чему равна сумма квадратов последовательных чисел

Содержание

Калькулятор расчета суммы квадратов/кубов последовательных чисел

Последовательные числа — это члены натурального ряда, идущие друг за другом. Натуральные числа — это числа, которые мы используем для счета предметов. 1, 2, 3, 4 — последовательные элементы натурального ряда.

Числовые последовательности

Последовательность — упорядоченный набор чисел, который образуется по определенному закону. Существует множество самых разных числовых наборов, самым простым и понятным из которых считается натуральный ряд. Первые числа, которые дети учат в начальных классах, это члены натуральной последовательности:

Буквой n обозначается общий член последовательность, а для натурального ряда n считается и законом образования ряда. Закон последовательности — это форма записи принципа, по которому образуются члены ряда. Простой закон n означает, что номер элемента числового набора соответствует его значению. Первый элемент равен 1, второй — 2, десятый — 10. Для последовательности четных чисел, которая задается законом 2n, первый элемент набора будет равен 2, второй — 4, а десятый — 20. Набор нечетных чисел задается формулой 2n – 1, и в этом случай первый член ряда будет равен 1, второй — 3, десятый — 19.

Работа с числовыми наборами и законами их образования позволила математикам вывести формулы для определения сумм последовательных чисел натурального ряда.

Сложение последовательных чисел

Сумма первых n последовательных элементов натурального набора выражается следующей формулой:

Данная формула позволяет вычислить сумму натурального ряда от 1 до n. При сложении последовательных чисел не с первого элемента существует несколько хитростей, среди которых:

Рассмотрим пару примеров:

Правильность расчетов при помощи хитростей вы можете проверить на калькуляторе.

Сложение квадратов последовательных чисел

Более сложная задача состоит в суммирования последовательных чисел, возведенных в квадрат. Начало набора квадратов последовательных чисел выглядит как:

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Для подсчета суммы первых пяти членов квадратной ряда 1 + 4 + 9 + 16 + 25, то есть n = 5, расчеты будут выглядеть как:

∑ = (5 × 6 × (2 × 5 + 1)) / 6 = 55

Используя данную формулу легко подсчитать общую сумму квадратов первых n квадратов.

Сложение кубов последовательных чисел

Для нахождения суммы первых n членов кубического ряда используется выражение:

Например, для нахождения значения ряда при n = 5, то есть выражения 1 + 8 + 27 + 64 + 125, расчеты будут выглядеть следующим образом:

∑ = (0,5 × 5 × 6) 2 = 15 2 = 225

При помощи этой простой формулы легко вычислить сумму кубов для сколь угодно большого n.

Наш калькулятор использует выше приведенные формулы для вычисления сумм квадратов или кубов натурального ряда для его первых n членов. Для расчетов вам необходимо выбрать тип калькулятора «Квадраты» или «Кубы», после чего ввести в ячейку количество элементов ряда. В теоретической части мы рассматривали сумму ряда из 5 членов, а при помощи онлайн-калькулятора легко рассчитать большие суммы.

Примеры использования

Рассчитаем сумму квадратов для 250 членов натурального ряда, то есть решим выражение 1 + 4 + 9 + … + 62 500. Для этого введем в форму калькулятора число 250 и получим мгновенный результат, равный 5 239 625.

Теперь вычислим сумму кубов для 250 членов натурального ряда, что будет равнозначно решению выражения 1 + 8 + 27 + … + 15 625 000. Изменим тип калькулятора и выберем «Куб», после чего введем в ячейку программу число 250. Наш результат не заставит себя ждать, и мы увидим 984 390 625.

Заключение

Для подсчета конечных сумм последовательных рядов используются простые формулы, которые, однако, не всегда удобно применять при повседневных расчетах. Используйте нашу программу для мгновенного подсчета значения квадратных и кубических рядов.

Источник

Суммы квадратов, суммы кубов.

Задача

Еще в древнем Египте была известна формула для суммы последовательных натуральных чисел:

Убедиться в том, что эта формула работает, можно, взяв несколько разных значений \(n\) и подставив их в формулу, а для доказательства ее истинности при всех \(n\) сложите первое слагаемое с последним, второе с предпоследним и т. д.

Найдите формулу для суммы а) квадратов \(1^2+2^2+\ldots+n^2\); б) кубов \(1^3+2^3+\ldots+n^3\); в) четвертых степеней \(1^4+2^4+\ldots+n^4\).

Подсказка 1

Начните c эксперимента: вычислите первые несколько сумм (\(1^2+2^2\), \(1^2+2^2+3^2\) и т. д. хотя бы до \(n=5\)). После этого попробуйте найти закономерность.

Подсказка 2

Экспериментальные данные полезно записать в виде таблицы:

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(1^<\phantom1>+\ldots+n^<\phantom1>\) \(1\) \(3\) \(6\) \(10\) \(15\) \(21\) \(28\)
\(1^2+\ldots+n^2\) \(1\) \(5\) \(14\) \(30\) \(55\) \(91\) \(140\)
\(1^3+\ldots+n^3\) \(1\) \(9\) \(36\) \(100\) \(225\) \(441\) \(784\)
\(1^4+\ldots+n^4\) \(1\) \(17\) \(98\) \(354\) \(979\) \(2275\) \(4676\)

Попробуйте найти связь между числами в (одном столбце, но) разных строках.

Подсказка 3

Если у чисел в двух строках постоянно появляются общие делители (например, 10 и 30 делятся на 10, 15 и 55 — на 5, 21 и 91 — на 7 и т. д.), то полезно изучить отношение этих чисел. Что за последовательности получаются? (Удобно добавить в таблицу из второй подсказки соответствующие строки.)

Решение

Как и предлагалось в последней подсказке, изучим отношение первых двух строк.

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\)
\(S_1\) \(1\) \(3\) \(6\) \(10\) \(15\) \(21\) \(28\)
\(S_2\) \(1\) \(5\) \(14\) \(30\) \(55\) \(91\) \(140\)
\(S_2/S_1\) \(1\) \(5/3\) \(7/3\) \(3\) \(11/3\) \(13/3\) \(5\)

Теперь нетрудно заметить закономерность: с увеличением \(n\) на 1 частное увеличивается на \(2/3\), то есть это частное равно \((2n+1)/3\). Вместе с формулой для суммы \(1+2+\ldots+n\) это дает (гипотетический) ответ

С суммами кубов дело обстоит даже проще, чем с квадратами — глядя на таблицу естественно предположить, что \(S_3=S_1^2\), то есть

Заметно сложнее угадать формулу для суммы четвертых степеней. В отличие от предыдущих случаев, у \(S_4(n)\) практически не видно общих делителей с \(S_1(n)\) (кроме двойки). Зато можно заметить, что 14 и 98 делятся на 7, 55 и 979 — на 11. Посмотрим на отношение \(S_4/S_2\):

\(n\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\)
\(S_2\) \(1\) \(5\) \(14\) \(30\) \(55\) \(91\)
\(S_4\) \(1\) \(17\) \(98\) \(354\) \(979\) \(2275\)
\(S_4/S_2\) \(1\) \(17/5\) \(7\) \(59/5\) \(89/5\) \(25\)

Видно, что после домножения этого отношения на 5 получится последовательность целых чисел: 5, 17, 35, 59, 89, 125. Тут уже нельзя сказать, что разность соседних чисел неизменна. Но если выписать эти разности: 12, 18, 24, 30. то закономерность сразу становится видной!

Таким образом, гипотеза состоит в том, что

Итак, стало понятно, какие должны быть ответы, но как их доказать?

И что вообще значит, что какое-то выражение \(P(n)\) дает формулу для суммы \(1^2+\ldots+n^2\)?

Аналогичным образом (говоря формально — по индукции) можно доказать найденные выше формулы для \(S_3(n)\) и \(S_4(n)\).

Послесловие

sums of powers problem 1 703

Геометрическое доказательство формулы для суммы \(1+2+\ldots+n\)

Видимо наиболее наглядный способ вычислить сумму \(1+2+\ldots+n\) — геометрический: об этой сумме можно думать как о треугольном числе, то есть площади «пиксельного» (составленного из единичных квадратиков) равнобедренного прямоугольного «треугольника» со стороной \(n\). Из двух таких треугольников легко составить прямоугольник размера \(n\times(n+1)\), откуда и получается ответ \(n(n+1)/2\) (половина площади прямоугольника).

sums of powers problem 2 300

Пирамидка, составленная из квадратов со стороной \(1\), \(2\), …, \(n\)

Подобным образом можно вычислить и сумму \(1^2+2^2+\ldots+n^2\): ее можно проинтерпретировать как объем пирамиды из кубиков (нижний слой которой состоит из \(n^2\) кубиков, следующий — из \((n-1)^2\) кубиков и т. д.), после чего сложить из шести таких пирамид параллелепипед \(n\times(n+1)\times(2n+1)\). Как это сделать, можно посмотреть на сайте «Математические этюды».

Есть геометрические доказательства и у позволяющего вычислить сумму кубов замечательного равенства \(1^3+2^3+\ldots+n^3=(1+2+\ldots+n)^2\). Одно из них можно посмотреть на youtube-канале Think Twice, см. также подборку «доказательств без слов» в «Кванте» №11 за 2017 год.

Заметим, однако, что формула для суммы четвертых степеней не раскладывается (в отличие от предыдущих) на простые линейные множители. Видимо из-за этого ее не получается найти методами геометрического суммирования и открыта она была примерно на 1000 лет позже, чем формула для суммы кубов (известная уже в античности).

Чтобы продвинуться дальше, полезно задуматься, что мы вообще надеемся увидеть в качестве ответа. Не любое алгебраическое выражение можно разложить на достаточно простые множители, но всегда можно, наоборот, раскрыть все скобки и привести подобные. В изученных нами случаях получаются следующие многочлены от \(n\):

Практически сразу возникает гипотеза, что вообще для любого \(k\) сумма \(1^k+2^k+\ldots+n^k\) равна многочлену от \(n\), который начинается с \(\frac1n^\) (в этом выражении изучавшие математический анализ сразу узнают первообразную того, что мы суммируем), дальше идет \(\frac12n^k\) и члены еще меньших степеней.

С алгебраической точки зрения это очень естественный переход — но самого языка алгебры, «выражений с буквами» и преобразования таких выражений, не существовало до работ Франсуа Виета (конца XVI века)! А до появления такого языка описанную выше гипотезу практически невозможно не то что доказать — сформулировать.

В первой половине XVII века Иоганн Фаульхабер смог найти формулы для сумм \(1^k+2^k+\ldots+n^k\) до \(k=17\) (интересную попытку реконструкции рассуждений Фаульхабера опубликовал Дональд Кнут). Вот несколько из таких формул:

Коэффициенты при \(n^\) и при \(n^\) обсуждались выше. Подумав некоторое время вы наверняка угадаете формулу для коэффициентов при \(n^\) и \(n^\), а быть может, — и для коэффициента при \(n^\).

sums of powers problem 3 300 zoomnw2

Понимать эту запись следует следующим образом. Нужно раскрыть формально в выражении \((n+B)^\) скобки, после чего начать воспринимать \(B^m\) не как степень переменной \(B\), а как \(m\)-е число Бернулли. Например:

Если поверить в эту (крайне странную, на первый взгляд) процедуру, то будет ясно и как вычислять числа Бернулли: при подстановке \(n=1\) получается равенство \(1=\frac<(1+B)^-B^>\), позволяющее найти \(B^k\), если числа Бернулли с меньшими номерами уже известны. В таблице ниже приведены несколько первых чисел Бернулли.

\(m\) \(0\) \(1\) \(2\) \(3\) \(4\) \(5\) \(6\) \(7\) \(8\) \(9\) \(10\) \(11\) \(12\) \(13\) \(14\)
\(B^m\) \(1\) \(\frac12\) \(\frac16\) \(0\) \(-\frac1<30>\) \(0\) \(\frac1<42>\) \(0\) \(-\frac1<30>\) \(0\) \(\frac5<66>\) \(0\) \(-\frac<691><2730>\) \(0\) \(\frac76\)

Замечательным образом те же самые числа Бернулли возникают и в квадратурных формулах для вычисления приближенных значений интегралов, и при вычислении бесконечных сумм типа \(1+\frac14+\frac19+\frac1<16>+\ldots=\frac<\pi^2>6\) (то есть значений знаменитой дзета-функции), и в комбинаторике, и в теории чисел, и в топологии.

Литература по теме:
1) Д. Пойа. Математика и правдоподобные рассуждения (М.: Наука, 1975). — Мало где можно прочитать не о конкретной области математики, а о том, как вообще решать новую для себя математическую задачу. Подсказки и решение выше по существу следуют главе 7 этой замечательной книги.
2) Интервью с академиком И. М. Гельфандом // Квант, 1989, № 1, стр. 3–12. — В приведенном выше решении сделана попытка объяснить, как некоторые формулы для сумм степеней мог бы искать любой человек. Интересующимся математикой может быть интересно прочитать, как такую задачу решал в школьные годы один из выдающихся математиков XX века (собственно про это — небольшой фрагмент на стр. 8–9, но все интервью интересное).
3) В. С. Абрамович. Суммы одинаковых степеней натуральных чисел // Квант, 1973, № 5, стр. 22–25. — Можно прочитать доказательство формулы для суммы степеней (из конца послесловия), использующее, по сути, только бином Ньютона.
4) Г. А. Мерзон. Алгебра, геометрия и анализ сумм степеней последовательных чисел // Математическое просвещение, сер. 3, вып. 21 (2017), стр. 104–118. — Подробная статья о разных взглядах на задачу о суммировании степеней.
5) Р. Грэхем, Д. Кнут, О. Паташник. Конкретная математика (М.: Мир, 1998). — В учебнике, написанном по лекциям знаменитого Дональда Кнута, обсуждается и задача о суммировании степеней, и числа Бернулли.

Источник

Сумма квадратов всех целых чисел

Сумма квадратов чисел — математическое выражение, для которого не существует формулы сокращенного умножения. На практике иногда требуется быстро прикинуть сумму нескольких квадратов, однако без математических хитростей такое выражение подсчитать достаточно трудно.

Формулы сокращенного умножения

Для упрощения расчетов в математике используются специальные формулы сокращенного умножения, которые, по сути, представляют собой частные случаи бинома Ньютона. При помощи таких формул легко вручную подсчитать, например, квадрат суммы или разности вида:

(a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2

в учебниках по математике вы не найдете. Естественно, она есть для комплексных чисел, тех самых, с которыми мы знакомимся в университетском курсе математического анализа. Выглядит эта формула достаточно жутко:

где i – легендарная мнимая единица, которая рассчитывается как квадратный корень из минус единицы.

В школьных примерах продвинутые ребята негласно используют формулу, которая не входит в пантеон формул сокращенного умножения:

a 2 + b 2 = (a + b) 2 − 2ab.

Эта формула идеально подходит только для вычисления суммы квадратов двух целых чисел. Но что делать, если на практике требуется сложить сумму нескольких квадратов или рациональных чисел? Здесь на сцене появляется наша программа.

Наша программа позволяет сложить сколько угодно квадратов целых и рациональных чисел. Для вычислений вам потребуется ввести числа в ячейку, отделив их пробелом. Десятичные дроби записываются и с точкой, и с запятой. Рациональные числа записываются через / (слэш). Итак, вы можете подсчитать сумму нескольких квадратных чисел, но для чего это вообще нужно?

Рассмотрим примеры работы калькулятора

Разложение на квадраты

Зачем складывать квадраты целых чисел? Почему бы не складывать их кубы или 33-е степени? Эти вопросы встают перед каждым математиком, занимающимся теорией чисел. Разложение целых чисел на сумму двух квадратов — классическая задача теории чисел, за которой стоит исследование делимости. В целом задача эта обратна теме данной статьи: вопрос ставится таким образом, что математик должен вычислить, раскладывается ли данное число на сумму двух квадратов. Некоторые ученые идут дальше и пытаются раскладывать числа на суммы квадратов последовательных чисел. Мы же просто попробуем сложить некоторые квадраты и посмотрим, что получится в результате. Итак, введем в калькулятор следующие пары чисел:

Как видите, разные пары чисел дают один и тот же результат. Кроме того, сами числа 25 и 64 являются квадратами 5 и 8 соответственно. Магия теории чисел, которую трудно применить в каких-нибудь бытовых расчетах.

Гипотенуза 5-мерного тетраэдра

Представим еще менее реальную задачу. Пятимерный тетраэдр или 5-мерный симплекс — это обобщение треугольника для пятимерного пространства. Такие причудливые идеи используются в квантовой физике, теории относительности и барицентрическом исчислении, но для решения некоторых задач от вас не потребуется глубоких знаний высшей математики. К примеру, гипотенуза пятимерного тетраэдра рассчитывается по достаточно простой формуле:

где a, b, c, d – стороны симплекса.

Для решения такой задачки достаточно ввести четыре значения в форму онлайн калькулятора и вычислить квадратный корень из результата. Допустим, стороны симплекса в условных единицах имеют следующие значения: 1, 2.3, 3/5, 0,85. Введем этим данные в ячейку через пробел и получим 7,3725. Теперь вычислим квадратный корень и выясним, что гипотенуза пятимерного симплекса равна 2,715.

Заключение

Сумма квадратов нескольких чисел — нестандартная задача, которая вряд ли встретится в обычных бытовых расчетах, как-то вычисление диаметра дачного ограждения или площади пиццы. Для нетривиальных математических расчетов вам пригодится наша программа, которая быстро вычислит сумму квадратов сколько угодно большого количества целых и рациональных чисел.

Источник

8 калькуляторов расчета сумм последовательностей

Последовательность — высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела.

Последовательность

Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого — натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов.

Натуральная последовательность

Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока — это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый — 1, второй — 2, четыреста пятьдесят первый — 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле:

Благодаря этому выражению легко рассчитать конечную сумму натурального ряда от 1 до n. Очевидно, что натуральная последовательность стремится в бесконечность, поэтому, чем больше n, тем больше конечный результат.

Расчет суммы натурального ряда

Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

и суммы натурального ряда, равной 120.

Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно.

Последовательность квадратов

При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора.

Расчет суммы квадратного ряда

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100

а также сумму, равную 385.

Кубический ряд

Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования.

Расчет суммы кубического ряда

Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности:

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197

и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281.

Последовательность нечетных чисел

Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n — 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй — 2×2 − 1 = 3, третий — 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле:

Вычисление суммы нечетных чисел

Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23,

а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно.

Прямоугольные числа

Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат — 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как:

2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110…

С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти.

Обратная последовательность

Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как:

Сумма ряда дробей определяется по формуле:

Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры.

Сумма прямоугольного и обратного ему ряда

Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952.

Ряд произведений трех последовательных чисел

Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как:

6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320

Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность.

Обратная последовательность

Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид:

1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336…

Сумма соответствующего ряда определяется по формуле:

Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры.

Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему

Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250.

Заключение

Сборник калькуляторов позволяет рассчитать сумму восьми наиболее популярных последовательностей. Пользуйтесь нашим сервисом для решения учебных заданий по математике или программированию.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector