чему равна сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике

Содержание

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

pitagor proof fotor cke

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

pifagorovy shtani gotovo cke

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

pifagor feito shtani2 cke

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

shtanialldone 1 cke

Что и требовалось доказать.

Примеры

Задача 1

gipotenuza example cke

На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Подставить известные значения

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

Задача 2

exemplo1 done cke

Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

Подставить известные значения

Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

Следствия из теоремы Пифагора

Это основные следствия теоремы:

Кто придумал теорему Пифагора

Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

Источник

Теорема Пифагора

5f21798fc2452946152968

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Пошаговое доказательство:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Источник

Теорема Пифагора.

Теорема Пифагора — одна из основополагающих теорем евклидовой геометрии, устанавливающая соотношение

между сторонами прямоугольного треугольника.

Будет полезно сохранить таблицу Пифагора.

Считается, что доказана греческим математиком Пифагором, в честь которого и названа.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов,

построенных на катетах.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

724 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

Обратная теорема Пифагора.

Если квадрат одной стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон, то

Для всякой тройки положительных чисел a, b и c, такой, что

724 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11,

существует прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c.

Теорема Пифагора для равнобедренного треугольника.

850 834144d6e7dd6dd7459fd04e4f37fac4

Теорема Пифагора для равностороннего треугольника.

916 af38de9f8bd06c04cc51cc0f0e543614

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

638 47c151a3c319f16ed66ab678d29adda2 115 fc38a99070582fc1230937c7f71ec00b

787 4c4fa5c58c67d3f0d10f660cae04457b,

или 724 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11, что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

847 8734705ded4afed3261f2cfd65752eb9Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

827 1b6b2f6917cb2a36bae077dde0c7ca8e

373 b269c2ceb1e413b7297d53a5db45e056

632 31292169d9e8c072a166a69d77400f5e

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

59 6504e12240317507dedb9eac1e34c30e

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

512 db8fbab2c2156bb7bda07057aa647c1a

Используя метод разделения переменных, находим:

356 9c9b7c7c10ad02620a5cce7a137a50ab

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

367 ae3ce138b1ca05e4baca5e9496270f4a

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

748 8673fb34311c7e81b63c2ae2b0544428

622 3ac40eb62f4fa72839b49cb80158df60

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

632 31292169d9e8c072a166a69d77400f5e

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

Источник

Теорема Пифагора: история, формулы и доказательства

56f174036c06743464

Теорема Пифагора – одна из самых известных геометрических теорем, которая устанавливает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Большинство ученых считают, что теорема Пифагора была доказана древнегреческим математиком и философом Пифагором (или Питагором). Однако есть версия, что теорему знали и до его рождения. Доказательством этого является то, что в Древнем Египте знали, что треугольник, у которого стороны имеют 3 см, 4 см и 5 см, является прямоугольным. А о других теоремах можно узнать в учебнике по геометрии за 8 класс А.Г. Мерзляка.

Еще в детстве Пифагор отличился интересом к точным наукам. Впоследствии он переехал жить на остров Лесбос, где познакомился с Фалесом Милетским – древнегреческим философом и математиком, который доказал теоремы о трех точках на окружности и пропорциональных отрезках. За время, когда Пифагор учился в Милетской школе, он изучал астрологию, медицину, прогнозы затмений и другие важные в то время науки. Лекции Фалеса и его ученика Анаксимандра сыграли важную роль для Пифагора.

После обучения в Египте, плена в Вавилоне, в 60 лет Пифагор решает вернуться домой, чтобы поделиться своими знаниями с народом. Впоследствии он открыл собственную школу, в которой геометрия впервые выступает как самостоятельная наука.

О том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, знали задолго до рождения Пифагора. Но именно он считается первым ученым, который доказал соотношение сторон треугольника.

В теореме Пифагора говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть ВС = а; АС = b; АВ = с.

Тогда имеем такую формулу, которая применяется при нахождении неизвестной стороны в прямоугольном треугольнике, когда две другие – известны:

screenshot64

Когда мы определили квадрат гипотенузы, нужно найти квадратный корень. Такую же формулу мы можем применить к неизвестному катету:

screenshot73

А больше рисунков и формул можно увидеть в онлайн уроке за 8 класс по геометрии на тему «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора».

Самый популярный и самый простой метод доказательства теоремы связан с площадями фигуры.

Нужно расположить одинаковые прямоугольные треугольники так, чтобы внутри образовался квадрат. Каждая сторона внешнего квадрата должна состоять из суммы катетов прямоугольного треугольника a + b.

image001

Площадь этого квадрата можно будет найти благодаря формуле:

screenshot117

Внутренний четырехугольник можно считать квадратом, ведь, если добавить два острые углы прямоугольного треугольника, то получится 90°. Следует считать, что площадь внешнего квадрата состоит из площади внутреннего квадрата и четырех площадей одинаковых прямоугольных треугольников. Итак, в заключении:

screenshot5

Итак, теорема Пифагора доказана.

2. Доказательство Евклида

Доказательство Евклида также называется «Пифагоровы штаны». Ее так назвали, потому что сумма площади квадратов, образованных с использованием катетов прямоугольного треугольника равна площади квадрата, который построен на гипотенузе этого же треугольника. Квадраты напоминали ученикам мужские штаны.

На примере приведенных картинок ниже можно увидеть, как оригинально передали суть доказательства Евклида.

screenshot35

screenshot212

В вашем учебнике не было таких доказательств? Вы можете найти другой в разделе «Учебники по геометрии за 8 класс».

Пример задачи на применение теоремы Пифагора

Условия задачи. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90 °, BC = 20 см, AC = 15 см. Найти сторону AB.

111

Решение. Поскольку в треугольнике АВС ∠С = 90°, следовательно, по теореме Пифагора имеем:

АВ² = BС² + АС²; AВ² = 20² + 15², AВ² = 625, AB = √625| AB = 25 см.

Если вам нужно решить задачу с помощью теоремы Пифагора, а вы сомневаетесь в конечном ответе, тогда можете проверить свои знания благодаря разделу «ГДЗ и решебники по геометрии за 8 класс».

А если вы хотите крепче закрепить знания по другим темам по геометрии, то можете просматривать видео в разделе «Онлайн уроки за 8 класс по геометрии». Узнайте больше о перпендикуляре и наклонной, сумме углов выпуклого треугольника, площадь квадрата и прямоугольника, решение задач методом площадей и тому подобное.

Источник

Теорема Пифагора онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника используя теорему Пифагора. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Теорема Пифагора. Доказательство

img1img2

Доказательство (метод площадей). Пусть задан прямоугольный треугольник с катетами a и b и гипотенузой c (Рис.1). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)

Построим квадрат со стороной a+b из четырех таких прямоугольных треугольников (Рис.2). Тогда внутренний белый четырехугольник будет квадратом со стороной c.

Действительно. В прямоугольных треугольниках (Рис.2) \( \small \angle 1 +\angle 2=90° \) Следовательно, каждый угол квадрата со стороной c равен \( \small \angle 3=180&deg-(\angle 1 +\angle 2)=180°-90°=90°.\)

Далее, площадь квадрата со стороной a+b равна:

Площадь квадрата со стороной c равна:

Площадь каждого прямоугольного треугольника на рисунке 2 равна:

Площадь квадрата со стороной a+b равна сумме площади квадрата со стороной c и четырех площадей прямоугольных треугольников c катетами a и b:

Подставляя (1)-(3) в (4), получим:

\( \small (a+b)^2=с^2+4 \cdot \frac12ab, \)
\( \small a^2+2ab+b^2=с^2+2ab, \)
\( \small a^2+b^2=с^2. \)dok1
img3

Сложив уравнения (5) и (6), получим

Доказательство (Евклид). Пусть задан прямоугольный треугольник ABC с катетами a, b и гипотенузой c (Рис.4). Докажем, что \( \small c^2=a^2+b^2. \)

img4

Достаточно доказать, что площадь квадрата ABFD равна сумме площадей ACLK и BCGJ:

Площадь треугольника ACD по двум сторонам и углу между ними равен:

Учитывая, что \( \small \sin \angle ACH=\sin (90°-\alpha)=\sin \alpha, \) применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ACH:

Подставляя (8) в (7), получим:

Применим теорему синусов для прямоугольного треугольника ABC:

Подставляя (10) в (7), получим:

Учитывая, что \( \small AD=AB, \) получим:

Аналогично можно показать, что

Сложив (13) и (14), получим:

Теорема Пифагора. Примеры и решения

Решение: Для нахождения гипотенузы воспользуемся формулой Пифагора:

Подставляя значения \( \small a \) и \( \small b \) в (15), получим:

img5

Ответ:img6

Решение: Для нахождения неизвестного катета воспользуемся теоремой Пифагора:

Подставляя значения \( \small a \) и \( \small b \) в (16), получим:

img7

Ответ:img8

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector