чему равна сумма углов трапеции в градусах

Углы трапеции

Какими могут быть углы трапеции?

0 f0d4e 8226a7f6 orig

Как и все другие четырехугольники и многоугольники, которые изучаются в школьном курсе, трапеция — выпуклый четырехугольник. Поэтому сумма углов трапеции равна 360º (речь идет о внутренних углах).

То есть для трапеции ABCD ∠A+∠B+∠C+∠D=360º.

Поскольку основания трапеции лежат на параллельных прямых, сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180 градусам.

Для трапеции ABCD (рисунок 1)

∠A+∠B=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей AB),

∠C+∠D=180º (как внутренние односторонние при AD ∥ BC и секущей CD).

Следовательно, если один из углов, прилежащих к одной боковой стороне, острый, то другой — тупой. Если один из этих углов прямой, другой — тоже прямой.

Суммы углов, прилежащих к боковым сторонам трапеции, равны:

Могут ли углы трапеции, взятые в последовательном порядке, относиться как

Нет, поскольку 7k+3k≠5k+2k и 7K+2k≠3k+5k.

5k+4k=6k+3k, следовательно, углы трапеции могут быть пропорциональны этим числам.

На рисунке 1 углы прилежащие к основанию AD, оба острые, углы, прилежащие к основанию BC, оба тупые. В паре противолежащих углов ∠A и ∠С, ∠B и ∠D один — острый, другой — тупой.

Существует ли трапеция, у которой два противолежащих угла обо тупые или оба острые?

0 f0d50 25bc82a0 orig

Да, такая трапеция существует.

Например, трапеция, изображенная на рисунке 2.

Существует ли трапеция, у которой два противоположных угла оба прямые? Противоположные углы равны?

Нет, такой трапеции не существует (противоположные углы равны у параллелограмма).

Источник

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

86572

На рисунке 66 изображена трапеция 86578

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как 86603то 86606(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично 86607

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 86638— высота трапеции 86640

86662

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции 86683Проведем высоты трапеции 86689и 86691из вершин ее тупых углов 86694и 86707(рис. 70). Получили прямоугольник 86700Поэтому 86704

86713

2) 86725(по катету и гипотенузе). Поэтому 86727 rg9ggh3

3) Также 86731Но 86735поэтому 86740и 86745Следовательно, 86747

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

88365

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. 88370(как углы при основании равнобокой трапеции), 88373— общая сторона треугольников 88376и 88378Поэтому 88375(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 88381

Пример:

88387— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции 88390 v0G1fAsс основаниями 88391и 88401(рис. 71). Докажите, что 88404

Доказательство:

88407(доказано выше). Поэтому 88409По признаку равнобедренного треугольника 88412— равнобедренный. Поэтому 88413Поскольку 88416и 88418то 88421(так как 88423).

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в 88426углы при большем основании 88428равны (рис. 70), то есть 88430Проведем высоты 88431и 88432они равны.

2) Тогда 88433(по катету и противолежащему углу). Следовательно, 88437Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть 89838— данная трапеция, 89844— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что 89847 aFIqQpj 89848и 89852

89860

1) Проведем луч 89866до его пересечения с лучом 89869Пусть 89870— точка их пересечения. Тогда 89873(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 89886и 89879и секущей 89880(как вертикальные), 89889(по условию). Следовательно, 89891(по стороне и двум прилежащим углам), откуда 89893 89897(как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку 89901то 89903— средняя линия треугольника 89904Тогда, по свойству средней линии треугольника, 89906а значит, 89907Но так как 89909то 89910

3) Кроме того, 89911

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть 89914— средняя линия трапеции 89916— точка пересечения 89919и 89920— точка пересечения 89923и 89926(рис. 110). Пусть 89928Докажем, что 89931

89934

1) Так как 89936и 89940то, по теореме Фалеса, 89941-середина 89942— середина 89943Поэтому 89946— средняя линия треугольника 8994889951— средняя линия треугольника 89953

Тогда 89956

2) 89959— средняя линия трапеции, поэтому 89964

3) 89966

Пример:

Решение:

Пусть 89978— данная трапеция, 89980— ее средняя линия, 89985(рис. 111).

89989

1) Обозначим 89987Тогда

89993

2) 89999(по условию). 90002(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 90008и 90010и секущей 90012Поэтому 90016Следовательно, 90019— равнобедренный, у которого 90024(по признаку равнобедренного треугольника). Но 90026(по условию), значит, 90028

3) Учитывая, что 90034получим уравнение: 90042откуда 90043

4) Тогда 90046

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector