чему равна теорема пифагора формула

Содержание

Теорема Пифагора: история, формулы и доказательства

56f174036c06743464

Теорема Пифагора – одна из самых известных геометрических теорем, которая устанавливает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Большинство ученых считают, что теорема Пифагора была доказана древнегреческим математиком и философом Пифагором (или Питагором). Однако есть версия, что теорему знали и до его рождения. Доказательством этого является то, что в Древнем Египте знали, что треугольник, у которого стороны имеют 3 см, 4 см и 5 см, является прямоугольным. А о других теоремах можно узнать в учебнике по геометрии за 8 класс А.Г. Мерзляка.

Еще в детстве Пифагор отличился интересом к точным наукам. Впоследствии он переехал жить на остров Лесбос, где познакомился с Фалесом Милетским – древнегреческим философом и математиком, который доказал теоремы о трех точках на окружности и пропорциональных отрезках. За время, когда Пифагор учился в Милетской школе, он изучал астрологию, медицину, прогнозы затмений и другие важные в то время науки. Лекции Фалеса и его ученика Анаксимандра сыграли важную роль для Пифагора.

После обучения в Египте, плена в Вавилоне, в 60 лет Пифагор решает вернуться домой, чтобы поделиться своими знаниями с народом. Впоследствии он открыл собственную школу, в которой геометрия впервые выступает как самостоятельная наука.

О том, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов, знали задолго до рождения Пифагора. Но именно он считается первым ученым, который доказал соотношение сторон треугольника.

В теореме Пифагора говорится, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пусть ВС = а; АС = b; АВ = с.

Тогда имеем такую формулу, которая применяется при нахождении неизвестной стороны в прямоугольном треугольнике, когда две другие – известны:

screenshot64

Когда мы определили квадрат гипотенузы, нужно найти квадратный корень. Такую же формулу мы можем применить к неизвестному катету:

screenshot73

А больше рисунков и формул можно увидеть в онлайн уроке за 8 класс по геометрии на тему «Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Теорема Пифагора».

Самый популярный и самый простой метод доказательства теоремы связан с площадями фигуры.

Нужно расположить одинаковые прямоугольные треугольники так, чтобы внутри образовался квадрат. Каждая сторона внешнего квадрата должна состоять из суммы катетов прямоугольного треугольника a + b.

image001

Площадь этого квадрата можно будет найти благодаря формуле:

screenshot117

Внутренний четырехугольник можно считать квадратом, ведь, если добавить два острые углы прямоугольного треугольника, то получится 90°. Следует считать, что площадь внешнего квадрата состоит из площади внутреннего квадрата и четырех площадей одинаковых прямоугольных треугольников. Итак, в заключении:

screenshot5

Итак, теорема Пифагора доказана.

2. Доказательство Евклида

Доказательство Евклида также называется «Пифагоровы штаны». Ее так назвали, потому что сумма площади квадратов, образованных с использованием катетов прямоугольного треугольника равна площади квадрата, который построен на гипотенузе этого же треугольника. Квадраты напоминали ученикам мужские штаны.

На примере приведенных картинок ниже можно увидеть, как оригинально передали суть доказательства Евклида.

screenshot35

screenshot212

В вашем учебнике не было таких доказательств? Вы можете найти другой в разделе «Учебники по геометрии за 8 класс».

Пример задачи на применение теоремы Пифагора

Условия задачи. В треугольнике ABC дано: ∠C = 90 °, BC = 20 см, AC = 15 см. Найти сторону AB.

111

Решение. Поскольку в треугольнике АВС ∠С = 90°, следовательно, по теореме Пифагора имеем:

АВ² = BС² + АС²; AВ² = 20² + 15², AВ² = 625, AB = √625| AB = 25 см.

Если вам нужно решить задачу с помощью теоремы Пифагора, а вы сомневаетесь в конечном ответе, тогда можете проверить свои знания благодаря разделу «ГДЗ и решебники по геометрии за 8 класс».

А если вы хотите крепче закрепить знания по другим темам по геометрии, то можете просматривать видео в разделе «Онлайн уроки за 8 класс по геометрии». Узнайте больше о перпендикуляре и наклонной, сумме углов выпуклого треугольника, площадь квадрата и прямоугольника, решение задач методом площадей и тому подобное.

Источник

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора — квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (в прямоугольном треугольнике); формула: c² = a² + b².

Доказательство

Доказательство теоремы Пифагора, используя алгебру

pitagor proof fotor cke

Нужно доказать, что c² = a² + b²:

Это квадрат, в котором есть 4 одинаковых треугольника abc:

Что и требовалось доказать.

«Пифагоровы штаны на все стороны равны»

Это шуточная фраза, которая именует ещё одно доказательство теоремы Пифагора

pifagorovy shtani gotovo cke

На этой фигуре c — гипотенуза, a и b — катеты.

Проведём перпендикулярную линию к гипотенузе (c):

pifagor feito shtani2 cke

Таким образом появились два новых прямоугольных треугольника (A и B) внутри большого (исходный треугольник С).

shtanialldone 1 cke

Что и требовалось доказать.

Примеры

Задача 1

gipotenuza example cke

На рисунке видно, что длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 3 см, длина другой — 4 см. Найдите длину гипотенузы.

Подставить известные значения

Ответ: длина гипотенузы равна 5.

Задача 2

exemplo1 done cke

Длина одной стороны прямоугольного треугольника составляет 12 см, длина гипотенузы 13 см. Найдите длину другой стороны треугольника.

Подставить известные значения

Ответ: длина другой стороны треугольника равна 5.

Следствия из теоремы Пифагора

Это основные следствия теоремы:

Кто придумал теорему Пифагора

Концепция теоремы Пифагора была известна ещё в древнем Египте и Вавилоне (около 1900 г. до н. э.). Связь между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике была изображена на вавилонской глиняной табличке (которой около 4000 лет). Однако это знание стало широко использоваться лишь после того, как сам Пифагор заявил о нём (он жил в 6 веке до н. э.).

Узнайте также, что такое Теорема Виета и Аксиома.

Источник

Теорема Пифагора

5f21798fc2452946152968

Основные понятия

Теорема Пифагора, определение: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Гипотенуза — сторона, лежащая напротив прямого угла.

Катет — одна из двух сторон, образующих прямой угол.

Формула Теоремы Пифагора выглядит так:

где a, b — катеты, с — гипотенуза.

Из этой формулы можно вывести следующее:

Для фигуры со сторонами a, b и c, где c самая длинная сторона действуют следующие правила:

Теорема Пифагора: доказательство

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: ∆ABC, в котором ∠C = 90º.

Пошаговое доказательство:

a 2 + b 2 = c * HB + c * AH

a 2 + b 2 = c * (HB + AH)

Обратная теорема Пифагора: доказательство

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такая фигура является прямоугольной.

Дано: ∆ABC

Доказать: ∠C = 90º

Пошаговое доказательство:

Обратная теорема доказана.

Решение задач

Задание 1. Дан прямоугольный треугольник ABC. Его катеты равны 6 см и 10 см. Какое значение у гипотенузы?

значит c 2 = a 2 + b 2 = 6 2 + 10 2 = 36 + 100 = 136

Задание 2. Является ли фигура со сторонами 8 см, 9 см и 11 см прямоугольным треугольником?

Ответ: треугольник не является прямоугольным.

Источник

Теорема Пифагора

Формула теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (рис. 1):

formules 4544

Доказательство теоремы Пифагора

formules 4966

из подобия треугольников получаем, что

$$a^<2>=c \cdot H B, b^<2>=c \cdot A H$$

Сложив полученные равенства, получаем

$$a^<2>+b^<2>=c \cdot H B+c \cdot A H$$

Что и требовалось доказать.

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора

В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе, равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах (рис. 2):

Примеры решения задач

Отсюда получаем, что искомая гипотенуза

Ответ. 10 см

Теорема Пифагора не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!

Задание. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что один из его катетов на 5 см больше другого, а гипотенуза равна 25 см.

Раскрываем скобки, сводим подобные и решаем полученное квадратное уравнение:

Согласно теореме Виета, получаем, что

Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению длин его катетов, то есть

Историческая справка

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Остались вопросы?

Здесь вы найдете ответы.

Согласно теореме Пифагора, значение длины гипотенузы (с) треугольника с прямыми углами, возведенное в квадратную степень, является величиной, равной сумме его катетов (а и b), каждый из которых также возведен в квадрат. Наглядно и с применением условных обозначений это выглядит так:

В теореме Пифагора говорится о том, что в треугольнике с прямыми углами сумма длин катетов, каждая из которых возведена в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной в квадратную степень.

При этом под гипотенузой понимается сторона, которая расположена противоположно прямому углу. Катетом считается одна из сторон, участвующих в образовании прямого угла.

Основание прямоугольного треугольника обозначим как Н. Из его вершины С проведем высоту на гипотенузу АВ. Получившийся в результате этого треугольник АСН является подобным треугольнику АВС по двум углам, равным 90º (∠ACB =∠CHA).

Подобными также являются треугольные фигуры АВС и СВН. Основанием их подобия являются прямые углы (∠ACB =∠CHB). Оба эти треугольника имеют общий угол, которым является ∠B.

Для продолжения доказательства теоремы Пифагора следует ввести дополнительные обозначения: BC = a, AC = b, AB = c.

На основании полученной ранее информации о подобии треугольников можно утверждать, что:

Полученное равенство также позволяет сделать следующий вывод:

a2 = c * HB, b2 = c * AH.

На следующем этапе произведем сложение полученных ранее равенств:

a2 + b2 = c * HB + c * AH

Вынесем за скобки общий множитель во второй части равенства:

Теперь можно сократить Н в левой части равенства, в результате получим:

В приведенных выше обозначениях указано, что АВ = с. Это позволяет переписать равенство следующим образом:

a2 + b2 = c * c, или a2 + b2 = c2

Таким образом, теорема Пифагора доказана.

Согласно теореме Пифагора, длина гипотенузы прямоугольного треугольника, которая возведена в квадрат, равна сумме, полученной в результате сложения квадратов длин его катетов. Из этого следует, что:

Извлечем квадрат из обеих частей равенства, в итоге получим:

x = √(5² + 5²)= √(25+25) = √50 = √25*2 = 5√2

Ответ: длина гипотенузы прямоугольного треугольника, катет которого равен 5 см, составляет 5√2, что равно примерно 7,07 см.

Теорема Пифагора не может быть применима к треугольнику с тупыми или острыми углами. Она выполняется только в случае прямоугольного треугольника.

Для треугольника с углом 90º справедливо утверждение о том, что длина его гипотенузы, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, взятых в квадрат.

В теореме Пифагора говорится о том, что сумма длин катетов прямоугольного треугольника, возведенных во вторую степень, равна квадрату длины его гипотенузы. В случае с треугольником, некоторые параметры которого приведены в задании, это утверждение выглядит следующим образом:

Для того чтобы найти значение х, нужно извлечь квадратный корень из числа 13:

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна корню квадратному из 13.

Для решения поставленной задачи следует воспользоваться теоремой Пифагора, которая говорит о том, что сумма длин катетов треугольника с прямым углом, возведенных в квадрат, равна длине его гипотенузы, также возведенной во вторую степень:

Теорема Пифагора может быть применима в данном случае по причине того, что образованная между двумя домами конструкция является прямоугольным треугольником. Зная о том, что сумма квадратов катетов в прямоугольном треугольнике равна длине его катета, возведенной в квадрат, можно вычислить длину неизвестного катета:

Длина одного катета треугольника равна 16 м, второго – 8 м. Зная это, можно применить теорему Пифагора для вычисления длины гипотенузы:

(16*16) + (8*8) = 256 + 64 = 320 м.

Осталось только извлечь квадратный корень из 320, для того чтобы узнать длину расстояния между крышами двух домов.

Ответ: Расстояние между крышами домов равно корню квадратному из 320.

Обозначим длину неизвестного катета как х. Зная то, что по теореме Пифагора длина гипотенузы прямоугольного треугольника, возведенная во вторую степень, равна сумме длин его катетов, которые также возведены в квадрат, можно выразить длину неизвестного катета следующим образом:

х² = 132 – 122 = 169 – 144 = 25

Теперь, для того чтобы узнать длину второго катета, необходимо извлечь квадратный корень из числа 25:

Ответ: длина второго катета прямоугольного треугольника равна 5 см.

Известно, что длина медианы (m), которая проведена к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна ½ ее длины. Используя это, можно высчитать длину гипотенузы прямоугольного треугольника:

Высчитав длину гипотенузы и зная длину одного из катетов прямоугольного треугольника, можно вычислить, чему равен его второй катет. Для этого можно использовать теорему Пифагора, согласно которой:

Выражаем из записанного выше равенства длину неизвестного катета:

Из полученного числа нужно извлечь квадратный корень, для того чтобы узнать длину второго катета прямоугольного треугольника:

Ответ: Длина второго катета прямоугольного треугольника равна 12 см.

Равенство, указанное в задании, применимо к треугольнику с прямым углом, как гласит теорема Пифагора.

Каждая из сторон треугольника может быть обозначена прописной буквой, которая соответствует строчной букве, обозначающей угол треугольника, расположенный противоположно этой стороне. На основании этого можно сделать вывод о том, что искомый треугольник является прямоугольным и имеет гипотенузу f и катеты a и b:

Ответ: имеется треугольник АDF с прямым углом F.

Теорема, которая является обратной теореме Пифагора, существует. Согласно этой теореме, треугольник считается прямоугольным в том случае, если длина его большей стороны, возведенная в квадратную степень, равна сумме длин двух других его сторон, которые также возведены в квадратную степень.

Для начала следует провести высоту (h) к основанию равнобедренного треугольника. Данная высота, проведенная к основанию, в случае с равнобедренным треугольником является медианой.

Теперь можно высчитать длину высоты, используя теорему Пифагора. Она будет равна:

Площадь (S) треугольника рассчитывается путем деления на число, полученное в результате умножения длины высоты на длину основания треугольника:

S = ½*10,5√15 см*51 см = 267,75√15 см².

Ответ: Площадь треугольника равна 267,75√15 см².

В равностороннем треугольнике высота (h), проведенная к его основанию, является также его биссектрисой и медианой. Она делит равносторонний треугольник на две части, которые являются равными треугольниками с прямым углом. Их гипотенуза равна а, а катеты – а/2. Для ответа на поставленный вопрос следует применить теорему Пифагора:

Обозначим меньший из катетов как х. Тогда другой катет, длина которого в два раза больше, будет обозначен как 2х. Если в случае с прямоугольным треугольником, длина гипотенузы которого равна √15, применить теорему Пифагора, то она будет выглядеть следующим образом:

После раскрытия скобок в уравнении получаем следующее равенство:

Складываем слагаемые в первой части и получаем:

Сокращаем обе части уравнения на 5, и в итоге получается, что:

Ответ: Длина меньшего из катетов треугольника равна √3, а большего – 2√3.

Если обозначить длину неизвестного катета через х, то гипотенуза будет равна 180-х. Используя введенные обозначения, запишем теорему Пифагора для данного треугольника:

После сокращений получается следующее равенство:

Теперь можно найти значение х:

Длина второго катета равна 80 см.

Зная, что катет в 80 см и неизвестная длина гипотенузы в сумме дают 180 см, можно вычислить длину гипотенузы:

Ответ: Длина гипотенузы равна 100 см.

АВСD является прямоугольной трапецией, у которой AB=9 см и CD=18 см. Диагональ АС данной трапеции составляет 15 см. При этом ВС и AD остаются неизвестными величинами. Длину ВС можно вычислить по следующей формуле:

Произведем перенос высоты:

Тогда получаем, что:

Ответ: Длина основания AD прямоугольной трапеции равна 12+9√3 см.

Источник

Теорема Пифагора.

Эта теорема – ключик к решению многих задачек с участием прямоугольного треугольника. Её доказал Пифагор в совершенно незапамятные времена, и с тех пор она принесла много пользы знающим её. А самое хорошее в ней то, что она – простая.

Итак, Теорема Пифагора:

Помнишь шутку: «Пифагоровы штаны на все стороны равны!»?

Давай нарисуем эти самые пифагоровы штаны и посмотрим на них.
610z 71
Правда, похоже на какие – то шорты? Ну и на какие стороны и где она равны? Почему и откуда возникла шутка? А шутка эта связана как раз с теоремой Пифагора, точнее с тем, как сам Пифагор формулировал свою теорему. А формулировал он её так:

Правда, немножко по-другому звучит? И вот, когда Пифагор нарисовал утверждение своей теоремы, как раз и получилась такая картинка.

610z 81
На этой картинке сумма площадей маленьких квадратов равна площади большого квадрата. А чтобы дети лучше запоминали, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, кто-то остроумный и выдумал эту шутку про Пифагоровы штаны.

Почему же мы сейчас формулируем теорему Пифагора

610z 9

А Пифагор мучился и рассуждал про площади?

610z 10 или

Теперь уже должно быть легко:

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Ну вот, самую главную теорему о прямоугольном треугольнике обсудили. Если тебе интересно, как она доказывается, читай следующие уровни теории, а сейчас пойдём дальше… в тёмный лес… тригонометрии! К ужасным словам синус, косинус, тангенс и котангенс.

Некоторые свойства прямоугольного треугольника:

7. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к его гипотенузе, делит треугольник на два равнобедренных треугольника, основаниями, которых являются катеты данного треугольника.

В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы.

Синус, косинус, тангенс, котангенс в прямоугольном треугольнике.

610z 11

1.
Вообще-то звучит это так:

610z 122 Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противоположного катета к гипотенузе.
610z 132 Значит,
610z 142 Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению прилежащего катета к гипотенузе.

А теперь, внимание! Посмотри, что у нас получилось:

Видишь, как здорово:

Это очень удобно – если тебе дан в задаче синус одного угла прямоугольного треугольника, то ты знаешь и косинус другого! Итак, запомни очень твёрдо:

Теперь перейдём к тангенсу и котангенсу.

610z 152 Тангенс острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к прилежащему.

Видишь, числитель и знаменатель поменялись местами?

610z 162

И теперь снова углы и совершили обмен:

В прямоугольном треугольнике тангенс одного острого угла равен котангенсу другого.

Алгебраическая формулировка теоремы Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через c, а длины катетов через a и b:

724 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11

Обе формулировки теоремы Пифагора эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не

требует понятия площади. То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и

История теоремы

Однако название получено в честь учёного только по той причине, что он первый и, даже единственный человек, который смог доказать теорему.

Немецкий историк математики Кантор утверждал, что о теореме было известно ещё египтянами приблизительно в 2300 году до н. э. Он считал, раньше строили прямые углы благодаря прямоугольным треугольникам со сторонами 3, 4 и 5.

Известный учёный Кеплер говорил, что у геометрии есть незаменимое сокровище – это теорема Пифагора, благодаря которой можно вывести большинство теорем в геометрии.

Раньше теорему Пифагора называли “теоремой невесты” или “теоремой нимфы”. А всё дело в том, что её чертёж был очень похож на бабочку или нимфу. Арабы же, когда переводили текст теоремы, решили, что нимфа означает невеста. Так и появилось интересное название у теоремы.

Обратная теорема Пифагора

Обратная теорема Пифагора:

Если в треугольнике квадрат длины одной стороны равен сумме квадратов длин других сторон, то этот треугольник – прямоугольный.

teor pif2

teor pif5

teor pif6

По теореме Пифагора:

Треугольники ABC и A1B1C1 равны по трём сторонам, поэтому ∠A = ∠A1 = 90°, то есть треугольник ABC является прямоугольным. Теорема доказана.

Нахождение сторон прямоугольного треугольника

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 1 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 2 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 3 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 4 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 5 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 6 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 7 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 8

Типы прямоугольных треугольников

Геометрическая формулировка теоремы Пифагора.

Изначально теорема была сформулирована следующим образом:

построенных на катетах.

Вычисление расстояния между двумя точками на координатной плоскости

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 9 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 10 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 11 Version 3

v4 460px Use the Pythagorean Theorem Step 12 Version 3

Теорема Пифагора, Формула

Если угол прямой то справедлива формула

Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов (это Теорема Пифагора). Теорема Пифагора является частным случаем теоремы косинусов и часто применяется в разнообразных практических и теоретических вопросах.

Доказательства теоремы Пифагора.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Вероятно, теорема

Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие

можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Разумеется, концептуально все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них:

доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например,

с помощью дифференциальных уравнений).

1. Доказательство теоремы Пифагора через подобные треугольники.

Следующее доказательство алгебраической формулировки — наиболее простое из доказательств, строящихся

напрямую из аксиом. В частности, оно не использует понятие площади фигуры.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведём высоту из C и обозначим

её основание через H.

Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC.

638 47c151a3c319f16ed66ab678d29adda2 115 fc38a99070582fc1230937c7f71ec00b

787 4c4fa5c58c67d3f0d10f660cae04457b,

что соответствует – 903 1dfcbe0e83bdb81f1a8e0df8e0af74cf

или 724 2955ca912aba0f03916cf19c9f2ebf11, что и требовалось доказать.

2. Доказательство теоремы Пифагора методом площадей.

Ниже приведённые доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они

используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

847 8734705ded4afed3261f2cfd65752eb9Расположим четыре равных прямоугольных

треугольника так, как показано на рисунке

Четырёхугольник со сторонами c – квадратом,

так как сумма двух острых углов 90°, а

развёрнутый угол — 180°.

Площадь всей фигуры равна, с одной стороны,

площади квадрата со стороной (a+b), а с другой стороны, сумме площадей четырёх треугольников и

827 1b6b2f6917cb2a36bae077dde0c7ca8e

373 b269c2ceb1e413b7297d53a5db45e056

632 31292169d9e8c072a166a69d77400f5e

Что и требовалось доказать.

3. Доказательство теоремы Пифагора методом бесконечно малых.

59 6504e12240317507dedb9eac1e34c30e

Рассматривая чертёж, показанный на рисунке, и

записать следующее соотношение для бесконечно

малых приращений сторон с и a (используя подобие

512 db8fbab2c2156bb7bda07057aa647c1a

Используя метод разделения переменных, находим:

356 9c9b7c7c10ad02620a5cce7a137a50ab

Более общее выражение для изменения гипотенузы в случае приращений обоих катетов:

367 ae3ce138b1ca05e4baca5e9496270f4a

Интегрируя данное уравнение и используя начальные условия, получаем:

748 8673fb34311c7e81b63c2ae2b0544428

622 3ac40eb62f4fa72839b49cb80158df60

Таким образом, мы приходим к желаемому ответу:

632 31292169d9e8c072a166a69d77400f5e

Как нетрудно видеть, квадратичная зависимость в окончательной формуле появляется благодаря линейной

пропорциональности между сторонами треугольника и приращениями, тогда как сумма связана с независимыми

вкладами от приращения разных катетов.

Более простое доказательство можно получить, если считать, что один из катетов не испытывает приращения

(в данном случае катет b). Тогда для константы интегрирования получим:

135 7d89d85e500ff18adb7dfeef9ac9c476

Примеры задач

Задание 1
В прямоугольном треугольнике один катет равен 3 см, другой – 4 см. Найдите длину его гипотенузы.

Задание 2
Один из катетов прямоугольного треугольника равняется 6 см, а гипотенуза – 10 см. Найдите длину второго катета.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Заключение

Gifka s Gifius.ru 1

Итак, мы рассмотрели теорему Пифагора, смогли привести ее доказательство и привели несколько примеров задач и их решений.

Запомните раз и навсегда: квадраты гипотенузы равен суммы квадратов катетов: (это вся теорема Пифагора).

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector