чему равна сумма всех целых чисел

Сумма всех натуральных чисел: 1 + 2 + 3 + 4 +…

Сумма всех натуральных чисел может быть записана с использованием следующего числового ряда

image loader

Чему равна сумма этого бесконечного ряда? Перед тем, как читать дальше, дайте себе минуту на размышления. Если вы до этого не встречались с подобным рядом, а тема численных рядов в целом не слишком вам близка, то ответ на этот вопрос будет для вас большим сюрпризом.

image loader

Этот, на первый взгляд, совершенно противоречащий интуиции результат, тем не менее может быть строго доказан. Но прежде, чем говорить о доказательстве, нужно сделать отступление и вспомнить основные понятия.

Начнём с того, что «классической» суммой ряда называется предел частичных сумм ряда, если он существует и конечен. Подробности можно найти в википедии и соответствующей литературе. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Например, частичная сумма первых k членов числового ряда 1 + 2 + 3 + 4 +… записывается следующим образом

image loader

Нетрудно понять, что эта сумма неограниченно растёт при стремлении k к бесконечности. Следовательно, исходный ряд является расходящимся и, строго говоря, не имеет суммы. Существует, однако, множество способов присвоить конечное значение расходящимся рядам.

Ряд 1+2+3+4+… далеко не единственный из расходящихся рядов. Возьмём, например, ряд Гранди

image loader

Здесь важно отметить, что методы суммирования не являются трюками, которые придумали математики, чтобы как-то совладать с расходящимися рядами. Если вы примените суммирование по Чезаро или метод Абеля к сходящемуся ряду, то ответ, который дают эти методы, равен классической сумме сходящегося ряда.

image loader

image loader

Где image loaderявляется эта-функцией Дирихле

image loader

image loader
image loader
image loader

Интересно, что этот результат находит своё применение в физике. Например, в теории струн. Обратимся к стр. 22 книги Joseph Polchinski «String Theory»:

image loader

Если для кого-то теория струн не является убедительным примером в силу отсутствия доказательств множества следствий этой теории, то можно также упомянуть, что похожие методы фигурируют в квантовой теории поля при попытке рассчитать эффект Казимира.

Чтобы два раза не ходить, ещё пара интересных примеров с дзета-функцией

image loader
image loader

Для тех, кто захочет получить больше информации по теме отмечу, что написать данную заметку я решил после перевода соответствующей статьи на википедии, где в разделе «Ссылки» вы сможете найти массу дополнительного материала, в основном на английском языке.

Источник

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки

Правила форума

Чему равна сумма всех целых чисел?

no avatar

Последний раз редактировалось granit201z 05.10.2017, 20:58, всего редактировалось 4 раз(а).

97435255674ab198e2e32644a9c8221b82 b9477ea14234215f4d516bad55d011b882 591ff9c1652b7e605ef0190a9713c14082bd830f96de4a67f72843f613827e852c82

97435255674ab198e2e32644a9c8221b82 b9477ea14234215f4d516bad55d011b882 591ff9c1652b7e605ef0190a9713c140821a0cb783ad24c459bd0242e29bbe93f682

с третьей стороны можно получить еще и 1d5ba78bbbafd3226f371146bc34836382

40aae14a35c60c238cc351a033beb64782?

В чем здесь ошибка?

file.php?avatar=44639 1479688844

Последний раз редактировалось Heart-Shaped Glasses 05.10.2017, 21:02, всего редактировалось 1 раз.

no avatar

Последний раз редактировалось granit201z 05.10.2017, 21:15, всего редактировалось 1 раз.

Насколько я понимаю, это ряд

Т.к. сложение на множестве целых чисел коммутативно и ассоциативно, то не должно.

Заслуженный участник
no avatar

Это не ряд, это его сумма. Которую нужно формально определять. А Вы этого не сделали.

Заслуженный участник
no avatar

Последний раз редактировалось arseniiv 05.10.2017, 22:14, всего редактировалось 1 раз.

no avatar

Последний раз редактировалось slu4ayniyProcess 06.10.2017, 00:10, всего редактировалось 2 раз(а).

Если рассматривать сумму целых чисел как сумму ряда:
33297c69a045805ec920b07a73b6769082.
И если опираться на стандартное определение суммы ряда, как предела последовательности частичных сумм ряда. То т.к. это определение дано только для сходящихся рядов, а наш ряд расходится (последовательность частичных сумм расходится), то и понятия суммы для него не определено.

Обоснованно менять местами члены ряда, можно если ряд абсолютно сходится. Наш ряд не сходится абсолютно, поэтому менять местами члены ряда, и утверждать, что сумма нашего начального ряда будет равна сумме какого-нибудь нового ряда, полученного перестановкой членов мы не имеем «законного» права.

Заслуженный участник
no avatar

no avatar

Заслуженный участник
no avatar

file.php?avatar=39929 1348374503

Последний раз редактировалось atlakatl 06.10.2017, 02:52, всего редактировалось 1 раз.

Заслуженный участник
no avatar

Последний раз редактировалось arseniiv 06.10.2017, 06:35, всего редактировалось 2 раз(а).

Возможно, имелось в виду, что ТС об этом всём, скорее всего, отчёта себе не отдаёт. Ну воспримет какой-то ответ как магическую формулу, ну пойдёт дальше спрашивать про сумму всех вещественных чисел, например.

no avatar

Последний раз редактировалось GAA 07.10.2017, 10:00, всего редактировалось 7 раз(а).
Исправлен автор цитаты. Автор сообщения уведомлен в ЛС
file.php?avatar=39929 1348374503

no avatar

Последний раз редактировалось granit201z 06.10.2017, 09:12, всего редактировалось 3 раз(а).

Извиняюсь, что явно не указал какие скобки имел ввиду. А имел ввиду в выражении:

63f2977f4378fd31b2d33c20329f76a182

а потом «в размышлении» сложил все эти члены последовательности:

e88f12bf60efbe0fe28d41b40678d1ee82.

А потом для «простоты восприятия» понарасставил уже вот эти скобки:

b3d91b26b44518fe90db25cdfc937f3e82

Заслуженный участник
no avatar

spacer

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей

Источник

Вопрос ученому: — Я слышал, что сумма всех натуральных чисел равна −1/12. Это какой-то фокус, или это правда?

Ответ пресс-службы МФТИ — Да, такой результат можно получить при помощи приема, называемого разложением функции в ряд.

Вопрос, заданный читателем, достаточно сложный, и потому мы отвечаем на него не обычным для рубрики «Вопрос ученому» текстом на несколько абзацев, а некоторым сильно упрощенным подобием математической статьи.

В научных статьях по математике, где требуется доказать некоторую сложную теорему, рассказ разбивается на несколько частей, и в них могут поочередно доказываться разные вспомогательные утверждения. Мы предполагаем, что читатели знакомы с курсом математики в пределах девяти классов, поэтому заранее просим прощения у тех, кому рассказ покажется слишком простым — выпускники могут сразу обратиться к http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation.

Начнем с разговора о том, как можно сложить все натуральные числа. Натуральные числа — это числа, которые используются для счета цельных предметов — они все целые и неотрицательные. Именно натуральные числа учат дети в первую очередь: 1, 2, 3 и так далее. Сумма всех натуральных чисел будет выражением вида 1+2+3+. = и так до бесконечности.

Ряд натуральных чисел бесконечен, это легко доказать: ведь к сколь угодно большому числу всегда можно прибавить единицу. Или даже умножить это число само на себя, а то и вычислить его факториал — понятно, что получится еще большая величина, которая тоже будет натуральным числом.

Детально все операции с бесконечно большими величинами разбираются в курсе математического анализа, но сейчас для того, чтобы нас поняли еще не сдавшие данный курс, мы несколько упростим суть. Скажем, что бесконечность, к которой прибавили единицу, бесконечность, которую возвели в квадрат или факториал от бесконечности — это все тоже бесконечность. Можно считать, что бесконечность — это такой особый математический объект.

И по всем правилам математического анализа в рамках первого семестра сумма 1+2+3+. +бесконечность — тоже бесконечна. Это легко понять из предыдущего абзаца: если к бесконечности что-то прибавить, она все равно будет бесконечностью.

Однако в 1913 году блестящий индийский математик-самоучка Сриниваса Рамануджан Айенгор придумал способ сложить натуральные числа несколько иным образом. Несмотря на то, что Рамануджан не получал специального образования, его знания не были ограничены сегодняшним школьным курсом — математик знал про существование формулы Эйлера-Маклорена. Так как она играет важную роль в дальнейшем повествовании, о ней придется тоже рассказать подробнее.

Для начала запишем эту формулу:

528cfa20be1e786027351b419de0d844

Как можно видеть, она достаточно сложна. Часть читателей может пропустить этот раздел целиком, часть может прочитать соответствующие учебники или хотя бы статью в Википедии, а для оставшихся мы дадим краткий комментарий. Ключевую роль в формуле играет произвольная функция f(x), которая может быть почти чем угодно, лишь бы у нее нашлось достаточное число производных. Для тех, кто не знаком с этим математическим понятием (и все же решился прочитать написанное тут!), скажем еще проще — график функции не должен быть линией, которая резко ломается в какой-либо точке.

Производная функции, если предельно упростить ее смысл, является величиной, которая показывает то, насколько быстро растет или убывает функция. С геометрической точки зрения производная есть тангенс угла наклона касательной к графику.

Слева в формуле стоит сумма вида «значение f(x) в точке m + значение f(x) в точке m+1 + значение f(x) в точке m+2 и так до точки m+n». При этом числа m и n — натуральные, это надо подчеркнуть особо.

Справа же мы видим несколько слагаемых, и они кажутся весьма громоздкими. Первое (заканчивается на dx) — это интеграл функции от точки m до точки n. Рискуя навлечь на себя гнев всей кафедры математики за примитивность подхода к интегралам, скажем, что это площадь под кривой f(x) на графике от m до n; интегралы очень широко используются в самых разных науках.

На графике «по горизонтальной оси — время, по вертикальной — скорость» интеграл, то есть площадь под кривой, будет равен пройденному пути. На графике «ежемесячные платежи по вертикали, по горизонтали время» интегралом будет сумма, пришедшая на счет за все время.

Третье слагаемое — сумма от чисел Бернулли (B2k), поделенных на факториал удвоенного значения числа k и умноженных на разность производных функции f(x) в точках n и m. Причем, что еще сильнее усложняет дело, тут не просто производная, а производная 2k-1 порядка. То есть все третье слагаемое выглядит так:

Число Бернулли B2 («2» так как в формуле стоит 2k, и мы начинаем складывать с k=1) делим на факториал 2 (это пока просто двойка) и умножаем на разность производных первого порядка (2k-1 при k=1) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B4 («4» так как в формуле стоит 2k, а k теперь равно 2) делим на факториал 4 (1×2х3×4=24) и умножаем на разность производных третьего порядка (2k-1 при k=2) функции f(x) в точках n и m

Число Бернулли B6 (см.выше) делим на факториал 6 (1×2х3×4х5×6=720) и умножаем на разность производных пятого порядка (2k-1 при k=3) функции f(x) в точках n и m

Суммирование продолжается вплоть до k=p. Числа k и p получаются некоторыми произвольными величинами, которые мы можем выбирать по-разному, вместе с m и n — натуральными числами, которыми ограничен рассматриваемый нами участок с функцией f(x). То есть в формуле целых четыре параметра, и это вкупе с произвольностью функции f(x) открывает большой простор для исследований.

Оставшееся скромное R, увы, тут не константа, а тоже довольно громоздкая конструкция, выражаемая через уже упомянутые выше числа Бернулли. Теперь самое время пояснить, что это такое, откуда взялось и почему вообще математики стали рассматривать столь сложные выражения.

Числа Бернулли и разложения в ряд

В математическом анализе есть такое ключевое понятие как разложение в ряд. Это значит, что можно взять какую-то функцию и написать ее не напрямую (например y = sin(x^2) + 1/ln(x) + 3x), а в виде бесконечной суммы множества однотипных слагаемых. Например, многие функции можно представить как сумму степенных функций, умноженных на некоторые коэффициенты — то есть сложной формы график сведется к комбинации линейной, квадратичной, кубической. и так далее — кривых.

В теории обработки электрических сигналов огромную роль играет так называемый ряд Фурье — любую кривую можно разложить в ряд из синусов и косинусов разного периода; такое разложение необходимо для преобразования сигнала с микрофона в последовательность нулей и единиц внутри, скажем, электронной схемы мобильного телефона. Разложения в ряд также позволяют рассматривать неэлементарные функции, а ряд важнейших физических уравнений при решении дает именно выражения в виде ряда, а не в виде какой-то конечной комбинации функций.

В XVII столетии математики стали вплотную заниматься теорией рядов. Несколько позже это позволило физикам эффективно рассчитывать процессы нагрева различных объектов и решать еще множество иных задач, которые мы здесь рассматривать не будем. Заметим лишь то, что в программе МФТИ, как и в математических курсах всех ведущих физических вузов, уравнениям с решениями в виде того или иного ряда посвящен как минимум один семестр.

Полиномы Бернулли позже нашли свое применение не только в уравнениях матфизики, но и в теории вероятностей. Это, в общем-то, предсказуемо (ведь ряд физических процессов — вроде броуновского движения или распада ядер — как раз и обусловлен разного рода случайностями), но все равно заслуживает отдельного упоминания.

Громоздкая формула Эйлера-Маклорена использовалась математиками для разных целей. Так как в ней, с одной стороны, стоит сумма значений функций в определенных точках, а с другой — есть и интегралы, и разложения в ряд, при помощи этой формулы можно (в зависимости от того, что нам известно) как взять сложный интеграл, так и определить сумму ряда.

Сриниваса Рамануджан придумал этой формуле иное применение. Он ее немного модифицировал и получил такое выражение:

aa6fabe9b15327f6b5c1b22d65fc8978

В качестве функции f(x) он рассмотрел просто x — пусть f(x) = x, это вполне правомерное допущение. Но для этой функции первая производная равна просто единице, а вторая и все последующие — нулю: если все аккуратно подставить в указанное выше выражение и определить соответствующие числа Бернулли, то как раз и получится −1/12.

Это, разумеется, было воспринято самим индийским математиком как нечто из ряда вон выходящее. Поскольку он был не просто самоучкой, а талантливым самоучкой, он не стал всем рассказывать про поправшее основы математики открытие, а вместо этого написал письмо Годфри Харди, признанному эксперту в области как теории чисел, так и математического анализа. Письмо, кстати, содержало приписку, что Харди, вероятно, захочет указать автору на ближайшую психиатрическую лечебницу: однако итогом, конечно, стала не лечебница, а совместная работа.

Суммируя все сказанное выше, получим следующее: сумма всех натуральных чисел получается равной −1/12 при использовании специальной формулы, которая позволяет разложить произвольную функцию в некоторый ряд с коэффициентами, называемыми числами Бернулли. Однако это не значит, что 1+2+3+4 оказывается больше, чем 1+2+3+. и так до бесконечности. В данном случае мы имеем дело с парадоксом, который обусловлен тем, что разложение в ряд — это своего рода приближение и упрощение.

Можно привести пример намного более простого и наглядного математического парадокса, связанного с выражением чего-то одного через что-то другое. Возьмем лист бумаги в клеточку и нарисуем ступенчатую линию с шириной и высотой ступеньки в одну клетку. Длина такой линии, очевидно, равна удвоенному числу клеток — а вот длина спрямляющей «лесенку» диагонали равна числу клеток, умноженному на корень из двух. Если сделать лесенку очень мелкой, она все равно будет той же длины и практически не отличимая от диагонали ломаная линия окажется в корень из двух раз больше той самой диагонали! Как видите, для парадоксальных примеров писать длинные сложные формулы вовсе не обязательно.

Формула Эйлера-Маклорена, если не вдаваться в дебри математического анализа, является таким же приближением, как и ломаная линия вместо прямой. Используя это приближение можно получить те самые −1/12, однако это далеко не всегда бывает уместно и оправдано. В ряде задач теоретической физики подобные выкладки применяются для расчетов, но это тот самый передний край исследований, где еще рано говорить о корректном отображении реальности математическими абстракциями, а расхождения разных вычислений друг с другом — вполне обычное дело.

Так, оценки плотности энергии вакуума на основе квантовой теории поля и на основе астрофизических наблюдений различаются более чем на 120 порядков. То есть в 10^120 степени раз. Это одна из нерешенных задач современной физики; тут явно просвечивает пробел в наших знаниях о Вселенной. Или же проблема — в отсутствии подходящих математических методов для описания окружающего мира. Физики-теоретики совместно с математиками пытаются найти такие способы описать физические процессы, при которых не будет возникать расходящихся (уходящих в бесконечность) рядов, но это далеко не самая простая задача.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector