чему равна сумма вероятностей событий образующих полную группу

Теорема сложения вероятностей

Содержание:

Рассмотрим различные типы групп событий.

Несовместные события

Определение 4. Суммой двух событий Аи В называют событие С = А +В, которое заключается в наступлении либо события Л, либо события В, либо событий А и В одновременно.

Это определение напоминает определение суммы множеств*, что используется в теоретико-множественном подходе в теории вероятностей. Примеры суммы событий: произведены два выстрела, и события Аи В — попадания при первом и втором выстрелах соответственно; тогда А 4- В — попадание либо при первом выстреле, либо при втором, либо при обоих выстрелах. Если события А и В несовместные, то их сумма — это событие, состоящее в наступлении какого-либо одного из этих событий.

Аналогично определяется сумма нескольких событий, состоящая в наступлении хотя бы одного из этих событий.

Теорема 1.1. Вероятность появления какого-либо из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

43987

Следствие 1.1. Вероятность появления какого-либо из нескольких попарно несовместных событий равна сумме их вероятностей:

43989

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теории вероятности:

Пример 1.

Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 4 концентрические зоны. Вероятности попадания в эти зоны соответственно равны 0,4; 0,3; 0,2 и 0,1. Найти вероятность попадания либо в первую, либо во вторую зону.

Решение. Пусть событие А — попадание в первую зону мишени, а событие В — попадание во вторую зону мишени. Эти события несовместны, поэтому применимы теорема 1.1 и формула (1.7) сложения вероятностей. Искомая вероятность

43991

Полная группа событий

Теорема 1.2. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице:

43994

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2.

На складе готовой продукции находятся изделия, среди которых 5% нестандартных. Найти вероятность того, что при выдаче изделия со склада оно будет стандартным.

Решение:

Вероятность получения нестандартного изделия равна 0,05; события выдачи стандартного и нестандартного изделия образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна единице, и тогда искомая вероятность равна 0,95.

Противоположные события

Определение 5. Два единственно возможных события, образующих полную группу, называются противоположными.

Если событие обозначено через А, то противоположное ему событие обозначается через 44039. Из теоремы 1.2 следует, что

44040

Например, если при стрельбе по мишени попадание — это событие А, то событие 44043— это промах; сумма их вероятностей равна единице — при выстреле обязательно будет либо попадание, либо промах. То же имеет место и при подбрасывании монеты: обязательно выпадет либо орел, либо решка.

Пример 3.

В магазине имеется 10 телевизоров, из которых 2 неисправных. Найти вероятность того, что среди наугад взятых трех телевизоров будет хотя бы один неисправный.

Решение:

События «среди взятых телевизоров нет ни одного неисправного» и «есть хотя бы один неисправный» — противоположные. Первое из них обозначим через А, а второе — через 44045. Общее число способов, которыми можно взять 3 изделия из 10, равно 44047Число исправных телевизоров равно 8, число способов выборки из них трех изделий равно 44049так что вероятность 44050Искомая вероятность определяется из формулы (1.10):

44052

Предположим, что из этих случаев т благоприятны событию А, а 44057—событию В. Тогда

44055

Так как события А и В несовместны, то нет таких случаев, которые благоприятны и А, и В вместе. Следовательно, событию А В благоприятны 44062случаев и

44063

Подставляя полученные выражения в формулу (3.2.1), получим тождество. Теорема доказана.

Обобщим теорему сложения на случай трех событий.

Обозначая событие 44066буквой D и присоединяя к сумме еще одно событие С, легко доказать, что

44064

Очевидно, методом полной индукции можно обобщить теорему сложения на произвольное число несовместных событий. Действительно, предположим, что она справедлива для 44075событий:

44068

и докажем, что она будет справедлива для 44073событий:

44069

44070

44077

Но так как для п событий мы считаем теорему уже доказанной, то

44079откуда

44081что и требовалось доказать.

Таким образом, теорема сложения вероятностей применима к любому числу несовместных событий. Ее удобно записать в виде:

44083

Отметим следствия, вытекающие из теоремы сложения вероятностей.

Следствие 1. Если события 44085образуют, полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна единице.

44087

Доказательство. Так как события 44092образуют полную группу, то появление хотя бы одного из них — достоверное событие:

44093

Так как 44094— несовместные события, то к ним приме-

нима теорема сложения вероятностей

44097

44099

что и требовалось доказать.

Перед тем как вывести второе следствие теоремы сложения, определим понятие о «противоположных событиях».

Противоположными событиями называются два несовместных события, образующих полную группу.

Событие, противоположное событию А, принято обозначать А.

Примеры противоположных событий.

1) 44108—попадание при выстреле,

44105— промах при выстреле;

2) 44114— выпадение герба при бросании монеты,

44112— выпадение цифры при бросании монеты;

3) 44116— безотказная работа всех элементов технической системы,

44120— отказ хотя бы одного элемента;

4) 44123— обнаружение не менее двух бракованных изделий в контрольной партии,

44127— обнаружение не более одного бракованного изделия.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

44104

Это следствие есть частный случай следствия 1. Оно выделено особо ввиду его большой важности в практическом применении теории вероятностей. На практике весьма часто оказывается легче вычислить вероятность противоположного события 44134, чем вероятность прямого события А. В этих случаях вычисляют Р(А) и находят 44136

Рассмотрим несколько примеров с решением на применение теоремы сложения и со следствий.

Пример 4.

В лотерее 1000 билетов; из них на один билет падает выигрыш 500 руб., на 10 билетов — выигрыши по 100 руб., на 50 билетов — выигрыши по 20 руб.. на 100 билетов — выигрыши но 5 руб., остальные билеты невыигрышные. Некто покупает один билет. Найти вероятность выиграть не менее 20 руб.

Решение:

44140

44142

По теореме слбжеиия вероятностей

44144

Пример 5.

Решение:

Рассмотрим события: 44153

44147

44149

Так как при сбрасывании одной бомбы события 44157 44159несовместны, то

44163

Пример 6.

Круговая мишень (рис. 3.2.1) состоит из трех зон: /, II и III. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле 0,15, во вторую 0,23, в третью 0,17. Найти вероятность промаха.

Решение:

Обозначим А —промах,

44166—попадание.

44168

где 44171— попадание соответственно в первую, вторую и третью зоны

44175, откуда

44177

Как уже указывалось, теорема сложения вероятностей (3.2.1) справедпива ттько для несовместных событий. В случае, когда события А и В совместны» вероятность суммы этих событий выражается формулой

44179

В справедливости формулы (3.2.3) можно наглядно убедиться рассматривая рис. 3.2.2.

44186

Аналогично вероятность суммы трех совместных событий вычисляется по формуле

44188

Справедливость этой формулы также наглядно следует из геометрической интерпретации (рис. 3.2.3).

Методом полной индукции можно доказать общую формулу для вероятности суммы любого числа совместных событий: 44190

где суммы распространяются на различные значения индексов 44192 44193и т. д.

Формула (3.2.4) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.

Аналогичную формулу можно написать для произведения событий. Действительно, из рис. 3.2.2 непосредственно ясно, что

44194

Из рис. 3.2.3 видно, что

44196

Общая формула, выражающая вероятность произведения прокз-вольного числа событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д., имеет вил;

44255

Формулы типа (3.2.4) и (3.2.7) находят практическое применение при преобразовании различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает пользоваться только суммами, а в других только произведениями событий: для преобразования одних в другие и служат подобные формулы.

Пример 7.

Техническое устройство состоит из трех агрегатов: двух агрегатов первого типа — 44273—и одного агрегата второго типа —В. Агрегаты 44275дублируют друг друга: при отказе одного из них происходит автоматическое переключение на второй. Агрегат В не дублирован. Для того чтобы устройство прекратило работу (отказало), нужно, чтобы одновременно отказали оба агрегата 44278или же агрегат В. Таким образом, отказ устройства— событие С — представляется в виде:

44259

где 44281—отказ агрегата 44283— отказ агрегата 44285—отказ агрегата В.

Требуется выразить вероятность события С через вероятности событий, содержащих только суммы, а не произведения элементарных событий 4428744288.

Решение:

По формуле (3.2.3) имеем:

44289

44291

44292

Подставляя эти выражения в (3.2.8) и производя сокращения, получим:

44294

36160

83099

Лекции:

Присылайте задания в любое время дня и ночи в ➔ 396373396374

Официальный сайт Брильёновой Натальи Валерьевны преподавателя кафедры информатики и электроники Екатеринбургского государственного института.

Все авторские права на размещённые материалы сохранены за правообладателями этих материалов. Любое коммерческое и/или иное использование кроме предварительного ознакомления материалов сайта natalibrilenova.ru запрещено. Публикация и распространение размещённых материалов не преследует за собой коммерческой и/или любой другой выгоды.

Источник

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

Полная группа событий.

«Принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д. если событие А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события А близка к единице. С другой стороны, непоявление события А означает наступление противоположного события А. Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит

Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошло.

Событие В называют независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Pa(B)=P(B); Pb(A)=P(A). Два события называют независимыми, если вероятность их совмещений равна произведению вероятностей этих событий; иначе события «зависимые». «Несколько событий называются независимыми», если каждые два из них независимы. Например события А,В,С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. «Теорема умножения для независимых событий» имеет вид P(AB)=P(A)*P(B), т.е. вероятность появления двух Теорема умножения вероятностей независимых событий

image003 image004 image005 image006где image007 image008— вероятность события B при условии, что произошло событие A.

независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Формула полной вероятности.

ТЕОРЕМА. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В1В1(А) + Р(В2В2(А) + … Р(ВпВп(А)

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1, В2, …, Вп. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, …, ВпА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) + … Р(ВпА). (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Формула Бернули.

Полученную формулу называют формулой Бернулли.

Локальная теорема Лапласа.

Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, то вероятность Рn(k) того, что событие А появиться в n испытаниях ровно k раз, приближенно равна значению функции

image010

при x =(k – np)/ image011.

Вероятность того, что событие А появится в n независимых испытаниях ровно k раз, приближенно равна

Pn(k) ≈˜ image012где, x=(k-np)/ image013.

Серднее квадратическое отклонение. Ср.квадрат-е отклонение суммы взаимно независимых случайных величин.Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины.Начальные и центральные теоретические моменты.

Определение. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называется квадратный корень из дисперсии.

Теорема. Среднее квадратичное отклонение суммы конечного числа взаимно независимых случайных величин равно квадратному корню из суммы квадратов средних квадратических отклонений этих величин.

Среднее квадратичное отклонение принято обозначать греческой буквой сигма σ: image041

Если число измерений примерно равно 10, то истинное значение величины может отличаться от среднего арифметического не более чем на величину среднего квадратичного отклонения σ. Отклонения, большие, чем σ, возможны лишь в исключительных случаях, число которых составляет около 0.5% всех возможных случаев.

Если число измерений значительно больше десяти, то максимальное практически возможное отклонение истинной величины от среднего арифметического будет меньше чем σ. Отклонение не превысит значения: ▲=3 σ/ √n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в image042 раз меньше среднего квадратического отклонения каждой величины:( Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных и Дисперсия среднего арифметического)

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. С увеличением n величина image043 почти перестает быть случайной и приближается к постоянной М. Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений. Начальные и центральные теоретические моменты.

Начальным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины X k : image044

Центральным моментом порядка k случайной величины X называют математическое ожидание величины (X—M(X)) k :

image045Моменты, рассмотренные здесь, называют

теоретическими. В отличие от теоретических моментов, моменты которые вычисляются по данным наблюдений, называют эмпирическими.

Полная группа событий.

«Принцип практической невозможности маловероятных событий»: если случайное событие имеет очень малую вероятность, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие не наступит.

Достаточно малую вероятность, при которой (в данной определенной задаче) событие можно считать практически невозможным, называют уровнем значимости. На практике обычно принимают уровни значимости, заключенные между 0,01 и 0,05. Уровень значимости, равный 0,01, называют однопроцентным; уровень значимости, равный 0,02, называют двухпроцентным, и т. д. если событие А имеет вероятность, близкую к нулю, то вероятность противоположного события А близка к единице. С другой стороны, непоявление события А означает наступление противоположного события А. Таким образом, из принципа невозможности маловероятных событий вытекает следующее важное для приложений следствие: если случайное событие имеет вероятность, очень близкую к единице, то практически можно считать, что в единичном испытании это событие наступит

Теорема умножения вероятностей: Вероятность совместного появления двух со­бытий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже произошло.

Событие В называют независимым от события А, если появления события А не изменяет вероятности события В, т.е. если условная вероятность события В равна его безусловной вероятности: Pa(B)=P(B); Pb(A)=P(A). Два события называют независимыми, если вероятность их совмещений равна произведению вероятностей этих событий; иначе события «зависимые». «Несколько событий называются независимыми», если каждые два из них независимы. Например события А,В,С попарно независимы, если независимы события А и В, А и С, В и С. «Теорема умножения для независимых событий» имеет вид P(AB)=P(A)*P(B), т.е. вероятность появления двух Теорема умножения вероятностей независимых событий

image003 image004 image005 image006где image007 image008— вероятность события B при условии, что произошло событие A.

независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

Теорема сложения вероятностей совместных событий. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса. Теорема сложения вероятностей совместных событий.

ТЕОРЕМА. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Доказательство. Поскольку события А и В, по условию, совместны, то событие А+В наступит, если наступит одно из следующих трех несовместных событий: АВ, АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий,

Событие А произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: АВ или АВ. По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем

Аналогично имеем Р(В) = Р(АВ) + Р(АВ).

Подставив (**) и (***) в (*), окончательно получим

Формула полной вероятности.

ТЕОРЕМА. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий В1, В2, …, Вп, образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события А: Р(А) = Р(В1В1(А) + Р(В2В2(А) + … Р(ВпВп(А)

Эту формулу называют «формулой полной вероятности».

Доказательство. По условию, событие А может наступить, если наступит одно из несовместных событий В1, В2, …, Вп. Другими словами, появление события А означает осуществление одного, безразлично какого, из несовместных событий В1А, В2А, …, ВпА. Пользуясь для вычисления вероятности события А теоремой сложения, получим Р(А) = Р(В1А) + Р(В2А) + … Р(ВпА). (*)

Остается вычислить каждое из слагаемых. По теореме умножения вероятностей зависимых событий имеем

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector