чему равна вероятность невозможного события ответ

Чему равна вероятность невозможного события ответ

math

Вероятность — это числовая характеристика возможности наступления какого-либо события. Вероятностью события А называется отношение числа m случаев, благоприятствующих его наступлению, к числу n всех возможных случаев. Обозначение:

0118b2830a60d73800e858a712fe0504

Если событие наступить не может, оно называется невозможным. Вероятность невозможного события равна 0. Если событие непременно наступает, оно называется достоверным. Вероятность достоверного события равна 1. Вероятность события — число из отрезка [0; 1].

Произведением событий А и В называется событие С = AB, состоящее в том, что в результате испытания произошло и событие А, и событие В, то есть оба события произошли.

Суммой событий А и В называется событие С = А + В, состоящее в наступлении, по крайней мере, одного из них, то есть в наступлении события А, или события В, или обоих этих событий вместе.

Два события называются независимыми, если вероятность появления каждого из них не зависит от того, появилось другое событие или нет. В противном случае события называются зависимыми.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появление другого в одном и том же испытании. В противном случае события называются несовместными.

Два события называются противоположными, если в данном испытании они несовместны и одно из них обязательно происходит. Вероятности противоположных событий в сумме дают 1.

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

5fd3c4f5b5495902981420

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

5fd3c509c42ab704419991

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

5fd3c52389bb0416638834

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

5fd3cba6d5ccf002202081

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

5fd3cc1158e9a096643739

Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

5fd3ccb4b2bc8416575569

По теореме умножения вероятностей:

5fd3ccfe2beab758117721

5fd3cd2c126b8117745371

Аналогично, для остальных гипотез:

5fd3cd51f01c0786377982

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
5fd3cdd560c13120780832

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

5fd3cdfe657ef759022538

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

5fd3ce35e35a8230400444

5fd3ce771c673163025827

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

5fd3cea86ed6c509632849

5fd3ced72af2a873082289

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Чему равна вероятность невозможного события ответ

Событиями являются и результаты различных опытов, наблюдений и измерений.

1) из ящика с разноцветными шарами наугад вытаскивают белый шар;

2) на один из приобретенных лотерейных билетов выпал выигрыш;

3) при бросании игральной кости выпала цифра 6.

События делятся на достоверные, случайные и невозможные.

Достоверным называется событие, если оно обязательно произойдет в данном испытании.

Случайным называется событие, если оно может произойти, но может и не произойти в данном испытании.

Невозможным называется событие, если оно не может произойти в данном испытании.

За единицу принимают вероятность достоверного события, а вероятность невозможного события считают равной нулю. Тогда вероятность Р любого события А удовлетворяет неравенству:

Несовместными называются события, если появление одного из них

coingame

Пример. Опыт состоит в подбрасывании монеты, событие А – выпадение орла, событие В – выпадение решки. Эти события несовместны, равновозможны и единственно возможны.

Равновозможными называются события, если ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Единственно возможными называются события, если в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит. Говорят, что единственно возможные события образуют полную группу событий .

Рассмотрим классический метод определения вероятности некоторого случайного события. Пусть в результате некоторого опыта могут наступить события А1, А2, А3, …, Аn (элементарные исходы опыта), которые являются:

1)единственно возможными, т.е. в результате опыта хотя бы одно из них обязательно наступит;

2)несовместными, т.е. появление одного из них исключает появление всех остальных;

3)равновозможными, т.е. не существует никаких причин, в связи с которыми одно из событий появлялось бы чаще, чем остальные.

Пусть при появлении некоторых из этих событий наступает событие А. Обозначим число таких событий k (k≤n). А при появлении остальных (n-k) событий событие А не наступает. Говорят, что k событий (элементарных исходов), при которых появляется событие А, благоприятствуют событию А, а остальные (n-k) событий не благоприятствуют ему.

Вероятностью события А называется отношение числа k элементарных исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу элементарных исходов испытания n, если они равновозможны, несовместны и единственно возможны.

Источник

Классическое определение вероятности

klas opr ver

Теория. Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Событие называется достоверным, если оно обязательно наступит в результате данного опыта; достоверное событие обозначается через quicklatex.com aec5209436746bf1698d314cb55e66a0 l3(омега).

Событие называется невозможным, если оно заведомо не произойдет в результате данного опыта; невозможное событие обозначается через Ø (пустое множество).

Случайным событием (или просто: событием) называется такой исход опыта (испытания, эксперимента, наблюдения), который может произойти или не произойти.

Два события называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого события в одном и том же опыте; в противном случае события называются совместными.

События называют равновозможными, если есть основание считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. (т.е. все события имеют равные «шансы»).

Противоположным событию А называется событие quicklatex.com 99ee2c2f895c09f95b2eaf522ab0f39d l3» width=»14
» style=»vertical-align: 0px;»/>, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Вероятность события численно характеризует степень возможности его появления в рассматриваемом опыте.

Вероятностью события «А» называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

px;»> quicklatex.com 78cd6bdefffa3a55c19171af9a44b99e l3» width=»88
» alt=»\[P(A)=\frac,\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

где m – число элементарных исходов, благоприятствующих А; n – число всех возможных элементарных исходов испытания.

Свойства:

Практический материал.

I. Вводные задачи.

1.1. Подброшена монета. Какова вероятность того, что выпадет герб? (Ответ: 0,5)

1.2. В ящике имеется 50 одинаковых деталей, из них 5 окрашенных. Наудачу вынимают одну деталь. Найти вероятность того, что извлеченная деталь окажется окрашенной. (Ответ: 1/10)

1.3. Две игральных кости подбрасываются наудачу. Определить элементарные исходы, которые могут произойти в результате опыта, и построить множество элементарных исходов. Указать подмножества множества элементарных исходов, определяющих случайные события: А — «количества очков выпавших на верхних гранях костей – одинаково»; В — «сумма очков выпавших на верхних гранях костей равна восьми». Найти вероятности наступления этих событий.

Определим общее количество элементарных исходов quicklatex.com ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7 l3» width=»11
» style=»vertical-align: 0px;»/>:

где цифры в скобках определяют количество очков, выпавших на верхних гранях костей (первая цифра соответствует 1-ой кости, вторая — 2-ой кости). Таким образом n=36. Также количество общих исходов можно было посчитать по правилу произведения: quicklatex.com bfa9b4f6e262f0b4ed6b879cd8cb353f l3» width=»106
» style=»vertical-align: 0px;»/>, так как на первой и второй костях по 6 возможных исходов.

Подсчитаем количество исходов соответствующих событию А:

px;»> quicklatex.com a1950bb791dced9f99efd181a8be39d2 l3» width=»164
» alt=»\[P(A)=\frac=\frac<6><36>=\frac16\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

Подсчитаем количество исходов соответствующих событию B:

px;»> quicklatex.com 220338b4967a29e643dcf585cdbde6e3 l3» width=»122
» alt=»\[P(A)=\frac=\frac<5><36>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

1.4. Брошены две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях – четная, причем на гранях хотя бы одной из костей появится шестерка. (Ответ: 5/36)

1.5. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной.

Найти вероятность того, что была утеряна:

а) стандартная деталь;

б) нестандартная деталь.

а) Извлеченная стандартная деталь, очевидно, не могла быть утеряна; могла быть потеряна любая из остальных 30 деталей (21+10-1=30), причем среди них было 20 стандартных (21-1=20). Вероятность того, что была потеряна стандартная деталь, Р=20/30=2/3.

б) Среди 30 деталей, каждая из которых могла быть утеряна, было 10 нестандартных. Вероятность того, что потеряна нестандартная деталь, Р=10/30=1/3.

1.6. Куб, все грани которого окрашены, распилен на тысячу кубиков одинакового размера, которые затем тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что наудачу извлеченный кубик имеет окрашенных граней: а) одну; б) две; в) три г) не будет иметь окрашенных граней (Ответ: а) 0,384;б) 0,096 в) 0,008; г) 0,512)

1.7. Монета брошена два раза. Найти вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб». (Ответ:¾)

II. Задачи на применение правил сложения и умножения.

2.1. Задумано двузначное число. Найти вероятность того, что задуманным числом окажется:

а) Случайно названное двузначное число;

б) Случайно названное двузначное число, цифры которого различны.

Используем классическое определение вероятности:

px;»> quicklatex.com 910ff496d654eb605200fb2e10dbd794 l3» width=»82
» alt=»\[P(A)=\frac\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

quicklatex.com fdc40b8ad1cdad0aab9d632215459d28 l3» width=»15
» style=»vertical-align: 0px;»/> — число элементарных исходов испытания, благоприятствующих наступлению события A;

quicklatex.com ec4217f4fa5fcd92a9edceba0e708cf7 l3» width=»11
» style=»vertical-align: 0px;»/> — общее число возможных элементарных исходов испытания;

а) B=<Случайно названное двузначное число>

Следовательно искомая вероятность равна:

px;»> quicklatex.com 2fb5864295ca4af5cf6322a4f114c3ba l3» width=»84
» alt=»\[P(A)=\frac<1><90>\]» title=»Rendered by QuickLaTeX.com»/>

III. Задачи, использующие формулу размещения.

3.1. В урне содержится 5 белых и 4 черных пронумерованных шара. (Белые от 1 до 5, и черные от 1 до 4).

а) Вынимается наудачу один шар. Найти вероятность того, что он белый.

б) Вынимаются два шара. Найти вероятность того, что: 1) оба шара белые; 2) хотя бы один из них черный.

(Ответ: а) 5/9; б) 1) 5/18; 2) 13/18)

3.2. На каждой из шести одинаковых карточек напечатана одна из следующих букв: а, т, м, р, с, о. Карточки тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что на четырех, вынутых по одной и расположенных «в одну линию» карточках можно будет прочесть слово «трос». (Ответ: Р=1/360)

3.3. На восьми одинаковых карточках написаны числа 2, 4, 6, 7, 8, 11, 12 и 13. Наудачу выбираются две карточки. Первая карточка берётся в качестве числителя дроби, а вторая – знаменателя. Определить вероятность того, что полученная дробь будет сократимой. (Ответ: Р=5/14)

IV. Задачи, использующие формулу сочетания.

4.2. В группе, насчитывающей 25 студентов, 5 юношей и 20 девушек. Наудачу из списка выбирается пять студентов. Какова вероятность того, что среди выбранных студентов будет ровно три девушки? (Ответ: quicklatex.com bb3709dd3578ae002cb60ee0efa531fa l3)

4.3. (6.3.2) В корзине 5 синих, 4 красных и 3 зеленых карандаша. Наудачу вынимают 3 карандаша. Какова вероятность того, что:

а) все они одного цвета;

б) все они разных цветов;

в) среди них 2 синих и 1 зеленый карандаш.

(Ответ: а) 3/44; б) 3/11 в) 3/22)

4.4. В урне находятся 5 белых и 6 чёрных шаров. Наудачу из урны извлекаются два шара. Определить вероятность того, что будут извлечены: а) два шара белого цвета; б) два шара чёрного цвета; в) шары разного цвета; г) шары одного цвета.

Замечание: Обратите внимание на то факт, что в данной задаче шары не пронумерованы (как в задаче 3.1), поэтому нам не важен порядок их следования. Следовательно применяем формулу сочетания.

V. Задачи, использующие формулы размещения и перестановки.

5.1. Дано пять карточек с буквами Е, М, Р, Т, О. Найти вероятность того, что:

а) получится слово РОМ, если наугад одна за другой выбираются три карточки;

б) получится слово МЕТРО, если наугад одна за другой выбираются пять карточек и располагаются в ряд в порядке появления. (Ответ: а) Р=1/60; б) Р=1/120)

5.2. В мешочке имеется 5 одинаковых кубиков. На всех гранях каждого кубика написана одна из следующих букв: о, п, р, с, т. Найти вероятность того, что на вынутых по одному и расположенных « в одну линию» кубиков можно будет прочесть слово «спорт». (Ответ: Р=1/120)

VI. Используя подходящие формулы решите следующие задачи

6.1. На пяти карточках написаны цифры от 1 до 5. Опыт состоит в случайном выборе трёх карточек и раскладывании их в порядке появления в ряд слева направо. Найти вероятность того, что полученное трёхзначное число будет чётным числом. (Ответ: Р=0,4)

6.2. Набирая номер телефона, абонент понял, что он забыл последние три цифры. Помня лишь, что эти цифры различные и нечётные, он набрал их наудачу. Определить вероятность того, что абонент дозвонился туда, куда ему было необходимо. quicklatex.com 1c1e25baaa02afac4252cdd035e2533f l3;

6.4. В урне имеются шары трёх цветов: два белых, три чёрных и пять красных. Наудачу извлекаются сразу три шара. Какова вероятность того, что: а) это будут шары одного цвета; б) это будут шары разных цветов; в) среди извлечённых шаров хотя бы два разного цвета? Как изменятся эти вероятности, если шары извлекаются по одному с возвращением в урну каждого шара (после фиксирования его цвета) перед следующим извлечением?

6.5. Среди десяти лотерейных билетов – два выигрышных. Определить вероятность того, что среди наудачу взятых пяти билетов: а) будет только один выигрышный; б) будут оба выигрышных; в) не будет ни одного выигрышного; г) будет хотя бы один выигрышный.

6.6. Из колоды, содержащей 36 карт, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт окажется не менее чем два туза?

6.7. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу без возвращения извлекают шесть карт. Какова вероятность того, что среди извлечённых карт: а) окажется «король пик»; б) окажется один «король»; в) будут «короли»?

6.8. Из колоды, содержащей 52 карты, наудачу последовательно по одной извлекаются три карты. Определить вероятность того, что последовательно появятся карты: «тройка», «семёрка» и «туз». Как изменится вероятность появления этих трёх карт, если нам не будет важен порядок их следования?

1.27. Десять книг расставляются наудачу на книжной полке. Определить вероятность того, что при этом три определённые книги окажутся поставленными рядом.

1.28. Определить вероятность того, что в тщательно перемешанной колоде (36 карт) четыре туза будут расположены рядом.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector