чему равна сумма всех углов трапеции равна

Трапеция. Определение, виды, свойства

Определения

Определение 1. Трапецией называется четырехугольник, у которого две стороны параллельны а две другие − нет.

img1img2

На Рис.1 четырехугольники ABCD и EFGH являются трапециями.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями трапеции, а непараллельные стороны − боковыми сторонами (Рис.2).

img3

В трапеции ABCD (Рис.1) углы A и B называют углами при основании AB, а углы C и D называют углами при основании CD.

Определение 2. Высотой трапеции называется перпендикуляр, отпущенный из любой точки прямой, проходящей через один из оснований трапеции, на прямую, проходящую через другое основание.

img3a

На Рис.3 отрезки DM, ON, QP являются вершинами трапеции ABCD. Поскольку величина каждой из этих отрезков является расстоянием между параллельными прямыми, проходящими через основания трапеции, то они равны друг другу.

Определение 3. Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий средние точки боковых сторон.

img4a

На рисунке Рис.4 \( \small MN \) является средней линией трапеции \( \small ABCD, \) причем \( \small AM=MD,\;\; BN=NC. \)

Виды трапеций

Если боковые стороны трапеции равны, то трапеция называется равнобокой или равнобедренной (Рис.5).

Трапеция называется прямоугольной, если одна из боковых сторон перпендикуляна основаниям трапеции (Рис.6).

img5aimg6a

Трапеция называется разносторонней, если длина всех сторон разные (т.е. если трапеция не прямоульная и не равнобедренная)(Рис.7).

img7a

Свойства трапеции

Свойство 1. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна половине их суммы.

Доказательство. Пусть MN средняя линия трапеции ABCD (Рис.8). Докажем, что \( \small MN || AB, \) \( \small MN=\frac12 (AB+CD). \)

img8a

Проведем прямую DN и обозначим точку ее пересечения с прямой AB точкой P. Так как MN является средней линией трапеции ABCD, то

Углы 3 и 4 являются накрест лежащими, при рассмотрении параллельных прямых BP и CD пересеченные секущей CB, тогда (теорема 1 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей).

Исходя из равенств (1),(2) и (3) получим, что треугольники CND и NPC равны, по второму признаку равенства треугольников. Тогда BP = DC, DN = NP. Из равенств AM = MD и DN = NP следует, что MN является средней линией треугольника ADP. Тогда \( \small MN \ || \ AP \) ( или \( \small MN \ || \ AB \)) и \( \small MN =\frac 12 AP \). Но \( \small AP=AB +BP=AB+CD \). Тогда \( \small MN =\frac 12 (AB+CD).\)dok1

Свойство 2. Сумма углов трапеции, прилежащих к одной боковой стороне равна 180°.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.9).

img9a

Углы A и D являутся односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Тогда \( \small \angle A+ \angle D=180°.\) dok1

Свойство 3. Отрезок, слединяющий середины диагоналей трапеции лежит на средней линии трапеции и равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим трапецию ABCD (Рис.10).

img10a

Поскольку точки P и Q являются средними точками диагоналей AC и BD, соответственно, то:

img19

MP − является средней линией треугольника ADC, так как img20, img21. Тогда

QN − является средней линией треугольника BCD, так как img23, img24Тогда

Из img26и img27следует, что P находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки M можно провести только одну прямую, параллельно CD (Аксиома 1 статьи Аксиома параллельных прямых).

Аналогично, из img28и img27следует, что Q находится на прямой, проходящей через среднюю линию MN, поскольку из точки N можно провести только одну прямую, параллельно CD.

Далее, учитывая (4) и (5), получим:

Далее, учитывая свойство 1, получим:

Свойства равнобокой (равнобедренной) трапеции

Свойсво 1′. В равнобокой трапеции углы при каждом основании равны.

Доказательство. Рассмотрим равнобедренную (равнобокую) трапецию ABCD, где AD = BC (Рис.11).

img11a

Проведем высоты DM и CN. Поскольку DM = CN и AD = BC, то прямоугольники ADM и NCB равны гипотенузе и катету (см. статью Прямоугольный треугольник. Свойства, признаки равенства). Тогда \( \small \angle A=\angle B. \) Докажем, далее, что \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) \( \small \angle A +\angle ADC=180° \) поскольку углы A и ADC являются односторонними углами, при рассмотрении параллельных прямых AB и CD пересеченные секущей AD (теорема 3 статьи Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей). Аналогично \( \small \angle B +\angle DCB=180°. \) Учитывая, что \( \small \angle A=\angle B \), получим \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) dok1

Свойсво 2′. В равнобокой трапеции диагонали равны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники ADC и DCB (Рис.12). Имеем CD общая сторона для обеих треугольников, AD = CB, \( \small \angle ADC=\angle DCB. \) Тогда треугольники равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно диагонали AC и DB трапеции ABCD равны.dok1

img12a

Свойсво 3′. В равнобокой трапеции высота, приведенная из вершины тупого угла на основание, делит основание трапеции на отрезки, больший из которых равен половине суммы оснований, а меньший равен половине разности оснований.

Доказательство. Рассмотрим четырехугольник DMNC (Рис.11). Имеем:

img11 1img11 2

Тогда четырехугольник DMNC является прямоугольником. Следовательно DC = MN. Поскольку треугольники ADM и NCB равны (см. доказательство следствия 1), то AM = NB. Следовательно:

Источник

Трапеция и ее свойства с определением и примерами решения

Содержание:

Трапецией называют четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны.

86572

На рисунке 66 изображена трапеция 86578

Свойства трапеции

Рассмотрим некоторые свойства трапеции.

1. Сумма углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Так как 86603то 86606(как сумма внутренних односторонних углов). Аналогично 86607

2. Трапеция является выпуклым четырехугольником.

Высотой трапеции называют перпендикуляр, проведенный из любой точки основания трапеции к прямой, содержащей другое ее основание.

Как правило, высоту трапеции проводят из ее вершины. На рисунке 67 86638— высота трапеции 86640

86662

Свойства равнобокой трапеции

Рассмотрим некоторые важные свойства равнобокой трапеции.

1. В равнобокой трапеции углы при основании равны.

Доказательство:

1) Пусть в трапеции 86683Проведем высоты трапеции 86689и 86691из вершин ее тупых углов 86694и 86707(рис. 70). Получили прямоугольник 86700Поэтому 86704

86713

2) 86725(по катету и гипотенузе). Поэтому 86727 rg9ggh3

3) Также 86731Но 86735поэтому 86740и 86745Следовательно, 86747

2. Диагонали равнобокой трапеции равны.

88365

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 71. 88370(как углы при основании равнобокой трапеции), 88373— общая сторона треугольников 88376и 88378Поэтому 88375(по двум сторонам и углу между ними). Следовательно, 88381

Пример:

88387— точка пересечения диагоналей равнобокой трапеции 88390 v0G1fAsс основаниями 88391и 88401(рис. 71). Докажите, что 88404

Доказательство:

88407(доказано выше). Поэтому 88409По признаку равнобедренного треугольника 88412— равнобедренный. Поэтому 88413Поскольку 88416и 88418то 88421(так как 88423).

Теорема (признак равнобокой трапеции). Если в трапеции углы при основании равны, то трапеция — равнобокая.

Доказательство:

1) Пусть в 88426углы при большем основании 88428равны (рис. 70), то есть 88430Проведем высоты 88431и 88432они равны.

2) Тогда 88433(по катету и противолежащему углу). Следовательно, 88437Таким образом, трапеция равнобокая, что и требовалось доказать.

В «Началах» Евклид под термином «трапеция» подразумевал любой четырехугольник, не являющийся параллелограммом. Большинство математиков Средневековья использовали термин «трапеция» с тем же смыслом.

Свойство средней линии трапеции

Средней линией трапеции называют отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Рассмотрим свойство средней линии трапеции.

Теорема (свойство средней линии трапеции). Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.

Доказательство:

Пусть 89838— данная трапеция, 89844— ее средняя линия (рис. 109). Докажем, что 89847 aFIqQpj 89848и 89852

89860

1) Проведем луч 89866до его пересечения с лучом 89869Пусть 89870— точка их пересечения. Тогда 89873(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 89886и 89879и секущей 89880(как вертикальные), 89889(по условию). Следовательно, 89891(по стороне и двум прилежащим углам), откуда 89893 89897(как соответственные стороны равных треугольников).

2) Поскольку 89901то 89903— средняя линия треугольника 89904Тогда, по свойству средней линии треугольника, 89906а значит, 89907Но так как 89909то 89910

3) Кроме того, 89911

Пример:

Докажите, что отрезок средней линии трапеции, содержащийся между ее диагоналями, равен полуразности оснований.

Доказательство:

Пусть 89914— средняя линия трапеции 89916— точка пересечения 89919и 89920— точка пересечения 89923и 89926(рис. 110). Пусть 89928Докажем, что 89931

89934

1) Так как 89936и 89940то, по теореме Фалеса, 89941-середина 89942— середина 89943Поэтому 89946— средняя линия треугольника 8994889951— средняя линия треугольника 89953

Тогда 89956

2) 89959— средняя линия трапеции, поэтому 89964

3) 89966

Пример:

Решение:

Пусть 89978— данная трапеция, 89980— ее средняя линия, 89985(рис. 111).

89989

1) Обозначим 89987Тогда

89993

2) 89999(по условию). 90002(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых 90008и 90010и секущей 90012Поэтому 90016Следовательно, 90019— равнобедренный, у которого 90024(по признаку равнобедренного треугольника). Но 90026(по условию), значит, 90028

3) Учитывая, что 90034получим уравнение: 90042откуда 90043

4) Тогда 90046

То, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований, было известно еще древним египтянам; эту информацию содержал папирус Ахмеса (примерно XVII в. до н. э.).

О свойстве средней линии трапеции знали также и вавилонские землемеры; это свойство упоминается и в трудах Герона Александрийского (первая половина I в. н. э.).

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector