чему равна сумма внешних углов выпуклого 123123 угольника

Содержание

Сумма внешних углов

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

0 1a5dbe 49061bd7 origНапример, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

quicklatex.com 3369f07673707f80cd2ac377f025a6e8 l3

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

0 1a5dc0 86de74e9 orig

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

0 1a5dbf 5eb22cdf orig

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

0 1a5dbd e3fcde2c origДано :

quicklatex.com cef013abb92e2ab191704c7a7def167a l3

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

quicklatex.com 29c1c4b1300b047adc501f460195b801 l3

quicklatex.com 6501d03d5f97e195c1f0c9b09a258888 l3

quicklatex.com 3d447720d35ed1b9e108fa95aecbcc23 l3

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Следовательно, сумма всех внешних углов

quicklatex.com 5c71873187af97f77e42d7e13caa0f32 l3

quicklatex.com 4b1693156cae477a784092ad2e7b742d l3

2 Comments

Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

Источник

Сумма углов многоугольника

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

0 1a56cf 3389f882 orig

quicklatex.com cef013abb92e2ab191704c7a7def167a l3

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 30440c1db733d1eb47f59a1294651cb4 l3

0 1a56d0 aaa0e0e6 orig1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 380f6fdbdcd7c6310695d053581c5e05 l3

quicklatex.com 007cc46a22383814c5fc02f265c2c405 l3

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

quicklatex.com f3fc0f5dc7ce80e05be1ae81dff6c0b8 l3

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 70a9d621bf0729a815ad739cef919706 l3

0 1a5b9f ee07d1c2 orig2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 96412063a1c14de77848709bb129f10e l3

Что и требовалось доказать.

4 Comments

Нужно либо поменять название статьи, либо добавить в текст информацию о невыпуклых многоугольниках.
А так сайт оказался полезным, спасибо!

Ольга, спасибо. Подкорректирую в июне.

Очень хороший сайт! Давно им пользуюсь. Спасибо за Ваш труд!

Источник

Сумма внешних углов выпуклого н угольника

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Определение

Ломаной линией, или короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

200

Виды ломаной

201 202 203 204

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

205

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

206

Свойство

Доказательство

207

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.

208 209

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

210

Свойства выпуклого многоугольника

Доказательство

Докажем первое свойство

212

Докажем второе свойство

211

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

213

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Доказательство

214

Теорема (о сумме углов n-угольника)

021

Доказательство

Следствие

021 1

Доказательство

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^circcdot(n-1-2)=S-angle A_2+angle 1+angle 2=S-angle A_2+180^circ-angle A_1A_2A_3=S+180^circ-(angle A_1A_2A_3+angle A_2)=S+180^circ-360^circ$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

011

Доказательство

Сумма всех внешних углов равна:

$sumlimits_ (180^circ-angle A_n)=ncdot180^circ — sumlimits_ A_n=ncdot180^circ — 180^circcdot(n-2)=360^circ$.

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

0 1a5dbe 49061bd7 origНапример, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

quicklatex.com 3369f07673707f80cd2ac377f025a6e8 l3

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

0 1a5dc0 86de74e9 orig

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

0 1a5dbf 5eb22cdf orig

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

0 1a5dbd e3fcde2c origДано :

quicklatex.com cef013abb92e2ab191704c7a7def167a l3

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

quicklatex.com 29c1c4b1300b047adc501f460195b801 l3

quicklatex.com 6501d03d5f97e195c1f0c9b09a258888 l3

quicklatex.com 3d447720d35ed1b9e108fa95aecbcc23 l3

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Следовательно, сумма всех внешних углов

quicklatex.com 5c71873187af97f77e42d7e13caa0f32 l3

quicklatex.com 4b1693156cae477a784092ad2e7b742d l3

2 Comments

Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

Теоретические материалы

3. Параллельные прямые

3.6. Сумма углов многоугольника

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется его диагональю.

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из прямых, полученных неограниченным продолжением каждой его стороны, не рассекает его на части.

Многоугольник на рисунке ниже не является выпуклым: каждая из прямых 6b8f0029ce30f9b4d5fe0def33875511и f4a5f77dbc261a64bd853d05f8410365рассекает многоугольник 45ee641fd64377f20e32332123144c4eна две части. В школе изучают свойства только выпуклых многоугольников.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1сторон, равна f1aa6517018089e0712555fce84cad8a.

Если какую-то точку 61cd070009e8fd8516f1336cbc61aa30внутри выпуклого многоугольника соединить со всеми вершинами, то получится столько же треугольников, сколько сторон у многоугольника dfcad661aa78f0bfc5e3fe700c491289. Сумма внутренних углов всех bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270треугольников равна dd6a30f46319dfd87f99091a590a8696, а сумма углов данного многоугольника меньше на 5e7faad279fbe376caa8e325a3e0a6fe(полный угол при вершине 2a75f2c7d6635e570d78938c5cd7d26a) и равна 3f0a40e91ea41205761722a6a92eaccb.

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, равна 2e089c7618acf7b2647ad6865a1936e6.

Каждый внешний угол многоугольника вместе со смежным внутренним составляет 043007c6e9c962c3726d72e9b02baa57(например, углы при вершине 3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da). Таких пар углов будет 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1, поэтому сумма всех внутренних углов и внешних (взятых по одному при каждой вершине) составляет dd6a30f46319dfd87f99091a590a8696. Вычтя из нее сумму внутренних углов, получим искомую сумму внешних углов: d676f353d95df414e98a43a985f84511(она не зависит от числа сторон 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1).

no photo

Сумма внешних углов выпуклого н угольника

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Содержание

Определение

Ломаной линией, или короче, ломаной, называется конечная последовательность отрезков, такая, что один из концов первого отрезка служит концом второго, другой конец второго отрезка служит концом третьего и т.д. При этом соседние отрезки не лежат на одной прямой. Эти отрезки называют звеньями ломаной.

200

Виды ломаной

201 202 203 204

Определение

Простая замкнутая ломаная вместе с частью плоскости, ограниченной ею, называется многоугольником.

205

Замечание

В каждой вершине многоугольника его стороны задают некоторый угол многоугольника. Он может быть как меньше развернутого, так и больше развернутого.

206

Свойство

Доказательство

207

Определение

Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, содержащей его сторону. Если многоугольник не является выпуклым, его называют невыпуклым.

208 209

Замечание

Выпуклый многоугольник является пересечением полуплоскостей, ограниченных прямыми, которые содержат стороны многоугольника.

210

Свойства выпуклого многоугольника

Доказательство

Докажем первое свойство

212

Докажем второе свойство

211

Определение

Диагональю многоугольника называется отрезок, соединяющий его несоседние вершины.

213

Теорема (о количестве диагоналей n-угольника)

Доказательство

214

Теорема (о сумме углов n-угольника)

021

Доказательство

Следствие

021 1

Доказательство

Сумма углов этого многоугольника равна:

$180^circcdot(n-1-2)=S-angle A_2+angle 1+angle 2=S-angle A_2+180^circ-angle A_1A_2A_3=S+180^circ-(angle A_1A_2A_3+angle A_2)=S+180^circ-360^circ$.

Если у исходного многоугольника более одного невыпуклого угла, то описанную выше операцию можно проделать с каждым таким углом, что и приведет к доказываемому утверждению.

Теорема (о сумме внешних углов выпуклого n-угольника)

011

Доказательство

Сумма всех внешних углов равна:

$sumlimits_ (180^circ-angle A_n)=ncdot180^circ — sumlimits_ A_n=ncdot180^circ — 180^circcdot(n-2)=360^circ$.

Что такое внешний угол многоугольника? Сколько внешних углов у многоугольника? Чему равна сумма внешних углов многоугольника?

Внешним углом многоугольника называется угол, смежный с его внутренним.углом.

0 1a5dbe 49061bd7 origНапример, угол 1 — внешний угол при вершине A1 многоугольника

quicklatex.com 3369f07673707f80cd2ac377f025a6e8 l3

так как он смежный с его внутренним углом A2A1An.

0 1a5dc0 86de74e9 orig

Угол 2 также является смежным углу A2A1An.

А значит, ∠2 — внешний угол при вершине A1.

0 1a5dbf 5eb22cdf orig

Таким образом, при каждой вершине многоугольника есть два равных между собой внешних угла.

У n-угольника n вершин, значит, всего внешних углов у n-угольника 2n.

Поскольку оба внешних угла при одной вершине равны, говоря о сумме внешних углов n-угольника, рассматривают внешние углы, взятые по одному при каждой вершине.

(о сумме внешних углов выпуклого многоугольника)

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника, взятых по одному при каждой вершине, равна 360º.

0 1a5dbd e3fcde2c origДано :

quicklatex.com cef013abb92e2ab191704c7a7def167a l3

∠1, ∠2, ∠3, …, ∠n — внешние углы при вершинах

quicklatex.com 29c1c4b1300b047adc501f460195b801 l3

quicklatex.com 6501d03d5f97e195c1f0c9b09a258888 l3

quicklatex.com 3d447720d35ed1b9e108fa95aecbcc23 l3

Аналогично, сумма внешнего и внутреннего углов при каждой вершине n — угольника равна 180º.

Значит, сумма всех внутренних углов многоугольника и всех его внешних углов (взятых по одному при каждой вершине) равна 180º∙n.

Следовательно, сумма всех внешних углов

quicklatex.com 5c71873187af97f77e42d7e13caa0f32 l3

quicklatex.com 4b1693156cae477a784092ad2e7b742d l3

2 Comments

Вроде бы ошибка в написании условия.Вы хотите доказать,что сумма внешних углов = 180 градусов.

Теоретические материалы

3. Параллельные прямые

3.6. Сумма углов многоугольника

Отрезок, соединяющий две несоседние вершины многоугольника, называется его диагональю.

Многоугольник называется выпуклым, если ни одна из прямых, полученных неограниченным продолжением каждой его стороны, не рассекает его на части.

Многоугольник на рисунке ниже не является выпуклым: каждая из прямых 6b8f0029ce30f9b4d5fe0def33875511и f4a5f77dbc261a64bd853d05f8410365рассекает многоугольник 45ee641fd64377f20e32332123144c4eна две части. В школе изучают свойства только выпуклых многоугольников.

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника, имеющего 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1сторон, равна f1aa6517018089e0712555fce84cad8a.

Если какую-то точку 61cd070009e8fd8516f1336cbc61aa30внутри выпуклого многоугольника соединить со всеми вершинами, то получится столько же треугольников, сколько сторон у многоугольника dfcad661aa78f0bfc5e3fe700c491289. Сумма внутренних углов всех bfbdd7d089006253c9a32f7c78c15270треугольников равна dd6a30f46319dfd87f99091a590a8696, а сумма углов данного многоугольника меньше на 5e7faad279fbe376caa8e325a3e0a6fe(полный угол при вершине 2a75f2c7d6635e570d78938c5cd7d26a) и равна 3f0a40e91ea41205761722a6a92eaccb.

Сумма внешних углов многоугольника, взятых по одному при каждой его вершине, равна 2e089c7618acf7b2647ad6865a1936e6.

Каждый внешний угол многоугольника вместе со смежным внутренним составляет 043007c6e9c962c3726d72e9b02baa57(например, углы при вершине 3a3ea00cfc35332cedf6e5e9a32e94da). Таких пар углов будет 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1, поэтому сумма всех внутренних углов и внешних (взятых по одному при каждой вершине) составляет dd6a30f46319dfd87f99091a590a8696. Вычтя из нее сумму внутренних углов, получим искомую сумму внешних углов: d676f353d95df414e98a43a985f84511(она не зависит от числа сторон 7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1).

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector