чему равна сумма углов треугольника в радианах

Перевод градусов в радианы и обратно: формулы, примеры

Углы измеряются в градусах или в радианах. Важно понимать связь между этими единицами измерения. Понимание этой связи позволяет оперировать углами и осуществлять переход от градусов к радианам и обратно. В данной статье выведем формулу для перевода градусов в радианы и радианов в градусы, а также разберем несколько примеров из практики.

Связь между градусами и радианами

Связь градусов с радианами

Связь между радианами и градусами выражается формулой

Формулы перевода радианов в градусы и наоборот

Из формулы, полученной выше, можно вывести другие формулы для перевода углов из радианов в градусы и из градуов в радианы.

Выразим один радиан в градусах. Для этого разделим левую и правую части радиуса на пи.

Также можно выразить один градус в радианах.

Можно произвести приблизтельные вычисления величин угла в радианах и наоборот. Для этого возьмем значения числа π с точностью до десятитысячных и подставим в полученные формулы.

Значит, в одном радиане примерно 57 градусов

Один градус содержит 0,0175 радиана.

Формула перевода радианов в градусы

Чтобы перевести угол из радианов в градусы, нужно значение угла в радианах умножить на 180 и разделить на пи.

Примеры перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Пример 1. Перевод из радианов в градусы

Применим формулу перехода от радианов к градусам и получим:

Аналогично можно получить формулу перевода из градусов в радианы.

Формула перевода из градусов в радианы

y ° = y · π 180 р а д

Переведем 47 градусов в радианы.

Согласно формуле, умножим 47 на пи и разделим на 180.

Источник

Радианы и градусы онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно перевести радианы в градусы и наоборот. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Радианы и градусы − теория, примеры и решения

Определение 1. 1 радиан − это величина центрального угла окружности радиуса R, которая опирается на дугу длины R.

Определение 2. 1 радиан − это угловая величина дуги, длина которой равна радиусу.

img1

Из геометрии известно, что угловая величина не зависит от радиуса окружности. Поэтому мы будем рассматривать окружности радиусом R=1. При R=1 формула, определяющая длину окружности имеет вид

Поскольку длина окружности (при R=1) равна 2π, то совершив один полный оборот мы получим угол в 2π радиан. Но этот угол равен 360°. Тогда имеем

Из уравнения (1) следует:

Mы получили формулы, определяющие всязь между градусом и радианом. Запись «радиан» обычно опускают, но подразумевают. Например можно записать:

img4

В тригонометрии угловая величина может быть любым, даже отрицательным.

Пусть задана прямоугольная система координат xOy. Рассмотрим окружность радиусом 1 с центром в начале координат и пусть заданы векторы img6 img7(Рис.2.).

img5

Поворот вектора img8против часовой стрелки назовем положительным направлением, а по часовой стрелке − отрицательным. На рисунке Рис.2 вектор img9получится поворотом вектора img8в положительном направлении на 90° Это эквивалентно img12радианам. Вектор img10получен поворотом вектора img8в положительном направлении на 135°, что эквивалентно img13радианам.

Можно продолжить поворот и получить углы больше 180°. На Рис.2 вектор img11получен поворотом вектора img8в положительном направлении на 315° или на img14радиан. Еще раз напомним что img14− это длина дуги, которая рисует конец вектора img8продвигаясь до точки D.

img15

Рассмотрим, теперь поворот вектора img8в отрицательном направлении, т.е. в направлении по часовой стрелке (Рис.4).

img18

Вектор img9получен поворотом вектора img8по отрицательному направлению на −45° или на img21радиан. Вектор img10получен поворотом вектора img8по отрицательному направлению на −135° или на img21радиан и т.д.

Наконец можем отметить, что для любого действительного числа α существует единственный угол, радианная мера которого равна α радиан и этот угол отложен от начального вектора img8в положительном направлении, при α≥0 и в отрицательном направлении, при α≤0. При α=0, этот угол равен нулю.

Таким образом, для любого угла его меру α (радиан) можно записать в виде

img23

где k-некоторое целое число, а img24(радиан) удовлетворяет следующему неравенствуimg25.

Пример 1. Радианная мера угла равна 51. Найти градусную меру этого угла.

img26
img27 1img27 2
img28

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 42.085° в положительном направлении и поворотом еще на 8 полных оборотов в положительном направлении.

img30
img31img31 1
img32

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 123.211° в отрицательном направлении и поворотом еще на 3 полных оборотов в отрицательном направлении.

Пример 3. Градусная мера угла равна 457°. Найти радианную меру этого угла.

img33
img34
img35

Этот угол получается поворотом единичного вектора, лежащего на оси Ox на 1.653 радиан в положительном направлении и поворотом еще на 1 полный оборот (img36) в положительном направлении.

Источник

Чему равна сумма углов треугольника в радианах

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно «не очень. »
И для тех, кто «очень даже. » )

В предыдущем уроке мы освоили отсчёт углов на тригонометрическом круге. Узнали, как отсчитывать положительные и отрицательные углы. Осознали, как нарисовать угол больше 360 градусов. Пришла пора разобраться с измерением углов. Особенно с числом «Пи», которое так и норовит запутать нас в хитрых заданиях, да.

Градусная мера угла.

К градусам мы как-то привыкли. Геометрию худо-бедно проходили. Да и в жизни частенько встречаемся с фразой «повернул на 180 градусов», например. Градус, короче, штука простая.

Да? Ответьте мне тогда, что такое градус? Что, не получается с ходу? То-то.

Где-то в то же время, в Древнем Египте мучились другим вопросом. Во сколько раз длина окружности больше длины её диаметра? И так измеряли, и этак. Всё получалось немного больше трёх. Но как-то лохмато получалось, неровно. Но они, египтяне не виноваты. После них ещё веков 35 мучились. Пока окончательно не доказали, что как бы мелко не нарезать окружность на равные кусочки, из таких кусочков составить ровно длину диаметра нельзя. В принципе нельзя. Ну, во сколько раз окружность больше диаметра установили, конечно. Примерно. В 3,1415926. раз.

Для практического применения принято запоминать всего две цифры после запятой. Запоминаем:

1

Раз уж мы поняли, что длина окружности больше диаметра в «Пи» раз, имеет смысл запомнить формулу длины окружности:

2

В геометрии пригодится.

Для общего образования добавлю, что число «Пи» сидит не только в геометрии. В самых различных разделах математики, а особенно в теории вероятности, это число возникает постоянно! Само по себе. Вне наших желаний. Вот так.

Радианная мера угла.

Будем считать, что этот малюсенький угол имеет величину 1 градус:

Маленький такой угол, почти и нет его. Наводим курсор на картинку (или коснёмся картинки на планшете) и видим примерно один радиан. L = R

Один радиан много больше одного градуса. А во сколько раз?

Смотрим следующую картинку. На которой я нарисовал полукруг. Развёрнутый угол размером, естественно, в 180°.

А теперь я нарежу этот полукруг радианами! Наводим курсор на картинку и видим, что в 180° укладывается 3 с хвостиком радиана.

Кто угадает, чему равен этот хвостик!?

Действительно, в 180° градусах укладывается 3,1415926. радиан. Как вы сами понимаете, всё время писать 3,1415926. неудобно. Поэтому вместо этого бесконечного числа всегда пишут просто:

7

А вот в Интернете число

7

Вот теперь совершенно осмысленно можно записать приближённое равенство:

8

Или точное равенство:

9

10

Это соотношение полезно запомнить В одном радиане примерно 60°. В тригонометрии очень часто приходится прикидывать, оценивать ситуацию. Вот тут это знание очень помогает.

11

Или, более экзотическое выражение:

12

Обратный перевод чуть сложнее. Но не сильно. Если угол дан в градусах, мы должны сообразить, чему равен один градус в радианах, и умножить это число на количество градусов. Чему равен 1° в радианах?

13

Вот и всё. Умножаем число градусов на это значение и получаем угол в радианах. Например:

14

15

16

17

Это из серии слегка нестандартных вопросов, которые могут и в ступор вогнать.

18

19

Осталось сравнить эти два синуса. Что. забыли, как? С помощью тригонометрического круга, конечно! Рисуем круг, рисуем примерные углы в 60° и 1,05°. Смотрим, какие синусы у этих углов. Короче, всё, как в конце темы про тригонометрический круг расписано. На круге (даже самом кривом!) будет чётко видно, что sin60° существенно больше, чем sin1,05°.

Совершенно аналогично поступим и с косинусами. На круге нарисуем углы примерно 4 градуса и 4 радиана (не забыли, чему примерно равен 1 радиан?). Круг всё и скажет! Конечно, cos4 меньше cos4°.

Потренируемся в обращении с мерами угла.

Переведите эти углы из градусной меры в радианную:

360°; 30°; 90°; 270°; 45°; 0°; 180°; 60°

У вас должны получиться такие значения в радианах (в другом порядке!)

0 20 7 21 22
23 24 25

Я, между прочим, специально выделил ответы в две строчки. Ну-ка, сообразим, что за углы в первой строчке? Хоть в градусах, хоть в радианах?

А пока продолжим тренировку. Переведите эти углы из радианной меры в градусную:

26 27 28 29 30 31 32 33 34

У вас должны получиться такие результаты (в беспорядке):

210°; 150°; 135°; 120°; 330°; 315°; 300°; 240°; 225°.

1. В какую четверть попадают углы:

2. В какую четверть попадают углы:

Тоже без проблем? Ну, смотрите. )

3. Сможете разместить по четвертям углы:

35

Смогли? Ну вы даёте..)

4. На какие оси попадёт уголок:

36

37

5. В какую четверть попадают углы:

38

И это получилось!? Ну, тогда я прям не знаю. )

6. Определить, в какую четверть попадают углы:

1, 2, 3 и 20 радианов.

Ответ дам только на последний вопрос (он слегка хитрый) последнего задания. Угол в 20 радианов попадёт в первую четверть.

Остальные ответы не дам не из жадности.) Просто, если вы не решили чего-то, сомневаетесь в результате, или на задание №4 потратили больше 10 секунд, вы слабо ориентируетесь в круге. Это будет вашей проблемой во всей тригонометрии. Лучше от неё (проблемы, а не тригонометрии!)) избавиться сразу. Это можно сделать в теме: Практическая работа с тригонометрическим кругом в разделе 555.

Там рассказано, как просто и правильно решать такие задания. Ну и эти задания решены, разумеется. И четвёртое задание решено за 10 секунд. Да так решено, что любой сможет!

Если Вам нравится этот сайт.

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

А вот здесь можно познакомиться с функциями и производными.

Источник

Как перевести градусы в радианы

Градусы в радианы

Краткое описание

Угол — это два луча, выходящие из одной точки. Эта точка называется вершиной. Взяв за единицу измерения некий конкретный угол, можно определить величину любого угла, выяснив, сколько раз в нем укладывается такой единичный угол. При измерении угла исходят из двух его свойств:

Если ясно, о чем идет речь, вместо «величина угла» говорят просто «угол».

Равные углы с вершиной в центре окружности будут создавать на ней дуги одинаковой длины. Их сумма будет равняться сумме стягиваемых ими дуг. Поэтому единицы измерения углов можно задавать, указывая, какую часть окружности составляет соответствующая дуга.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В чем можно измерять угол

Наиболее распространены две единицы измерения:

Существуют еще такие единицы измерения, как град, равный 1/100 прямого угла, оборот, равный полному кругу, тысячная — \(\frac1<2\mathrm\pi\;\times\;1000>\) и румб — 1/32 полной окружности.

Связь между градусами и радианами

Мера угла

1/60 градуса — минута, обозначаемая знаком ‘. Секунду обозначают знаком », она составляет 1/3600 доли.

Формула соотношения

Длина дуги, высекаемой углом в a радиан на окружности радиуса R, вычисляется умножением a на R, а для единичной окружности длина дуги и величина угла совпадают.

Таким образом, связь радиан и градусов можно выразить формулой

Формулы перевода

Градусы в радианы

Осуществить переход от градусов к радианам можно по формуле

Радианы в градусы

Таблица перевода градусов в радианы

Соотношение двух систем измерения на окружности можно наглядно увидеть на схеме:

1ff475 i gradusy na okruzhnosti 1602139403

Но на практике, чтобы преобразовать одну величину измерения в другую, удобнее пользоваться таблицей:

244c1b radianov i gradusov 1602139432

Примеры расчета градусов и минут в радианы

Пример 1

Перевести 35 градусов в радианы.

Решение

Согласно формуле, нам нужно 35 умножить на число пи и разделить на 180.

Чтобы выполнить перевод минут и секунд, нужно сначала перевести их в градусы.

Пример 2

Решение

Воспользуемся формулой, подставив найденное значение:

Пример 3

Источник

Перевод градусов в радианы и обратно, формулы, примеры.

В этой статье мы установим связь между основными единицами измерения углов – градусами и радианами. Эта связь нам в итоге позволит осуществлять перевод градусов в радианы и обратно. Чтобы эти процессы не вызывали затруднений, мы получим формулу перевода градусов в радианы и формулу перехода от радианов к градусам, после чего подробно разберем решения примеров.

Навигация по странице.

Связь между градусами и радианами

Связь между градусами и радианами будет установлена, если будет известна и градусная и радианная мера какого-нибудь угла (с градусной и радианной мерой угла можно ознакомиться в разделе измерение углов).

Формулы перевода градусов в радианы и радианов в градусы

Из равенства вида 003, которое мы получили в предыдущем пункте, легко выводятся формулы перевода радианов в градусы и градусов в радианы.

Чтобы удовлетворить свое любопытство, вычислим приближенную величину угла в один радиан в градусах и величину угла в один градус в радианах. Для этого возьмем значение числа пи с точностью до десятитысячных, подставим его в формулы 004и 006, и проведем вычисления. Имеем 007и 008. Итак, один радиан приближенно равен 57 градусам, а один градус – 0,0175 радиана.

Наконец, от полученных соотношений 004и 006перейдем к формулам перевода радианов в градусы и наоборот, а также рассмотрим примеры применения этих формул.

Формула перевода радианов в градусы имеет вид: 009. Таким образом, если известна величина угла в радианах, то умножив ее на 180 и разделив на пи, получим величину этого угла в градусах.

Дан угол в 3,2 радиана. Какова мера этого угла в градусах?

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector