева.

Ещё несколько лет назад формулы для определения суммы различных величин выводились исключительно геометрическим методом. Эксперты практиковали рассечение квадрата на разные фрагменты. Настоящий подъём науки пришёлся на времена Ньютона и других учёных. Именно эти целеустремлённые люди смогли внести огромный вклад в развитие формул для алгебры, представив обществу усовершенствованный вариант.

Сумма и разность кубов

Для изучения этой темы должно быть отведено достаточно времени, так как только после изучения всех нюансов ученик сможет должным образом применить свои знания. Основная формула суммы кубов двух чисел выглядит следующим способом: w3 + y3 = (w + y) (w2 — wy + y2). Стоит отметить, что задействованное выражение w2 — wy + y2 отличается от правой части только присутствующим коэффициентом при y. Именно поэтому такое выражение называют неполным квадратом разности.

matematicheskaya formula

Обязательно нужно усвоить правило, что итог двух кубических (ударение падает на слог с первой буквой «и») корней будет соответствовать произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности. Нужно понимать, что каждая математическая задача обладает определёнными характеристиками, которые нельзя оставить без внимания.

Элементарную формулу сумму кубов получают следующим образом:

Зафиксированная сумма кубов раскладывается по специальной технологии, так как разность кубов двух уравнений равна произведению разности этих уравнений на неполный квадрат их суммы. В качестве примера можно изучить следующую задачу:

По описанному примеру можно понять, что решать поставленные задачи можно быстро и без ошибок, но это только в том случае, если заранее изучить все правила. Ученику необходимо решить минимум три задачи, чтобы увидеть разницу между уравнениями и выполнить полное раскрытие темы.

Основное доказательство ФСУ

izuchenie matematiki

Во время изучения математики перед учениками неизбежно возникает необходимость определить сумму кубов. Примеры решения элементарных и более сложных задач позволяют лучше усвоить тему. Основное доказательство ФСУ отличается своей простотой и элементарностью. Базируясь на свойствах умножения можно правильно выполнять сложение цифр из всех частей формул в скобках. В качестве примера можно рассмотреть формулу квадрата разности: d — r2= d−2dr + r2.

Чтобы иметь возможность возвести пример во вторую степень, необходимо задействованное выражение умножать само на себя:

После этого можно считать, что формула полностью доказана. Все остальные ФСУ описываются подобным образом.

Основная цель применения математических приёмов — максимально быстрое и правильное умножение, а также возведение в степень имеющихся выражений. Но это далеко не все способы использования ФСУ. Распространённые методы сокращённого умножения применяются для упрощения выражений, разложение задействованных многочленов на множители, а также для работы с различными дробями.

При правильном подходе ФСУ позволяет даже вычислить значения математических выражений. Главная задача — иметь достаточно навыков, чтобы заметить, где именно будет уместна формула. Если по условиям задачи нужно возвести в квадрат любое число (к примеру: 79), тогда вместо громоздких вычислений можно прибегнуть к более лаконичным и понятным записям: 79=80−1; 792=80−12=6400−160+1=6241.

osnovnoe dokazatelstvo fsu

Формулы умножения с упрощённой схемой и специальные таблицы позволяют гораздо быстрее выполнить все необходимые вычисления. Определённые сложности могут возникнуть с выделением квадрата двучлена, так как в этом случае можно допустить много ошибок.

Математическое выражение 4х2+4х-3 можно легко преобразовать. В этом случае можно получить следующий результат: 2х2 +2*2*х *1 +12−4=2х+12−4. Интересным является то, что именно такое преобразование активно используется в интегрировании.

Вспомогательная информация

Именно сумма сразу двух геометрических кубов получила большой спрос в алгебре для кардинального упрощения многочленов. Лучше всего рассматривать конкретные примеры, которые относятся к категории сложных уравнений. Без наставлений учителя решать такие задачи при помощи универсального тригонометрического аппарата будет крайне сложно, особенно для неподготовленного школьника.

Грубые ошибки допускают те, кто плохо знаком со свойствами синусов и косинусов. На помощь может прийти правило суммы двух кубов, так как все описанные примеры максимально повторяют разложение на отдельные множители выражения a 2 + b 2. Но в этом случае вместо а — sinx, а b заменил cosy.

formuly trigonometricheskih

Если следовать правилам, то многоуровневое тригонометрическое выражение может легко превратиться в лаконичную запись, где sin3x + cos3y. После этого остаётся применить эту универсальную формулу во время подсчёта. Многие люди практически на память знают все квадраты к используемым в повседневной жизни натуральным числам до пятнадцати. А ученики, которые занимаются арифметикой на постоянной основе, владеют большим количеством квадратов. Гораздо сложнее работать с кубами. Если по условиям задачи нужно посчитать сумму двух таких кубов, то гораздо практичнее и быстрее применить формулу разложения на отдельные множители.

На просторах интернета много различных программ, которые считают сумму двух кубов с различными иллюстрациями промежуточных вкладов. Эта разработка программистов пригодится школьникам, стремящимися проверить результаты выполненных работ, а также взрослым, которые хотят возобновить в памяти школьный курс алгебры.

Особенности использования уравнений

osobennosti ispolzovaniya

Для лучшего усвоения этой темы следует более подробно изучать приведённые примеры. В качестве основы следует взять элементарную формулу для квадрата суммы двух чисел: h+ hl = h2+2 hl + l2. Этот математический пример необходимо читать только таким образом: квадрат суммы для двух выражений h и l соответствует квадрату первого выражения, удвоенного произведения уравнения, а также квадрату второго выражения. Точно таким образом математики читаются все остальные формулы.

Если нужно записать квадрат разности h — l2= h2−2hl + l2. Запись такого уравнения выглядит только так: квадрат математической разности двух примеров максимально соответствует конечной сумме, которая была получена от квадрата этих утверждений. Но также перед учеником может возникнуть необходимость правильно прочитать более сложную формулу: h + l3= h3+3h2l +3hl 2+ l3. Задействованный куб суммы двух математических уравнений соответствует итоговым данным этого примера. В этом уравнении присутствует утроенное произведение квадрата первого выражения на второе.

Ключевые нюансы

pravilno poschitat kvadrat

Если есть необходимость самостоятельно вычислить куб суммы двух слагаемых, тогда первым делом определяют сумму, которая включает в себя куб первого слагаемого, утроенного произведения квадрата первого и второго слагаемого. В алгебре это выражение выглядит так: (d+e) 3 = d 3 +3 d 2 e +3 de 2 + e 3.

Специальные формулы сокращённого умножения являются неотъемлемой темой в школьной программе по алгебре, так как она обязательно пригодится во время решения многоуровневых задач. Это своеобразная основа, на которой строятся решения интегральных исчислений. Онлайн-калькуляторы помогают лучше освоить технологию применения формулы двух кубов, которые можно свернуть, а потом снова открыть для приведения уравнения в нужный вид.

Источник

Сумма кубов

В алгебре формулы сокращенного умножения — тождества, то есть любая из формул верна как для перехода от правой части к левой, так и от левой к правой.

Мы выяснили, что произведение суммы двух выражений и неполного квадрата разности равно сумме кубов этих выражений. И обратно,

сумма кубов двух выражений равна произведению суммы этих выражений на неполный квадрат их разности.

Формула суммы кубов:

quicklatex.com 3e0d9c7ae41fd3a683769310d14071c2 l3

С помощью схемы сумму кубов можно представить так:

0 f39d1 13f1e633 orig

quicklatex.com 1f7df2416392e4a4adcd7a97550f2d69 l3

quicklatex.com 4aa1ebedfbbb183ab656651ac3f4a9a7 l3

На практике, чтобы пользоваться формулой суммы кубов, ее надо научиться видеть.

quicklatex.com 774519ff349dd79a8c757438622d3431 l3

сначала надо увидеть, что 1000 — это куб 10, а 27y³ — куб (3y):

quicklatex.com e12936f00548c83de002fb47321838e4 l3

и только потом расписать его как сумму кубов:

quicklatex.com 41b3dfca613bc7f868a7772faec33292 l3

quicklatex.com 51804d7e1adc3fda5997d4ba398eddd2 l3

На первом этапе изучения формулы можно использовать схему.

Таблица кубов от 1 до 10 поможет нам увидеть кубы чисел:

quicklatex.com 33cbab67d13c74f4aa853af0ed4194cd l3

Свойство степеней поможет определить куб степени:

quicklatex.com 9183f595d945b5a92b36a868f7afc552 l3

Рассмотрим еще примеры разложения по формуле суммы кубов.

quicklatex.com a9bae22e350bbfa6b7d00edd2aba0823 l3

quicklatex.com c17e994392f11b6bfc577feeb9974874 l3

quicklatex.com c2e7615e45b2bf1866a480c342c182f4 l3

quicklatex.com 8741ac1f0e529542dd21ab50596907e3 l3

quicklatex.com 8c87430f2e3ab1a2b54346a780bdf9ba l3

quicklatex.com f1292a41d1b819bdbb78f4bf17a37544 l3

quicklatex.com 357ad8a5c2c0180a9463f5a46fca1b7f l3

Чтобы определить, сколько цифр после запятой нужно записать в десятичной дроби, если известен ее куб, надо количество знаков после запятой в кубе числа разделить на 3:

quicklatex.com 56dd80805c816984fd6017a26d699418 l3

quicklatex.com f1f96d8b6cfc11d3511a47e65be088c3 l3

quicklatex.com ac75073516239765d2043ab653b94443 l3

quicklatex.com a85d821dc4afac3053622644e1300104 l3

quicklatex.com 3fa12bd7fe3717537d1f55595d057182 l3

quicklatex.com 4d144c7c3567a86f213c24f03a399ed0 l3

quicklatex.com 043c3f8b2f67df1f051a25cc8c5d03f9 l3

quicklatex.com cd5395eea8965778a665f974a6717ad3 l3

quicklatex.com ae42c38933b4c0f74b44e0170b3934eb l3

В алгебре формулу суммы кубов чаще всего используют для упрощения действия разложения многочленов на множители.

Источник

Формулы сокращенного умножения

Таблица формул сокращенного умножения

733fa9c67877ac55db5c0b7156a24af3bf03c33d

Примеры использования формул

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Пример: (x + 3y) 2 = x 2 + 2 ·x·3y + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.

Пример: 9x 2 – 16y 2 = (3x) 2 – (4y) 2 = (3x – 4y)(3x + 4y)

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.

(a+b) 3 = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3

Пример: (x + 2y) 3 = x 3 + 3·x 2 ·2y + 3·x·(2y) 2 + (2n) 3 = x 3 + 6x 2 y + 12xy 2 + 8y 3

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.

Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.

a 3 +b 3 = (a+b)(a 2 –ab+b 2 )

Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.

Пример: 64x 3 – 8 = (4x) 3 – 2 3 = (4x – 2)((4x) 2 + 4x·2 + 2 2 ) = (4x – 2)(16x 2 + 8x + 4)

Формулы для квадратов

Формулы для кубов

Формулы для четвертой степени

В заданиях ЕГЭ по математике применяются формулы сокращенного умножения.

Источник

Куб суммы и разности двух выражений

Формула куба суммы

Возведем в куб сумму (a+b):

Мы получили формулу куба суммы двух выражений:

Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения, плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, плюс куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Формула куба разности

Возведем в куб разность (a-b):

Мы получили формулу куба разности двух выражений:

Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения, минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе выражение, плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго выражения, минус куб второго выражения.

Вместо a и b в формуле могут быть любые одночлены (и даже многочлены), которые нужно подставить. Например:

Не забывайте о втором и третьем слагаемом в формулах куба двучленов!

Не путайте знаки «+» и «-» перед слагаемыми!

Примеры

Пример 1. Представьте в виде многочлена

Пример 2. Упростите выражение:

Пример 3. Найдите значение выражения:

$a^3-b^3-3ab(a-b) = a^3-b^3-3a^2 b+3ab^2 = a^3-3a^2 b+3ab^2-b^3 =$

Пример 4. Решите уравнение:

Пример 5*. Дайте геометрическое объяснение формуле куба суммы (аналогично квадрату суммы – см. §21 данного справочника, но для кубов в пространстве).

algebra p 23 1

Рассмотрим куб со стороной (a+b) и вписанный в один из его углов куб со стороной b.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Сумма кубов. Разность кубов

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

Формулы сокращённого умножения.

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

a 3 – b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Формула суммы кубов.

Применив правило умножения многочленов, и приведя подобные члены, получим:

(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) = a 3 – a 2 b + ab 2 + ba 2 – ab 2 +b 3 = a 3 + b 3

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 )

Равенство называют формулой суммы кубов.

Читается так: «сумма кубов двух чисел равна произведению суммы этих чисел и неполного квадрата их разности».

Формула разности кубов.

Аналогично докажем формулу разности кубов.

(a – b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 – ba 2 – ab 2 – b 3 = a 3 – b 3

Читается так: «разность кубов двух чисел равна произведению разности этих чисел и неполного квадрата их суммы».

Выражения (a 2 + ab + b 2 ) и (a 2 – ab + b 2 ) называют неполным квадратом суммы или разности.

Формула задаёт разложение многочленов:

a 3 + b 3 и a 3 – b 3 на два множителя:

(a + b)(a 2 – a b+ b 2 ) и (a – b)(a 2 + ab + b 2 ).

Формулы суммы и разности кубов используют для упрощения вычислений.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Выполните умножение многочленов:

Разложите многочлен на множители:

(x +2)(x 2 – 2x +4) – x(x–3)(x+3).

x 3 + 2 3 – x(x 2 – 9) = x 3 + 8 – x 3 + 9x = 8 + 9x.

Доказать, что выражение 123 3 + 27 3 кратно 50.

a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 – ab + b 2 ),

получим: (123 + 27)(123 2 123 · 27 + 27 2 ) =150 · (123 2 123 · 27 + 27 2 ).

Произведение делится на 50, так как первый множитель делится на 50: (150 : 50 = 3). Нет необходимости считать значение выражения в скобках. Утверждение доказано.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector