чему равна сумма вероятностей двух противоположных событий

Основные формулы теории вероятности

Классическое определение вероятности

Случайное событие – любое событие, которое может произойти, а может и не произойти в результате какого-либо опыта.

Вероятность события р равна отношению числа благоприятных исходов k к числу всевозможных исходов n, т.е.

Формулы сложения и умножения теории вероятности

Событие \bar называется противоположным событию A, если не произошло событие A.

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т.е.

Теорема сложения вероятностей:

«Вероятность суммы двух несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.»

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

Теорема умножения вероятностей

«Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.»

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Источник

Сложение и умножение вероятностей

п.1. Сложение вероятностей несовместных событий

События называют несовместными, если они не могут произойти одновременно в результате одного опыта.

Например:
1) Нельзя одновременно A = «получить 5» и B = «получить 2» на экзамене. События A и B – несовместны.
2) Нельзя одновременно C = «достать туз» и D = «достать шестерку» из колоды карт. События C и D – несовместны.

Если обобщить на любое количество событий:

Например:
Стрелок может попасть в «10» с вероятностью P(10) = 0,3, в «9» – с вероятностью P(9) = 0,2. Значит, попасть в «10 или 9» он может с вероятностью:

P(«10 или 9») = 0,3 + 0,2 = 0,5

п.2. Вероятность противоположного события

Пространство элементарных событий образует полную группу событий.

Например:
Вероятность попадания стрелка в мишень p = 0,8.
Противоположное событие: стрелок не попадёт в мишень. Его вероятность:
q = 1 – p = 0,2.

п.3. Умножение вероятностей независимых событий

Если обобщить на любое количество событий:

Например:
Вероятность попадания стрелка в мишень p = 0,8.
Стрелок делает три выстрела подряд.
1) Какова вероятность, что он попал все три раза?
Каждый выстрел является независимым событием, поэтому вероятность трёх удачных выстрелов подряд:

2) Какова вероятность, что он не попал ни разу?
Вероятность промаха равна q = 1 – p = 0,2.
Вероятность трёх промахов подряд:

3) Какова вероятность, что он попал только один раз?
Стрелок мог попасть при первом выстреле, а затем два раза промахнуться, или при втором выстреле (промахнуться на первом и третьем), или при третьем (промахнувшись два раза поначалу). Сложение и умножение вероятностей даёт итоговую вероятность одного попадания:

4) Какова вероятность, что он промахнулся один раз?
Аналогичные предыдущему пункту рассуждения приводят к такому выражению для вероятности двух попаданий (одного промаха):

Мы получили следующий закон распределения для возможного количества попаданий из трёх выстрелов:

Количество попаданий, X

X = <0; 1; 2; 3>образует полную группу событий. Сумма всех вероятностей:

п.4. Вероятность появления хотя бы одного события

Например:
Студент сдаёт два экзамена.
Вероятность сдать первый экзамен равна p1 = 0,7 второй – p2 = 0,6.
Тогда вероятность сдать хотя бы один экзамен: P = 1 – q1q2 = 1 – 0,3 · 0,4 = 0,88.

п.5. Примеры

Пример 1. Подбрасывают четыре игральных кубика. Какова вероятность, что на каждом из них выпадет нечётное число очков?

Пример 2. На полигоне испытываются три ракеты.
Вероятность успешного испытания для каждой из ракет: p1 = 0,8, p2 = 0,75, p3 = 0,6.
Какова вероятность, что хотя бы одна ракета пройдёт испытания успешно?

Найдём вероятность того, что ни одна из ракет не пройдёт испытаний:

Тогда, искомая вероятность (противоположное событие):

Ответ: 0,98.
Мораль: инвестору нужно показывать сразу несколько сырых проектов.

Пример 3. В системе пожарной сигнализации установлены два независимых датчика. Вероятность срабатывания каждого из датчиков при пожаре: p1 = 0,6; p2 = 0,7. Найдите вероятность того, что при пожаре:
1) сработает ровно один датчик;
2) сработает хотя бы один датчик.

Вероятности отказов: q1 = 1 – p1 = 0,4; q2 = 1 – p2 = 0,3.
1) Событие «сработает ровно один датчик» является суммой двух событий «первый сработал, второй – отказал» или «первый отказал, второй – сработал». Вероятность:

2) Найдем вероятность отказа обоих датчиков:

Событие «сработает хотя бы один датчик» является противоположным отказу обоих датчиков. Вероятность:

Пример 4. У админа в ящике 11 плат, из которых 3 – бракованные.
Наугад берётся 2 платы. Какова вероятность того, что хотя бы одна из них – рабочая?

Найдём вероятность того, что обе выбранные платы – бракованные.
Выбрать 2 платы из 3 бракованных можно \(\mathrm\) способами.
Выбрать 2 платы из общей совокупности можно \(\mathrm^2=\frac<11\cdot 10><1\cdot 2>=55>\) способами.
Вероятность взять обе бракованные платы из ящика: \(\mathrm>=\frac>=\frac<3><55>>\)
Значит, вероятность того, что хотя бы одна плата не будет бракованной (противоположное событие):
\(\mathrm>=1-\frac<3><55>=\frac<52><55>>\).
Ответ: \(\mathrm<\frac<52><55>>\).

Пример 5*. Парадокс дней рождения
В классе учится k человек. Исследуйте вероятность того, что хотя бы у двух одноклассников дни рождения совпадают.

Источник

Содержание:

Основные теоремы теории вероятностей:

Теоремы сложения вероятностей

Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 152362

Доказательство.

Докажем теорему для схемы случаев. Пусть всевозможные исходы опыта сводятся к совокупности случаев, которые можно наглядно изобразить в виде 152365

152425

Теорема 1 (Обобщенная теорема сложения несовместных событий) Вероятность суммы 152439несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий: 152458.

Доказательство (методом математической индукции).

Предположим, что теорема справедлива для 152468несовместного события: 152473, т.е. справедливо равенство: 152533. Докажем, что теорема будет справедлива для 152537несовместных событий.

Обозначим 152543.

Имеем 152549 152553несовместного события теорема доказана) = 152564. (что и треб. доказать)

Следствие 1. Если события 152570образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице: 152576.

Доказательство.

Т.к. события несовместные, то к ним применима обобщенная теорема сложения:

152633, (что и треб, доказать).

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице: 152637 2J2PtN9

Доказательство.

События А, 152642— противоположные, т.е. по определению образуют полную группу несовместных событий, тогда по следствию 1, 152645.

152654.

В формулировке таких задач встречаются слова «хотя бы», «не менее», «по крайней мере» и др.

Пример:

Из колоды карт (36) наудачу вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение.

1 способ (по теореме 1′).

152677.

Т.к. события несовместны, то по теореме 1′: 152681.

Найдем отдельно вероятности событий.

152687

2 способ (по следствию 2).

Событие 152690 PIihe4P= <из 3 вынутых карт не окажется ни одного туза>.

152693

Теорема 2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих

событий без вероятности их произведения (совместного осуществления): 152699

Доказательство (геометрическое)

152703

События отождествляют с множествами. Два раза накладываем «лепесток» друг на друга, поэтому и отнимаем его. (что и треб. доказать)

Теорема 2 ( Обобщенная теорема сложения совместных событий).

Вероятность суммы 152707совместных событий равна 152710, где суммы распространяются на различные значения индексов.

Для трех совместных событий теорема запишется в виде:

152714

Доказательство для трех событий (геометрическое):

152719

События отождествляют с множествами (см. рис.). (что и треб. доказать)

Замечание. Аналогичную формулу можно написать для произведения совместных событий:

152724

152728152730

Пример:

Для поражения самолета необходимо, чтобы были поражены оба двигателя (события 152731и 152733) или была поражена кабина пилота (событие 152736). Требуется выразить вероятность поражения самолета (событие А) через вероятности событий 152740.

Решение.

152745Т.к. события совместны, то по теореме 2 следует, что

152749(по замечанию) =152754152755152760.

Теоремы умножения вероятностей

Определение 21. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет.

Определение 22. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Примеры:

3) В урне 2 белых и 1 черный шар. Двое Таня и Ваня вынимают из урны по одному шару. Зависимы или независимы события: А = <появление белого шара у Тани>, В = <появление белого шара у Вани>?

Решение.

Найдем вероятности событий. 152774до известия о событии В. После известия о событии В данная вероятность 152777. Следовательно, А и В зависимые.

Определение 23. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Определение 24. Несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.

Определение 25. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается 152788.

В Примере 3): 152792.

Условие независимости события А от события В: 152796

Условие зависимости события А от события В: 152797

Теорема 3. Вероятность произведения двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

152801

Доказательство.

Докажем для схемы урн истинность тождества формулы.

Пусть всевозможные исходы опыта сводятся к 152804случаям, которые изобразим в виде точек:

Тогда, вероятности данных событий равны: 152826, 152831.

152838

Вычислим условную вероятность 152843, т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место. Если известно, что А произошло, то из ранее возможных 152804случаев остаются возможными только те, которые благоприятствовали событию А. Из них 152818случаев благоприятны событию В, следовательно, 152854, т.е.

152874— истинно, т.к. 152900— истинное тождество. (что и треб, доказать).

Замечание 1. При применении теоремы вполне безразлично, какое из событий А или В считать первым, а какое вторым, т.е. теорему можно записать в виде: 152906

Замечание 2. В общем случае при 152915условная вероятность выражается формулой: 152919

Следствие 1. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.

Замечание 3. Зависимость и независимость событий всегда взаимны.

Замечание 4. Условные вероятности обладают всеми свойствами, присущими обычным вероятностям:

1. 152930,

2. если наступление события В исключает возможность осуществления А, т.е. 152933, то 152935если событие В ведет к обязательному осуществлению А, т.е. 152939, то 152943.

3. Если 152946— несовместные события, т.е. 152949, то 152951.

4. 152955.

Замечание 5. Если А и В независимы, то независимы также события 152960.

Теорема 3. ( Обобщенная теорема умножения зависимых событий).

Вероятность произведения нескольких зависимых событий равна произведению вероятностей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляется при условии, что всс предыдущие имели место:

152965.

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий: 158583.

Теорема 4. ( Обобщенная теорема умножения независимых событий).

Вероятность произведения нескольких независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

158606.

Пример:

Из колоды карт последовательно вынуты две карты. Найти: а) вероятность того, что вторая карта окажется тузом (неизвестно, какая карта была вынута вначале), б) вероятность того, что вторая карта будет тузом, если первоначально тоже был вынут туз.

Решение.

Или можно было найти эту вероятность, используя формулу условной вероятности:

158684

Пример:

В урне 2 белых и 3 черных шара. Из урны вынимают подряд 2 шара. Найти вероятность того, что а) оба белые, б) оба белые, если после первого вынимания шар возвращают обратно в урну, и шары перемешиваются.

Решение.

158770.

Теорема 5. Вероятность наступления события А, состоящего в появлении хотя бы одного из событий 158785, независимых в совокупности, равна разности между 1 и произведением вероятностей противоположных событий: 158793

Если все 158798.

Пример:

Производится три выстрела по одной и той же мишени. Вероятности попадания при первом, втором и третьем выстрелах равны соответственно 158800 uhV4BK3= 0,4; 158801= 0,5; 158808= 0,7. Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна пробоина.

Решение.

158818= <попадание в цель при первом выстреле>, 158822 ufUulHt= <попадание в цель при втором выстреле>, 158825= <попадание в цель при третьем выстреле>. 158835.

Перейдем от прямого события к противоположному: 158849= < ни одного попадания в цель>:

158853,

где 158856.

Тогда по теореме 5:

158860(т.к. события независимые, то по теореме 4) = 158864.

Основные формулы для вычисления вероятностей

Ограниченность классического и статистического способов определения вероятности событий, приемлемых, главным образом, для определения вероятности простых событий, приводит к тому, что в подавляющем большинстве случаев ни один из этих способов в чистом виде для решения задачи определения наступления событий применить не удаётся.

Факт сложности или невозможности определения вероятности сложных событий явился стимулом разработки аппарата теории вероятностей, с помощью которого вероятность определяется не прямым, а косвенным методом через вероятность более простых событий.

Сущность косвенного метода определения вероятности сложного события заключается в следующем: вначале анализируют условия испытания и устанавливают события 110989от которых зависит наступление события В, как комбинацию 110992. Определяют вероятности наступления простых событий 110995. После чего определяют вероятности интересующего события В как функцию известных или заданных вероятностей.

110998

Однако определению вероятности наступления сложного события как комбинации более простых событий должны предшествовать твёрдые знания правил применения рассмотренных в лекции теорем сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий.

Этому вопросу и будет посвящён вопрос нашего занятия.

Пример:

Для того что бы вывести из строя артиллерийскую батарею необходимо поразить либо два взвода с орудиями либо центр управления огнём. Используя операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий представим сложное событие D= < поражение артиллерийской батареи>как комбинацию простых событий. Результат проиллюстрируем диаграммой Эйлера-Венна.

Обозначим через событие А = <поражение первого взвода орудий>, через событие В = <поражение второго взвода орудий>, С = <поражение центра управления огнём>. Тогда событие D = <поражение артиллерийской батареи>определится как поражение либо центра управления огнём (событие С) либо одновременно первого взвода орудий (событие А) и второго взвода орудий (событие В), т.е. будет иметь место следующая комбинация событий111013 (рисунок 1).

111017
Для решения такого типа задач необходимо усвоить ряд основных свойств, которыми обладают действия над событиями.

Операции сложения (объединения) и умножения (пересечения) событий обладают рядом свойств, аналогичным свойствам сложения и умножения чисел.

1. Переместительное свойство:

А + В = В + А; 111025

2. Сочетательное свойство:

111026

3. Распределительное свойство:

111031(рисунок 2).

111036

4. Операции прибавления пустого множества и умножения на пустое множество аналогичны операциям над числами, если считать пустое множество за ноль.111040

Ряд операций над событиями уже не обладают свойствами по аналогии с арифметическими действиями, например:

5. 111043 BKK7LpI(рисунок 3)

111062

6. 111081 (рисунок 4).

111065

7. 111077 (рисунок 5)

111086

Основные теоремы теории вероятностей: сложение, умножение, формула полной вероятности

На предыдущей лекции мы говорили о том, что достаточно часто определить вероятность сложного события трудно или вообще невозможно. Для чего научились представлять события, как комбинацию других более простых событий используя понятия суммы (объединения) или произведения (пересечения) событий.

Вспомним пример, рассматриваемый нами на предыдущей лекции:

На сегодняшнем занятии мы ответим на следующий вопрос: как определить вероятность сложного события представляющего собой функцию известных или заданных вероятностей

111147

При определении вероятностей сложных событий пользуются теоремами сложения и умножения вероятностей. Эти теоремы теоретически могут быть доказаны только для таких событий, вероятность появления которых может быть определена классическим способом. Для других событий эти теоремы принимаются как аксиомы. Поэтому мы не будем показывать доказательство этих теорем, а ограничимся только понятием «правила», понимая при этом ряд теорем и следствий из них, с помощью которых определяется вероятность комбинации событий.

Правила сложения вероятностей

Аксиома: Вероятность суммы или наступления хотя бы одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (аддитивность Р):

116779

Данную аксиому иногда называют «теоремой сложения», так как для опытов, сводящихся к «схеме случаев», она может быть доказана.

Эта аксиома легко обращается на любое число несовместных событий: вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

116781

Пример №1

Решение:

Обозначим интересующее нас событие через А = <попадание в танк>, тогда 116787= <попадание в башню танка>, 116788= <попадание в корпус танка>, 116789=<попадание в ходовую часть>.

116791

А так как события 116793 QOd3ZgSнесовместные (наступление одного из них исключает появление другого), то вероятность наступления события А определится как:

116794

Вывод: полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 325 случаях из 1000 будет получено попадание в танк.

Из данной аксиомы вытекают два важных следствия.

Следствие 1. Если события 116799образуют полную группу несовместных событий 116801, то сумма их вероятностей равна единице.

116803

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

116806

Для совместных событий аксиома примет следующий вид:

Вероятность суммы, или наступление хотя бы одного из двух совместных событий, равна сумме вероятности этих событий без вероятности произведения этих событий:

116808

Справедливость этого тождества наглядно следует из его геометрической интерпретации (рисунок 1).

116812

На диаграмме Эйлера-Венна вероятность наступления событий А (или

Пример №2

Решение: Пусть событие А = <подавление личного состава батареи>, а событие В= <повреждения материальной части>. Тогда одновременное подавление личного состава и повреждение материальной части будут являться совместным наступлением событий А и В или 116831

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,15 (Р(А)=0,15), вероятность наступления события В равна 0,45 (Р(В)=0,45), вероятность совместного наступления события А и В равна 0,25 (Р116834)=0,25).

Требуется найти вероятность события С =<подавления батареи противника>, которое будет заключаться либо в подавлении личного состава батареи, либо в повреждении материальной части либо того и другого, или Р(А+В).

Применив теорему сложения вероятностей, получим:

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 35 случаях из 100 батарея противника будет подавлена, т.е. поражён либо личный состав, либо повреждена техника, либо и то и другое.

Правила умножения вероятностей

Перед рассмотрением правил умножения вероятностей введём ряд новых понятий, которые необходимы для логического понимания производимых над событиями действий.

Событие А называется независимым от события В, если вероятность наступления события А не зависит от того, произошло ли событие В.

Событие А называется зависимым от события В, если вероятность наступления события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

В качестве примеров зависимых событий можно привести следующие:

Пример №3

Раз нам требуется определить вероятность совместного наступления двух зависимых событий, одно из которых может наступить только при том условии, что имело место другое из них, введём понятие условной вероятности события.

Вероятность события В, вычисленная при условии, что имело место другое событие А называется условной вероятностью события В по отношению к событию А (обозначается 116850)).

Теорема: Вероятность произведения или совместного наступления двух любых случайных событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место.

116852

Пример №4

Вероятность попадания в танк при одном выстреле равна 0,8; вероятность поражения экипажа танка при попадании в танк равна 0,7. Определить вероятность поражения экипажа танка при одном выстреле.

Решение:

Пусть событие А = <попадание в танк при одном выстреле>, а событие В = <поражение экипажа танка>. Интересующее нас событие С = <поражение экипажа танка при одном выстреле>будет иметь место только в том случае, если наступит событие А, при этом наступление события С возможно только тогда, когда одновременно наступят события А и В.

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,8 (Р(А)=0,8); вероятность наступления события В равна 0,7 (Р(В)=0,7).

Требуется найти вероятность поражения экипажа танка при одном выстреле, которая будет являться произведением вероятностей попадания в танк при одном выстреле и поражении экипажа танка при условии что имело место попадание в него, т.е. Р(С)=Р(116860).

Применив теорему умножения вероятностей, получим:

116865

Вывод: полученный результат означает, что при проведении

достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях по одному выстрелу в каждом в среднем в 56 случаях из 100 экипаж танка будет поражён.

Правило умножения вероятностей легко обращается на случай произвольного числа событий:

116868

Из данной теоремы вытекает ряд важных следствий.

Следствие 1. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

116872

Пример №5

Решение:

Вероятность наступления события А по условию задачи равна 0,7 (Р(А)=0,7), вероятность наступления события В равна 0,4 (Р(В)=0,4).

116878

Вывод: полученный результат означает, что при проведении

достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 28 случаях из 100 в цель попадут оба студента.

Зависимость и независимость событий всегда взаимны. Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А. Таким образом, можно уточнить данное ранее определение независимых событий. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого.

Из рассмотренных выше правил сложения и умножения вероятностей вытекает ещё одно очень важное следствие: если противоположное событие распадается на меньшее число вариантов, чем прямое событие, то имеет смысл при вычислении вероятностей переходить к противоположному событию:

116887

Пример №6

Решение:

Обозначим за событие 116893попадание в танк первым орудием с первого выстрела>, за событие116895= <попадание в танк первым орудием со второго выстрела>;В=< попадание в танк вторым орудием>. Тогда интересующее нас событие С= <поражение танка>определится как:

116900

Так как события 116903В несовместны и независимы, то вероятность наступления события С будет равна:

116905

Вывод: полученный результат означает, что при проведении достаточно большого числа испытаний в аналогичных условиях в среднем в 95 случаях из 100, танк будет поражён.

Формула полной вероятности

При изложении третьего вопроса лекции преподаватель на примере поражения движущегося танка обозначает проблему определения вероятности сложного события (давая при этом понятие гипотезы).

После чего преподаватель доводит условие задачи (Пример 7), формулу для вычисления полной вероятности события (без её вывода) и условия её применения.

При постановке задачи и пояснения физической сущности вопроса преподаватель использует оверхэд-проектор и подготовленные слайды.

Решение задачи преподаватель проводит на доске, особое внимание при этом обращая на методику её решения и порядок записи. В заключении решения задачи преподаватель под запись доводит вывод, отражающий физическую сущность полученного результата.

При решении ряда практических задач вычисление вероятности некоторого сложного события можно существенно облегчить, если связать наступление этого события с наступлением единственно возможных и несовместных событий, под которыми понимаются гипотезы о всех возможных исходах испытаний.

Пусть, например, производится выстрел по танку (рисунок 2).

116934

Под гипотезами понимают полную группу единственно возможных несовместных событий, которые могут наступить в результате проведения испытаний.

В условиях нашей задачи гипотезы о возможном исходе стрельбы будут следующие:

Вероятности этих гипотез 116940можно определить и не проводя стрельбу по танку, достаточно, например, провести стрельбу его макету. Далее можно поставить задачу определения условных вероятностей поражения танка при попадании в различные его отсеки, т.е. поставить задачу определения условных вероятностей поражения танка при реализации выбранных гипотез: 116955=; 116957=<при попадании в корпус танка>; Нз= <при попадании в ходовую часть танка>:

Указанные условные вероятности возможно определить опытным путём, проводя полигонные стрельбы по танку.

Пример №7

Известны также вероятности попадания снаряда в каждый из отсеков танка. Вероятность попадания в башню танка равна 0,2. Вероятность попадания в корпус равна 0,3; вероятность попадания в ходовую часть равна 0,1.

Требуется определить вероятность поражения танка при одном выстреле.

Вычислить вероятность наступления интересующего нас события позволяет формула, получившая особое название формулы полной вероятности.

Полная вероятность события равна сумме парных произведений вероятностей каждой из гипотез на отвечающие им условные вероятности наступления этого события.

116972

При определении полной вероятности необходимо следить, чтобы были учтены все гипотезы о возможном исходе испытания, при которых может наступить интересующее нас событие, т.е. гипотезы должны составлять полную группу несовместных событий. Свидетельством полного учёта всех гипотез является выполнение равенства

116981

Если данное равенство не выполняется, то это означает, что учтены не все гипотезы о возможных исходах испытания.

Вернёмся к решению примера.

Решение:

Таким образом, возможные гипотезы об исходах стрельбы:

116994= <попадание в башню танка>;

116997= <попадание в корпус танка>;

116998= <попадание в ходовую часть>.

По условию задачи вероятности гипотез будут равны:

гипотеза 117003= <попадание в корпус танка>— равна 0,3 (Р(117004) = 0,3);

Интересующее нас событие А = <поражение танка>. По условию задачи вероятность поражения танка при реализации гипотез:

117014= <попадание в башню танка>равна 0,8 (Р(А|117015) = 0,8);

117016= <попадание в корпус танка>равна 0,6 (Р(А|117018) = 0,6);

117020= <попадание в ходовую часть>равна 0,5 (Р(А|117021) = 0,5).

Проверим, все ли гипотезы об исходах стрельбы учтены:

117024

117029

Таким образом, вероятность гипотезы 117030= <промах>равна 0,4. (Р|117034) =0,4).

Вероятность поражения танка при реализации гипотезы 117035= <промах>равна 0. (Р(А|117033) = 0).

Применяя формулу полной вероятности для решения задачи получим:

117041

Следовательно, полная вероятность поражения танка при одном выстреле равна

Вывод: Полученный результат означает, что при проведении

достаточно большого числа стрельб в аналогичных условиях в среднем в 39 случаях из 100 танк окажется поражённым.

Формула Байеса, вероятность появления хотя бы одного события

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез 117072с известными вероятностями их наступления 117073Пусть в результате опыта наступило событие А, условные вероятности которого по каждой из гипотез известны, т.е. известны вероятности

117078

Требуется определить какие вероятности имеют гипотезы 117084относительно события А, т.е. условные вероятности117086

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания равна произведению вероятности гипотезы до испытания на соответствующую ей условную вероятность события, которое произошло при испытании, делённому на полную вероятность этого события.

117088

Эта формула называется формулой Байеса.

Доказательство.

По Теореме умножения вероятностей получаем:

117093

Тогда если117095117098

Для нахождения вероятности Р(А) используем формулу полной вероятности.

117101

Если до испытания все гипотезы равновероятны с вероятностью117122, то формула Байеса примет вид:
117124

Пример №8

Решение: пусть событие 117127— появление прибора, собранного специалистом высшей квалификации; событие 117130— появление прибора, собранного специалистом средней квалификации. Вероятности этих событий равны соответственно 117134

Пусть событие А означает появление надёжного прибора. По условию примера вероятность события А при условии, что появится прибор, собранный специалистом высшей квалификации, 117139= 0,9. Аналогично вероятность появления надёжного прибора при условии, что появится прибор, собранный специалистом средней квалификации, 117141= 0,8.

Искомая вероятность появления прибора, собранного специалистом высшей квалификации, т.е. события 117143при условии, что появилось событие А, определяется по формуле

117146

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector