чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Теорема. (Свойства диагоналей параллелограмма).

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

quicklatex.com 4608c6f486fc98dfb98d9ed938081efd l3

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065d 2a8d71a0 orig

AC и BD — диагонали.

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065c d42ffb30 orig

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

quicklatex.com cd9c0ba623d2c9d0cd219dfe8bff1c1b l3

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

quicklatex.com 7f8021fe490206dc532a0aee76d6b224 l3

4) Сложим почленно полученные равенства:

quicklatex.com 9097ac166774298003b917d601c588e8 l3

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

quicklatex.com 50d3f4c3473446cea8b4a245b2a2b16a l3

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

quicklatex.com 90cc40c9605400049e2b3beae7fff6e0 l3

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

quicklatex.com 0e5fada8e89cf6df65499d070d964573 l3

quicklatex.com b782932bcdefafe32acf96675349ff83 l3

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

quicklatex.com 0e5fada8e89cf6df65499d070d964573 l3

quicklatex.com 7d4161695ef7bfba108b007dad3d51ea l3

quicklatex.com 84cfdb7f54bba0940b3e7a69ebb9b830 l3

quicklatex.com 64b6624296b73ef27919280777b2256d l3

quicklatex.com 2c98a65b8d0963eb592434005706e154 l3

quicklatex.com 0f06ee625006cc82d1a72b586057a6c4 l3

quicklatex.com 3ea8911e04122c19204e2e9d14cd9b88 l3

Что и требовалось доказать.

Свойство диагоналей параллелограмма можно рассматривать как следствие из теоремы косинусов.

Этот способ доказательства будет рассмотрен в следующий раз.

2 Comments

почему 2ой способ не приведен?

В следующем посте. Следствия теоремы косинусов.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

5fb61e1f69344793566921

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

5fb622621d2dd301036695

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

617b9f4689765418270519

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

617b9f9456b8c272321940

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Как доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суме квадратов его сторон?

Лучший ответ по мнению автора

Степин Александр

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

quicklatex.com 4608c6f486fc98dfb98d9ed938081efd l3

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065d 2a8d71a0 orig

AC и BD — диагонали.

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065c d42ffb30 orig

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

quicklatex.com cd9c0ba623d2c9d0cd219dfe8bff1c1b l3

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

quicklatex.com 7f8021fe490206dc532a0aee76d6b224 l3

4) Сложим почленно полученные равенства:

quicklatex.com 9097ac166774298003b917d601c588e8 l3

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

quicklatex.com 50d3f4c3473446cea8b4a245b2a2b16a l3

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

quicklatex.com 90cc40c9605400049e2b3beae7fff6e0 l3

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

quicklatex.com 0e5fada8e89cf6df65499d070d964573 l3

quicklatex.com b782932bcdefafe32acf96675349ff83 l3

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

Источник

Как доказать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна суме квадратов его сторон?

Лучший ответ по мнению автора

Степин Александр

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон.

quicklatex.com 4608c6f486fc98dfb98d9ed938081efd l3

Так как противолежащие стороны параллелограмма равны: AB=CD, AD=BC, то сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна удвоенной сумме квадратов его смежных сторон:

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065d 2a8d71a0 orig

AC и BD — диагонали.

quicklatex.com 0474e5cb1cc3d0933e1ddcb7d5eb1a12 l3

0 e065c d42ffb30 orig

1) Опустим перпендикуляры BK и CF на прямую, содержащую сторону AD.

2) Рассмотрим прямоугольный треугольник BDK.

По теореме Пифагора

quicklatex.com cd9c0ba623d2c9d0cd219dfe8bff1c1b l3

3) Аналогично, из прямоугольного треугольника ACF

quicklatex.com 7f8021fe490206dc532a0aee76d6b224 l3

4) Сложим почленно полученные равенства:

quicklatex.com 9097ac166774298003b917d601c588e8 l3

BK=CF (как высоты параллелограмма, проведенные к одной стороне), поэтому

quicklatex.com 50d3f4c3473446cea8b4a245b2a2b16a l3

5) Из прямоугольного треугольника ABK по теореме Пифагора

quicklatex.com 90cc40c9605400049e2b3beae7fff6e0 l3

6) KD=AD-AK, AF=AD+FD, поэтому

quicklatex.com 0e5fada8e89cf6df65499d070d964573 l3

quicklatex.com b782932bcdefafe32acf96675349ff83 l3

7) BK=CF, AB=CD. Значит, прямоугольные треугольники ABK и DCF равны (по катету и гипотенузе).

Следовательно, их соответствующие стороны равны: AK=DF. Отсюда,

Источник

Чему равна сумма квадратов диагоналей параллелограмма

email marketing1

Получите бесплатный курс по основам математики. Эти знания необходимы для решения задач по физике.

Векторная алгебра с нуля!

email marketing

Получите бесплатный курс по Векторной алгебре. Он необходим для решения задач по физике.

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ

email marketing3

Векторы. Задачи. Показать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма

Задача 10. Показать, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна

сумме квадратов его сторон.

Представим диагонали и стороны в виде векторов, как показано на рисунке 27.

2.1.10

Тогда c1 = a + b, c2 = ab. Возведем левые и правые части каждого уравнения в

c1 2 = (a + b) 2

c2 2 = (ab) 2 или

c1 2 = а 2 + b 2 + 2ab

c2 2 = а 2 + b 2 − 2 ab

Складывая почленно левые и правые части последних двух уравнений, получим:

Книги по изучению физики и для подготовки к ЕГЭ
Эти книги должен иметь каждый старшеклассник, абитуриент и студент!

Пожалуйста, не забудьте поделиться о прочитанном со своими друзьями в соц. сетях (см. кнопки ниже).

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector