чему равна сумма противолежащих углов параллелограмма

Геометрические фигуры. Параллелограмм. Свойства сторон и углов параллелограмма.

Свойства сторон и углов параллелограмма.

У параллелограмма противоположные стороны имеют одинаковую длину, а противоположные углы равную величину.

362 602d6443724cf5a7979f42a6902cd083

Проводим в параллелограмме ABCD диагональ BD.

299 36bb629ad646fd658a327f62ce6ae66c

Рассматриваем треугольники ABD и CDB. Здесь важно правильно указать треугольники.

То есть, ∆ABD= ∆CDB (по стороне и 2-м прилежащим к ней углам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

и равенство соответствующих углов:

Свойство углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне.

Сумма углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне соответствует 180 градусам.

Это свойство выходит из того, что углы, которые прилежат к 1-ой стороне параллелограмма оказываются внутренними односторонними углами при параллельных прямых.

Для параллелограмма ABCD:

Еще некоторые свойства углов параллелограмма:

Биссектрисы углов параллелограмма, которые прилежат к одной стороне, — перпендикулярны.

Биссектрисы противолежащих углов параллелограмма — параллельны.

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.

Источник

Параллелограмм: свойства и признаки

5fb61e1f69344793566921

Определение параллелограмма

Параллелограмм — это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Как выглядит параллелограмм:

Частные случаи параллелограмма: ромб, прямоугольник, квадрат.

Диагонали — отрезки, которые соединяют противоположные вершины.

Свойства диагоналей параллелограмма:

Биссектриса параллелограмма — это отрезок, который соединяет вершину с точкой на одной из двух противоположных сторон и делит угол при вершине пополам.

Свойства биссектрисы параллелограмма:

Как найти площадь параллелограмма:

Периметр параллелограмма — сумма длины и ширины, умноженная на два.

P = 2 × (a + b), где a — ширина, b — высота.

У нас есть отличные дополнительные занятия по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Свойства параллелограмма

Геометрическая фигура — это любое множество точек. У каждой фигуры есть свои свойства, которые отличают их между собой и помогают решать задачи по геометрии в 8 классе.

Рассмотрим основные свойства диагоналей и углов параллелограмма, узнаем чему равна сумма углов параллелограмма и другие особенности этой фигуры. Вот они:

А сейчас докажем теорему, которая основана на первых двух свойствах.

Теорема 1. В параллелограмме противоположные стороны и противоположные углы равны.

5fb622621d2dd301036695

В любом выпуклом четырехугольнике диагонали пересекаются. Все, что мы знаем о точке их пересечения — это то, что она лежит внутри четырехугольника.

Если мы проведем обе диагонали в параллелограмме, точка пересечения разделит их пополам. Убедимся, так ли это:

Теорема доказана. Наше предположение верно.

Признаки параллелограмма

Признаки параллелограмма помогают распознать эту фигуру среди других четырехугольников. Сформулируем три основных признака.

Первый признак параллелограмма. Если в четырехугольнике две противолежащие стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 1 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Чтобы назвать этот четырехугольник параллелограммом, нужно внимательно рассмотреть его стороны.

Сейчас мы видим одну пару параллельных сторон. Нужно доказать, что вторая пара сторон тоже параллельна.

Шаг 2. Проведем диагональ. Получились два треугольника ABC и CDA, которые равны по первому признаку равенства, то есть по по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 3. Из равенства треугольников также следует:

617b9f4689765418270519

Эти углы тоже являются внутренними накрест лежащими для прямых CB и AD. А это как раз и есть признак параллельности прямых. Значит, CB || AD и ABCD — параллелограмм.

Вот так быстро мы доказали первый признак.

Второй признак параллелограмма. Если в четырехугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 2 признак параллелограмма:

Шаг 1. Пусть в четырехугольнике ABCD:

Шаг 2. Проведем диагональ AC и рассмотрим треугольники ABC и CDA:

Из этого следует, что треугольники ABC и CDA равны по третьему признаку, а именно по трем сторонам.

Шаг 3. Из равенства треугольников следует:

А так как эти углы — накрест лежащие при сторонах BC и AD и диагонали AC, значит, стороны BC и AD параллельны.

Эти углы — накрест лежащие при сторонах AB и CD и секущей AC. Поэтому стороны AB и CD тоже параллельны. Значит, четырехугольник ABCD — параллелограмм, ЧТД.

Доказали второй признак.

Третий признак параллелограмма. Если в четырехугольнике диагонали точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник — параллелограмм.

Докажем 3 признак параллелограмма:

Шаг 1. Если диагонали четырехугольника ABCD делятся пополам точкой O, то треугольник AOB равен треугольнику COD по двум сторонам и углу между ними:

Шаг 2. Из равенства треугольников следует, что CD = AB.

Эти стороны параллельны CD || AB, по равенству накрест лежащих углов: ∠1 = ∠2 (следует из равенства треугольников AOB и COD).

617b9f9456b8c272321940

Значит, ABCD является параллелограммом по первому признаку, который мы доказали ранее. Что и требовалось доказать.

Теперь мы знаем свойства параллелограмма и то, что выделяет его среди других четырехугольников — признаки. Так как они совпадают, эти формулировки можно использовать для определения параллелограмма. Но самое распространенное определение все-таки связано с параллельностью противоположных сторон.

Источник

Сумма углов параллелограмма

Рассмотрим задачи в которых известна сумма углов параллелограмма.

Сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360° (как сумма углов выпуклого четырёхугольника).

summa uglov parallelogramma

Для параллелограмма ABCD

Сумма двух углов параллелограмма

Сумма двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Для параллелограмма ABCD

∠A+∠B=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей AB);

∠C+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AD||BC и секущей CD);

∠A+∠D=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей AD);

∠B+∠C=180° (как сумма внутренних односторонних углов при AB||CD и секущей BC).

Если в задаче известна сумма двух углов параллелограмма, отличная от 180°, то речь идёт о сумме противолежащих углов.

Поскольку противолежащие углы параллелограмма равны, то чтобы найти эти углы, достаточно данную сумму разделить пополам.

Найти углы параллелограмма, если сумма двух его углов равна 110°.

Так как сумма углов отлична от 180°, то эти углы — противолежащие. Противолежащие углы параллелограмма равны, поэтому каждый из них равен 110:2=55°.

Так как сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей), то каждый из двух оставшихся углов равен 180-55=125°.

Сумма трёх углов параллелограмма

Если известна сумма трёх углов параллелограмма, то сумма двух из них равна 180° (как сумма внутренних односторонних при параллельных прямых и секущей). Значит, если из суммы трёх углов, вычесть 180°, то получим третий угол.

Можно рассуждать иначе. Так как сумма всех четырёх углов параллелограмма равна 360°, то четвёртый угол равен разности 360° и данной суммы.

Найти углы параллелограмма, если трёх его углов равна 310°.

Сумма двух из трёх углов параллелограмма равна 180°.

Следовательно, третий угол равен 310-180=130°.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равна 180° (как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей). Поэтому каждый из двух оставшихся углов равен 180-130=50°.

Источник

Параллелограмм, его свойства и признаки с примерами решения

Параллелограммом называют четырехугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны.

На рисунке 16 изображен параллелограмм 84872

Рассмотрим свойства параллелограмма.

1. Сумма двух любых соседних углов параллелограмма равна 180°.

84883 CXqs9jk

Действительно, углы 84886и 84888параллелограмма 84891(рис. 16) являются внутренними односторонними углами для параллельных прямых 84894и 84896и секущей 84900Поэтому 84909 NHB0HYoАналогично это свойство можно доказать для любой другой пары соседних углов параллелограмма.

2. Параллелограмм является выпуклым четырехугольником.

3. В параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны.

84923

Доказательство:

Диагональ 84927разбивает параллелограмм 84930на два треугольника 84932и 84934(рис. 17). 84936-их общая сторона, 84940и 84941(как внутренние накрест лежащие углы для каждой из пар параллельных прямых 84946и 84948и 84950и секущей 84951Тогда 84954(по стороне и двум прилежащим углам). Откуда, 84956и 84961(как соответственные элементы равных треугольников). Так как 84965то 84968

4. Периметр параллелограмма 84973

5. Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказательство:

Пусть 84986— точка пересечения диагоналей 84989и 84992параллелограмма 84994(рис. 18). 84997(как противолежащие стороны параллелограмма), 85000(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 85002и 85004и секущих 85007и 85010соответственно). Следовательно, 85012(по стороне и двум прилежащим углам). Тогда 85020 85019(как соответственные стороны равных треугольников).

85021

Пример:

Дано: 85025параллелограмм, 85027— биссектриса угла 85030(рис. 19). Найдите: 85033

Решение:

1) 85040

2) 85044(как внутренние накрест лежащие углы для параллельных прямых 85048и 85049и секущей 85051

3) 85055(по условию), тогда 85060Тогда 85062— равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), 85064

4) 85071

Высотой параллелограмма называют перпендикуляр, проведенный из любой точки стороны параллелограмма к прямой, содержащей противолежащую сторону.

На рисунке 20 85073— высота параллелограмма, 8507485076

Из каждой вершины параллелограмма можно провести две высоты. Например, на рисунке 21 85079и 85081— высоты параллелограмма, проведенные соответственно к сторонам 85083и 85085

85088

Рассмотрим признаки параллелограмма.

Теорема (признаки параллелограмма). Если в четырехугольнике: 1) две стороны параллельны и равны, или 2) противолежащие стороны попарно равны, или 3) диагонали точкой пересечения делятся пополам, или 4) противолежащие углы попарно равны, — то четырехугольник является параллелограммом.

Доказательство:

1) Пусть в четырехугольнике 85103 85105и 85108(рис. 22). Проведем диагональ 85111Рассмотрим 85113и 85118(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 85123и 85125и секущей 85128 85130— общая сторона, 85132(по условию). Следовательно, 85136(по двум сторонам и углу между ними). Тогда 85140(как соответственные). Но это накрест лежащие углы при пересечении прямых 85141и 85142секущей 85147Поэтому 85149(по признаку параллельности прямых). Следовательно, в четырехугольнике 85152противолежащие стороны попарно параллельны. Поэтому 85156-параллелограмм.

2) Пусть в четырехугольнике 85159и 85161(рис. 22). Проведем диагональ 85177Тогда 85179(по трем сторонам). Поэтому 85182и следовательно, 85185(по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 85187 uWukZkaСледовательно, 85190— параллелограмм.

85193

3) Пусть в четырехугольнике 85200диагонали 85202и 85204пересекаются в точке 85206и 85209(рис. 23). 85212(как вертикальные). Поэтому 85215(по двум сторонам и углу между ними). Отсюда 85219Аналогично доказываем, что 85222Принимая во внимание п. 2) этой теоремы, приходим к выводу, что 85224— параллелограмм.

4) Пусть в параллелограмме 85228(рис. 16). Так как 85232то 85236 85239т. е. 85244откуда 85250Но 85253и 85255— внутренние накрест лежащие углы для прямых 85256и 85258и секущей 85260Поэтому 85262

по признаку параллельности прямых). Аналогично доказываем, что 85276Следовательно, 85280— параллелограмм.

Пример:

В четырехугольнике 8528485286Докажите, что 85289— параллелограмм.

Доказательство:

Пусть 85290— данный четырехугольник (рис. 22). Рассмотрим 85296и 85298 85301— их общая сторона, 85304(по условию). Тогда, 85307(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 85311Но тогда в четырехугольнике 85314противолежащие стороны попарно равны, поэтому он является параллелограммом.

О некоторых видах четырехугольников (квадраты, прямоугольники, равнобокие и прямоугольные трапеции) знали еще древнеегипетские и вавилонские математики.

Термин «параллелограмм» греческого происхождения, считают, что он был введен Евклидом (около 300 г. до н. э.). Также известно, что еще раньше о параллелограмме и некоторых его свойствах уже знали ученики школы Пифагора («пифагорейцы»).

В «Началах» Евклида доказана следующая теорема: в параллелограмме противолежащие стороны равны и противолежащие углы равны, а диагональ делит его пополам, но не упоминается о том, что точка пересечения диагоналей параллелограмма делит каждую из них пополам.

Евклид также не упоминает ни о прямоугольнике, ни о ромбе.

Полная теория параллелограммов была разработана лишь в конце Средневековья, а в учебниках она появилась в XVII в. Все теоремы и свойства параллелограмма в этих учебниках основывались на аксиоме параллельности Евклида.

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector