чему равна сумма внутренних углов выпуклого многоугольника

Содержание

Углы многоугольника

Внутренний угол многоугольника — это угол, образованный двумя смежными сторонами многоугольника. Например, ∠ABC является внутренним углом.

ugly mnog

Внешний угол многоугольника — это угол, образованный одной стороной многоугольника и продолжением другой стороны. Например, ∠LBC является внешним углом.

ugly mnog2

Количество углов многоугольника всегда равно количеству его сторон. Это относится и к внутренним углам и к внешним. Несмотря на то, что для каждой вершины многоугольника можно построить два равных внешних угла, из них всегда принимается во внимание только один. Следовательно, чтобы найти количество углов любого многоугольника, надо посчитать количество его сторон.

Сумма внутренних углов

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна произведению 180° и количеству сторон без двух.

где s — это сумма углов, 2d — два прямых угла (то есть 2 · 90 = 180°), а n — количество сторон.

Если мы проведём из вершины A многоугольника ABCDEF все возможные диагонали, то разделим его на треугольники, количество которых будет на два меньше, чем сторон многоугольника:

ugly mnog4

Следовательно, сумма углов многоугольника будет равна сумме углов всех получившихся треугольников. Так как сумма углов каждого треугольника равна 180° (2d), то сумма углов всех треугольников будет равна произведению 2d на их количество:

Из этой формулы следует, что сумма внутренних углов является постоянной величиной и зависит от количества сторон многоугольника.

Сумма внешних углов

Сумма внешних углов выпуклого многоугольника равна 360° (или 4d).

где s — это сумма внешних углов, 4d — четыре прямых угла (то есть 4 · 90 = 360°).

Сумма внешнего и внутреннего угла при каждой вершине многоугольника равна 180° (2d), так как они являются смежными углами. Например, ∠1 и ∠2:

ugly mnog3

Источник

Сумма углов многоугольника

(о сумме углов выпуклого многоугольника)

Сумма внутренних углов выпуклого многоугольника равна 180º(n-2).

(n — количество сторон многоугольника).

Другой вариант формулировки этой теоремы:

Сумма внутренних углов выпуклого n — угольника равна 180º(n-2).

0 1a56cf 3389f882 orig

quicklatex.com cef013abb92e2ab191704c7a7def167a l3

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 30440c1db733d1eb47f59a1294651cb4 l3

0 1a56d0 aaa0e0e6 orig1-й способ

Обозначим внутри многоугольника произвольную точку O.

Соединим точку O с вершинами многоугольника.

Получили n треугольников.

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 380f6fdbdcd7c6310695d053581c5e05 l3

quicklatex.com 007cc46a22383814c5fc02f265c2c405 l3

Сумма внутренних углов многоугольника равна сумме углов всех треугольников без углов при вершине O.

Так как сумма углов при вершине O составляет 360º

quicklatex.com f3fc0f5dc7ce80e05be1ae81dff6c0b8 l3

то сумма углов многоугольника равна сумме углов n треугольников минус 360º.

Таким образом, искомая сумма углов n угольника равна

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 70a9d621bf0729a815ad739cef919706 l3

0 1a5b9f ee07d1c2 orig2-й способ

Соединим вершину A1 со всеми остальными вершинами многоугольника. Получили n-2 треугольника.

Сумма всех углов этих треугольников равна сумме углов многоугольника.

Сумма углов углов каждого из треугольников равна 180º.

Следовательно, сумма углов многоугольника

quicklatex.com 0ef2ce40a1faa0f7bf5b9c73bf5f4ac7 l3

quicklatex.com 96412063a1c14de77848709bb129f10e l3

Что и требовалось доказать.

4 Comments

Нужно либо поменять название статьи, либо добавить в текст информацию о невыпуклых многоугольниках.
А так сайт оказался полезным, спасибо!

Ольга, спасибо. Подкорректирую в июне.

Очень хороший сайт! Давно им пользуюсь. Спасибо за Ваш труд!

Источник

Урок геометрии по теме «Сумма углов многоугольника». 9-й класс

Разделы: Математика

Класс: 9

Цель: Вывести формулу для нахождения суммы углов выпуклого многоугольника;

Великий русский ученый, гордость Земли Русской,

Михайло Васильевич Ломоносов, сказал: “ Неусыпный труд препятствия преодолевает”. Я надеюсь, что сегодня на уроке наш с вами труд поможет нам преодолеть все препятствия.

1. Актуализация опорных знаний. (Фронтальный опрос.)

– Сформулируйте определение многоугольника, назовите его основные элементы.
– Определение выпуклого многоугольника.
– Приведите примеры известных вам четырехугольников, которые являются выпуклыми многоугольниками.
– Можно ли треугольник считать выпуклым многоугольником?
– Что такое внешний угол выпуклого многоугольника?

2. Постановка проблемы (выход на тему урока).

Устная фронтальная работа.

Найдите сумму углов данных многоугольников (Слайды 5–6)

– треугольника; прямоугольника:
– трапеции; произвольного семиугольника.

В случае затруднения учитель задает вопросы:

– Сформулируйте определение трапеции.
– Назовите основания трапеции.
– Что можно сказать о паре углов А и Д, каким свойством они обладают?
– Можно ли еще назвать на чертеже пару внутренних односторонних улов?
– Смогли вы найти сумму углов семиугольника? Какой возникает вопрос? (Существует ли формула для нахождения суммы углов произвольного многоугольника?)

Итак, ясно, что наших знаний на сегодня не достаточно для решения этой задачи.

Каким образом можно сформулировать тему нашего урока? – Сумма углов выпуклого многоугольника.

3. Решение проблемы. Чтобы ответить на поставленный вопрос, давайте проведем небольшое исследование.

Мы уже знаем теорему о сумме углов треугольника. Можем ли мы ее каким либо образом применить?

– Что для этого надо сделать? (Разбить многоугольник на треугольники.)

– А каким образом многоугольник можно разбить на треугольники? Подумайте над этим, обсудите и предложите свои самые удачные варианты.

Идет работа в группах, каждая группа работает за отдельным компьютером, на котором установлена программа “Geo Gebra”.

По окончании работы учитель выводит на экран результаты работы групп. (Слайд 7)

img1

– Давайте проанализируем предложенные варианты и попробуем выбрать самый оптимальный для нашего исследования.

Определимся с критериями отбора: что мы хотим получить в результате разбиения? (Сумма всех углов построенных треугольников должна быть равна сумме углов многоугольника.)

– Какие варианты можно сразу отбросить? Почему?

(Вариант 1, так как сумма углов всех треугольников не равна сумме углов многоугольника.)

– Какой вариант годиться больше всего? Почему? (Вариант 3.)

Как получили этот вариант? (Провели диагонали из одной вершины многоугольника

чертеж n – количество вершин многоугольника Количество диагоналей, проведенных из одной вершины Количество полученных треугольников
img2 4
img3 5
img4 6
img5 7
n

– Попробуем установить зависимость между количеством вершин многоугольника, количеством диагоналей, которые можно провести из одной вершины и количеством получаемых при этом треугольников.

Каждая группа получает таблицу, которую должны заполнить в процессе исследования.

После обсуждения в группах дети формулируют полученные выводы:
из одной вершины n-угольника можно провести n – 3 диагонали, (так как диагональ нельзя провести к самой выбранной вершине и к двум соседним). При этом получим n – 2 треугольника.

Следовательно, сумма углов выпуклого многоугольника равна 180 0 (n-2).

– Вернемся к предложенным вариантам разбиения многоугольника на треугольники.

Можно ли использовать для доказательства этой теоремы вариант, предложенный на рисунке 4?

– Сколько треугольников получается при таком разбиении? (п штук)
– На сколько отличается сумма углов всех треугольников от суммы углов многоугольника? (На 360 0 )
– Каким образом можно сосчитать сумму углов многоугольника в этом случае?

– Удовлетворяет ли главному требованию, которое мы предъявляли к разбиению, вариант, предложенный на рисунке 2? (Да.)

– Почему не целесообразно его использование для нахождения суммы углов многоугольника? (Тяжелее подсчитать количество получаемых треугольников.)

Ну а теперь вернемся к задаче, которую мы не смогли решить вначале урока.

(Дети устно считают сумму углов семиугольника и еще два аналогичных упражнения.) (Слайд 9 и 10)

4. Применение полученных знаний.

Мы вывели формулу для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника. А теперь поговорим о сумме внешних углов многоугольника, взятых по одной при каждой вершине.

Итак, задача: что больше: сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у выпуклого шестиугольника или у треугольника? (Слайд 11)

img6

Дети высказывают свои предположения. Учитель предлагает провести исследование для решения этого вопроса.

Каждая группа получает задание для самостоятельного решения.

После окончания работы дети сообщают свои результаты, учитель заносит их в таблицу и демонстрирует на экране. (Слайд 12)

img7

Итак, какой вывод можно сделать из полученных результатов? (Сумма внешних углов, взятых по одному при каждой вершине, у любого многоугольника равна 360 0. )

А теперь давайте попробуем доказать этот факт для любого н-угольника.

Если возникают трудности, коллективно обсуждается план доказательства:

1. Обозначить внутренние углы многоугольника через α, β, γ и т.д.
2. Выразить через введенные обозначения градусные меры внешних углов
3. Составить выражение для нахождения суммы внешних углов многоугольника
4. Преобразовать полученное выражение, использовать полученную ранее формулу для суммы внутренних углов многоугольника.

Доказательство записывается на доске:

(180 – α) + (180 – β) + (180 – γ) + …= 180 п – (α+ β +γ + …) = 180 п – 180(п – 2) = 360

Далее демонстрируется видео: как можно проиллюстрировать этот факт с помощью картонной модели. (Слайд 13)

5. Закрепление изученного материала. Решение задач.

В выпуклом многоугольнике три угла по 80 градусов, а остальные – 150 градусов. Сколько углов в выпуклом многоугольнике?

Так как: для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n – 2), то 180(n – 2)=3*80 + x*150, где 3 угла по 80 градусов нам даны по условию задачи, а количество остальных углов нам пока неизвестно, значит, обозначим их количество через x.

Однако из записи в левой части мы определили количество углов многоугольника как n, поскольку из них величины трех углов мы знаем по условию задачи, то очевидно, что x=n-3.

Таким образом, уравнение будет выглядеть так: 180(n – 2) = 240 + 150(n – 3)

Решаем полученное уравнение

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

6. Подведение итогов урока.

Итак, давайте подведем итоги. Сформулируйте свои вопросы для ребят из другой группы по материалам сегодняшнего урока.

Какой вопрос вы считаете наиболее удачным?

Обсудите степень участия каждого члена группы в коллективной работе, назовите самых активных.

Чья работа в группе была самой результативной?

7. Домашнее задание:

В многоугольнике три угла по 113 градусов, а остальные равны между собой и их градусная мера – целое число. Найти количество вершин многоугольника.

2. п.114 стр.169–171, Погорелов А.В. “Геометрия 7–9”.

Источник

Сумма углов n угольника

0e88 00098467 491b1f44

presentation bg

Описание презентации по отдельным слайдам:

Описание слайда:

Сумма углов n-угольника
Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).
Доказательство. Из какой-нибудь вершины выпуклого n-угольника проведем все его диагонали. Тогда n-угольник разобьется на n-2 треугольника. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о, и эти углы составляют углы n-угольника. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Описание слайда:

Второй способ доказательства
Теорема. Сумма углов выпуклого n-угольника равна 180o(n-2).
Доказательство 2. Пусть O какая-нибудь внутренняя точка выпуклого n-угольника A1…An. Соединим ее с вершинами этого многоугольника. Тогда n-угольник разобьется на n треугольников. В каждом треугольнике сумма углов равна 180о. Эти углы составляют углы n-угольника и еще 360о. Следовательно, сумма углов n-угольника равна 180о(n-2).

Описание слайда:

Упражнение 1
Чему равна сумма углов выпуклого: а) 4-угольника; б) 5-угольника; в) 6-угольника?
Ответ: а) 360о;
б) 540о;
в) 720о.

Описание слайда:

Упражнение 2
Чему равен внешний угол правильного: а) 3-угольника; б) 4-угольника; в) 5-угольника; г) 6-угольника?
Ответ: а) 120о;
б) 90о;
в) 72о;
г) 60о.

Описание слайда:
Описание слайда:

Упражнение 4
Чему равны углы правильного: а) треугольника; б) четырехугольника; в) пятиугольника; г) шестиугольника; д) восьмиугольника; е) десятиугольника; ж) двенадцатиугольника?
Ответ: а) 60о;
б) 90о;
в) 108о;
г) 120о;
д) 135о;
е) 144о;
ж) 150о.

Описание слайда:

Упражнение 5
Сумма трех углов выпуклого четырехугольника равна 300о. Найдите четвертый угол.
Ответ: 60о.

Описание слайда:

Упражнение 6
Углы выпуклого четырехугольника пропорциональны числам 1, 2, 3, 4. Найдите их.
Ответ: 36о, 72о, 108o, 144o.

Описание слайда:
Описание слайда:

Упражнение 8
Сумма углов выпуклого многоугольника равна 900o. Сколько у него сторон?
Ответ: 7.

Описание слайда:

Упражнение 9
Сколько сторон имеет правильный многоугольник, если каждый из его внешних углов равен: а) 36o; б) 24o?
Ответ: а) 10;
б) 15.

Описание слайда:

Упражнение 10
Чему равна сумма углов невыпуклого четырехугольника ABCD?
Ответ: 360о.

Описание слайда:

Упражнение 11*
Найдите сумму углов 1, 2, 3, 4, 5 пятиугольной звездочки, изображенной на рисунке.
Ответ: 180о.

Описание слайда:

Упражнение 12*
Какое наибольшее число острых углов может иметь выпуклый n-угольник?
Решение. Так как сумма внешних углов выпуклого многоугольника равны 360о, то у выпуклого многоугольника не может быть более трех тупых углов, следовательно, у него не может быть более трех внутренних острых углов.
Ответ. 3.

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

placeholder

Курс повышения квалификации

Охрана труда

placeholder

Курс профессиональной переподготовки

Библиотечно-библиографические и информационные знания в педагогическом процессе

placeholder

Курс профессиональной переподготовки

Охрана труда

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

также Вы можете выбрать тип материала:

Общая информация

Международная дистанционная олимпиада Осень 2021

Похожие материалы

Цилиндры и цилиндрические поверхности

Введение в логику

Портреты учёных математиков

Прямая пропорциональность

Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда

Пропорциональность величин

Стандартный вид многочлена

Не нашли то что искали?

Воспользуйтесь поиском по нашей базе из
5317283 материала.

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами

Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно

12ca 000988a9 e32712b1

placeholder

Учителям предлагают 1,5 миллиона рублей за переезд в Златоуст

Время чтения: 1 минута

placeholder

Попова предложила изменить школьную программу по биологии

Время чтения: 1 минута

placeholder

На новом «Уроке цифры» школьникам расскажут о разработке игр

Время чтения: 1 минута

placeholder

Российский совет олимпиад школьников намерен усилить требования к олимпиадам

Время чтения: 2 минуты

placeholder

Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов

Время чтения: 2 минуты

placeholder

В Минпросвещения предложили организовать телемосты для школьников России и Узбекистана

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Источник

Многоугольник

Определение 1. Многоугольник − замкнутая ломаная линия.

Объединение многоугольника и ограниченной им части плоскости также называют многоугольником. Поэтому представим другое определение многоугольника:

Определение 2. Многоугольник − это геометрическая фигура, которая является частю плоскости, ограниченная замкнутой ломаной.

Вершины ломаной называются вершинами многоугольника. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника.

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней областью многоугольника, а другая внешней областью многоугольника.

Виды многоугольников

Многоугольник с тремя вершинами называется треугольником, с четыремя вершинами − четырехугольником, с пяти вершинами − пятиугольником, и т.д. Многоугольник с \( \small n \) вершинами называется \( \small n- \)угольником.

img1img2img4img3

На рисунке 1 представлены различные виды многоугольников.

Обозначение многоугольника

Обозначают многоугольник буквами, стоящих при его вершинах. Называют многоугольник чередовав буквы при его вершинах по часовой стрелке или против часовой стрелки. Например, многоугольник на рисунке 2 называют \( \small A_1A_2A_3A_4A_5A_6 \) или \( \small A_6A_5A_4A_3A_2A_1 \).

Соседние вершины многоугольника

Вершины многоугольника называются соседними, если они являются концами одной из его сторон.

img2 a

На рисунке 2 вершины \( \small A_2 \) и \( \small A_3 \) являются соседними, так как они являются концами стороны \( \small A_2A_3. \)

Смежные стороны многоугольника

Стороны многоугольника называются смежными, если они имеют общую вершину.

На рисунке 2 стороны \( \small A_4A_5 \) и \( \small A_5A_6 \) являются смежными, так как они имеют общую вершину \( \small A_5. \)

Простой многоугольник. Самопересекающийся многоугольник

Многоугольник называется простым, если его несмежные стороны не имеют общих точек (внутренних или концевых).

img3 aimg4 a

На рисунке 3 изображен простой многоугольник так как стороны многоугольника не имеют самопересечений. А на рисунке 4 многоугольник не является простым, так как стороны \( \small A_1A_4 \) и \( \small A_2A_3 \) пересекаются. Такой многоугольник называется самопересекающийся многоугольник.

Выпуклый многоугольник

Многоугольник называется выпуклым, если она лежит по одну сторону от прямой, проходящей через любую его сторону.

img5 a

На рисунке 5 многоугольник лежит по одну сторону от прямых \( \small m, \ n, \ l, \ p, \ q, \ r\) проходящих через стороны многоугольника.

img6 a

На рисунке 6 прямая \( \small m\) делит многоугольник на две части, т.е. многоугольник не лежит по одну сторону от прямой \( \small m\). Следовательно многоугольник не является выпуклым.

Правильный многоугольник

Простой многоугольник называется правильным, если все его стороны равны и все углы равны. Например равносторонний треугольник является правильным многоугольником, поскольку все его стороны равны, и все его углы равны 60°. Квадрат является правильным многоугольником, так как все его стороны равны и все его углы равны 90°.

img7 aimg8 a

На рисунке 7 изображен правильный многоугольник (пятиугольник), так как у данного многоугольника все стороны равны и все углы равны. Многоугольник (ромб) на на рисунке 8 не является правильным, так как все стороны многоугольника равны, но все углы многоугольника не равны друг другу. Прямоугольник также не является правильным многоугольником, так как несмотря на то, что все углы прямоугольника равны, но все четыре стороны прямоугольника не равны друг другу.

Звездчатый многоугольник

Самопересекающийся многоугольник, все стороны которого равны и все углы равны, называется звездчатым или звездчато-правильным.

img9 b

На рисунке 9 представлен звездчатый пятиугольник поскольку все углы \( \small A_1, \ A_2, \ A_3, \ A_4, \ A_5 \) равны и равны все стороны: \( \small A_1A_2=A_2A_3=A_3A_4=A_4A_5=A_5A_1. \)

Периметр многоугольника

Сумма всех сторон многоугольника называется периметром многоугольника. Для многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) периметр вычисляется из формулы:

Угол многоугольника

Углом (внутренним углом) многоугольника при данной вершине называется угол между двумя сторонами многоугольника, сходящимися к этой вершине. Если многоугольник выпуклый, то все углы многоугольника меньше 180°. Если же многоугольник невыпуклый, то он имеет внутренний угол больше 180° (угол \( \small A_3 \) на рисунке 2).

Внешний угол многоугольника

Внешним углом многоугольника при данной вершине называется угол смежный внутреннему углу многоугольника при данной вершине.

На рисунке 10 угол 1 является внешним углом данного многоугольника при вершине \( \small E. \)

Диагональ многоугольника. Количество диагоналей

Диагоналями называют отрезки, соединяющие две несоседние вершины многоугольника.

Выведем форулу вычисления количества диагоналей многоугольника. Пусть задан \( \small n \)-угольник. Выберем одну вершину многоугольника и проведем мысленно все отрезки, соединяющие эту вершину с остальными вершинами. Получим \( \small n-1 \) отрезков. Но поскольку две вершины для выбранной вершины являются соседними, а по определнию диагональ − это отрезок соединяющий несоседние вершины, то из \( \small n-1 \) вычтем 2. Получим \( \small n-3 \). Всего \( \small n \) вершин. Следовательно количество вычисленных диагоналей будет \( \small n(n-3). \) Учитывая, что каждый диагональ − это отрезок соединяющий две вершины, то получится, что мы вычислили каждый диагональ дважды. Поэтому полученное число нужно делить на два. Получим количество диагоналей \( \small n- \)мерного многоугольника:

Сумма углов выпуклого многоугольника

Выведем формулу вычисления суммы углов выпуклого многоугольника. Для этого проведем из вершины \( \small A_1 \) все диагноали многоугольника \( \small A_1A_2. A_A_n \) (Рис.11):

img11 b

Количество диагоналей, проведенной из одной вершиы, как выяснили из предыдующего параграфа равно \( \small n-3 \). Следовательно, эти диагонали разделяют многоугольник на \( \small n-3+1=n-2 \) треугольников. Поскольку сумма углов треугольника равна 180°, то получим, что сумма углов выпуклого многоугольника равна: \( \small 180°(n-2). \)

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) выпуклого многоугольника.

Угол правильного многоугольника

Поскольку у правильного многоугольника все углы равны, то используя формулу (1) получим угол правильного многоугольника:

где \( \small n \) −количество сторон (вершин) правильного многоугольника.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector