чему равна вероятность независимых событий

Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

Содержание

div1

Вероятность суммы двух событий

Справедливо следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Другими словами, верна формула:

s13

s13w300

e7 e8
Событие A Событие B
e10 e9
Событие A + B Событие e1
e7
Событие A
e8
Событие B
e10
Событие A + B
e9
Событие e1

Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.

s14

s14w300

которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры A + B равна сумме площадей фигур A и B минус площадь фигуры e1».

s1

s1w400

s1w300

s2

s2w600

с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.

Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.

Несовместные события

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два события A и B называют несовместными, если они не пересекаются.

Другими словами, события A и B несовместны, если

s8

ЗАМЕЧАНИЕ 1. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие B является подмножеством события e6, то есть s9.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие A является подмножеством события s11, то есть s12.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если события A и B несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула

s10

Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

Два события A и B называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.

Справедливо следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Другими словами, для двух независимых событий A и B верна формула

Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

РЕШЕНИЕ. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все 36 возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании синей кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании красной кости. На пересечении строки и столбца указана пара чисел, выпавших на двух костях.

s4

s6

s7

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.

РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой B обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие A + B означает, что мишень поражена, а событие e1означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию

а поскольку события A и B независимы, то в силу формулы (4)

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №35. Вероятность произведения независимых событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

Независимые события – такие события, вероятности наступления которых не зависит от появления друг друга.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Гипотеза – одно из событий, которые могут привести к появлению данного события.

Формула полной вероятности

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B1, B2, B3, …, Bn, которые образуют полную группу. Будем называть события B1, B2, B3, …, Bn гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B1), P(B2), P(B3), …, P(Bn) и соответствующие условные вероятности наступления события А PB1(A), PB2(A), PB3(A), …, PBn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A) = P(B1)·PB1(A) + P(B2)·PB2(A) + P(B3)·PB3(A) +…+ P(Bn)·PBn(A).

Колягин Ю.М., Ткачёва М.В., Фёдорова Н.Е., Шабунин М.И. под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений: базовый и профил. Уровни – 2-е изд. – М.: Просвещение, 2010. – 336 с.: ил. – ISBN 978-5-09-022250-1. с. 194-197

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Студент из n билетов знает ответы лишь на m билетов. Найдите и сравните вероятности событий, что студент сдаст экзамен, взяв билет первым, студент сдаст экзамен, взяв билет вторым.

Если студент берет билет первым, то вероятность равна m/n (по классическому определению вероятности).

46e780cd 1f95 4bfc 8af7 c41de15135fd, где Р(А) – вероятность сдать экзамен, идя вторым.

Вспомним теорему произведения вероятностей в общем виде.

Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило. P(AB)=P(A)∙PA(B)

Отметим, если события независимы, получаем выражение теоремы произведения вероятностей независимых событий: P(AB)=P(A)·P(B).

Введём формулу полной вероятности.

Рассмотрим зависимое событие А, которое может наступить в результате осуществления одного из несовместных событий B1, B2, B3, …, Bn, которые образуют полную группу. Будем называть события B1, B2, B3, …, Bn гипотезами. Пусть известны их вероятности P(B1), P(B2), P(B3), …, P(Bn) и соответствующие условные вероятности наступления события А PB1(A), PB2(A), PB3(A), …, PBn(A). Тогда вероятность наступления события А находится по следующей формуле полной вероятности: P(A)=P(B1)·PB1(A)+P(B2)·PB2(A)+P(B3)·PB3(A)+…+
+P(Bn)·PBn(A).

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Из 20 экзаменационных вариантов по математике 3 варианта содержат простые задачи. Пятерым учащимся произвольно выдают варианты. Найти вероятность того, что хотя бы одному из них достанется вариант с простыми задачами.

A – хотя бы одному из пяти учащихся достанется простой вариант, сформулируем противоположное событие Ᾱ – всем пятерым достанутся непростые варианты.

Данные события являются противоположными, поэтому P(A) + P(Ᾱ) = 1.

По теореме умножения вероятностей зависимых событий:

P(Ᾱ) =17/20·16/19·15/18·14/17·13/16 = 91/228

Тогда P(A) = 1 – P(Ᾱ) = 1 – 91/228 = 137/228 – искомая вероятность

Ответ: P(A) = 137/228 ≈ 0,6.

№2. В первой урне находится 3 белых и 2 черных шара, во второй – 4 белых и 4 черных. Из первой урны во вторую наудачу перекладывают 2 шара. Вероятность того, что из второй урны будет извлечён белый шар, равна:

Рассмотрим зависимое от того, какие по цвету шары переложат из первой урны во вторую, событие А= «из второй урны извлечён белый шар».

Событие А наступает в одном из следующих случаев:

B1 – из первой урны во вторую будут переложены два белых шара;
B2 – будет переложен белый и чёрный шар;
B3 – будут переложены два чёрных шара.

Вычислим вероятность наступления события А в каждом из случаев.
Переложить два шара из первой урны можно 0073546b 63aa 4fc1 9ba3 50b138f3f2acспособами.

Тогда 599e7f83 4e5c 4292 b2ae f8680ea33072– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 белых шара.

В этом случае во второй урне станет 6 белых и 4 чёрных шара. По классическому определению вероятности: PB1(A) = 6/10 = 3/5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены 2 белых шара.

2) C3 1 ·C2 1 = 3·2 = 6 способами можно извлечь белый и черный шары из первой урны.

6d28d602 0706 429e 8b45 e9651bbd155c– вероятность того, что из первой урны будут переложены белый и черный шар.

В этом случае во второй урне станет 5 белых и 5 черных шаров. Таким образом, PB2(A) = 5/10= 0,5 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар при условии, что туда переложены белый и чёрный шар.

8667a583 d0ec 409b a009 0b4dd0ee79ff– вероятность того, что из первой урны будут извлечены и переложены 2 черных шара.

В рассматриваемом случае во второй урне станет 4 белых и 6 черных шаров. Тогда PB3(A) = 4/10 = 2/5 – вероятность извлечения белого шара из второй урны при условии, что туда переложено два черных шара.

По теоремам сложения вероятностей несовместных и умножения вероятностей зависимых событий получаем: P(A) = P(B1A + B2A + B3A) = P(B1A) + P(B2A) + P(B3A) = P(B1)·PB1(A) + P(B2)·PB2(A) + P(B3)·PB3(A) = 3/10·3/5 +3/5·1/2 +1/10· =13/25 = 0,52 – вероятность того, что из второй урны будет извлечен белый шар.

Источник

Зависимые и независимые случайные события.
Основные формулы сложения и умножения вероятностей

Теоремы сложения вероятностей

Найдем вероятность суммы событий и (в предположении их совместности либо несовместности).

Теорема 2.1. Вероятность суммы конечного числа несовместных событий равна сумме их вероятностей:

Пример 1. Вероятность того, что в магазине будет продана пара мужской обуви 44-го размера, равна 0,12; 45-го — 0,04; 46-го и большего — 0,01. Найти вероятность того, что будет продана пара мужской обуви не меньше 44-го размера.

Пример 2. При условиях примера 1 найти вероятность того, что очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера.

Решение. События «очередной будет продана пара обуви меньше 44-го размера» и «будет продана пара обуви размера не меньше 44-го» противоположные. Поэтому по формуле (1.2) вероятность наступления искомого события

Сформулируем теорему сложения вероятностей в случае двух совместных событий (будет учитываться вероятность их совместного появления).

Теорема 2.2. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих двух событий без вероятности их совместного появления:

Зависимые и независимые события. Условная вероятность

Различают события зависимые и независимые. Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого. Например, если в цехе работают две автоматические линии, по условиям производства не взаимосвязанные, то остановки этих линий являются независимыми событиями.

Пример 3. Монета брошена два раза. Вероятность появления «герба» в первом испытании (событие ) не зависит от появления или не появления «герба» во втором испытании (событие ). В свою очередь, вероятность появления «герба» во втором испытании не зависит от результата первого испытания. Таким образом, события и независимые.

Пример 4. В ящике находятся 5 резцов: два изношенных и три новых. Производится два последовательных извлечения резцов. Определить условную вероятность появления изношенного резца при втором извлечении при условии, что извлеченный в первый раз резец в ящик не возвращается.

Обозначим событие, означающее извлечение изношенного резца во втором случае. Вероятности этого события могут быть такими:

Формулы умножения вероятностей

Теорема 2.3. Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий:

Следствие 2.1. Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Пример 5. Три ящика содержат по 10 деталей. В первом ящике — 8 стандартных деталей, во втором — 7, в третьем — 9. Из каждого ящика наудачу вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что все три вынутые детали окажутся стандартными.

Теорема 2.4. Вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Следствие 2.2. Вероятность совместного появления нескольких зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились.

Пример 6. В урне находятся 5 белых шаров, 4 черных и 3 синих. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его в урну. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие ), при втором — черный (событие ) и при третьем — синий (событие ).

Формула полной вероятности

При этом события называются гипотезами, а вероятности — априорными. Эта формула называется формулой полной вероятности.

Пример 7. На сборочный конвейер поступают детали с трех станков. Производительность станков не одинакова. На первом станке изготовляют 50% всех деталей, на втором — 30%, на третьем — 20%. Вероятность качественной сборки при использовании детали, изготовленной на первом, втором и третьем станке, соответственно 0,98, 0,95 и 0,8, Определить вероятность того, что узел, сходящий с конвейера, качественный.

Формула Байеса

Раскрывая в этом равенстве по формуле полной вероятности (2.1), получаем

Пример 8. При условиях примера 7 рассчитать вероятности того, что в сборку попала деталь, изготовленная соответственно на первом, втором и третьем станке, если узел, сходящий с конвейера, качественный.

Решение. Рассчитаем условные вероятности по формуле Байеса:

Источник

Теория вероятности. Часть 2

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

34k

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

quicklatex.com 6552138d19b5709597da5a29317ee9db l3

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет quicklatex.com 60819f1b55bf16be9f3d77e4aec564e4 l3, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: quicklatex.com 33fd22f29ebb805bbbe63006d7f1f492 l3

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

quicklatex.com 2e896bbe8e0034e845c7d0f46976f2a6 l3

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

982Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

quicklatex.com d82b595547980e64fb589d11bdb7fad4 l3

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

quicklatex.com 10d5e1e36064ad3cf9a645c0635cbdd1 l3

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – quicklatex.com c326d9f88a94612c684ed1f84e74ee4d l3. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: quicklatex.com 54344263bffd28d382fa90755a98dbf6 l3.

7

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Источник

Алгебра и начала математического анализа. 11 класс

Конспект урока

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №34. Условная вероятность. Независимость событий.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

— Совместные и несовместные события

— Схема решения задач на вычисление условной вероятности события;

— Задачи на определение независимости событий.

Совместные события – события, одновременное появление которых возможно.

Несовместные события – события, одновременное появление которых невозможно.

События являются независимыми, если вероятность наступления любого из них не зависит от появления остальных событий рассматриваемого множества событий.

Событие В называется зависимым, если вероятность P(B) зависит от появления или непоявления события А. Вероятность события В, вычисленная в предположении того, что событие А уже произошло, называется условной вероятностью наступления события В и обозначается PA(B).

Условная вероятность – вероятность наступления одного события при условии, что другое событие уже произошло.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2014. с. 186-194.

Открытые электронные ресурсы:

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам https://ege.sdamgia.ru/.

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ, Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей, базовый уровень. Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей. Базовый уровень. http://ege.fipi.ru/.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Иногда нам требуется выяснить вероятность совместного появления зависимых событий. Самый простой пример – найти вероятность получить выигрышную комбинацию в азартной карточной игре, где вероятность выпадения каждой новой карты зависит от того, какие карты уже лежат на столе.

Рассмотрим примерную задачу:

Из колоды карт извлекают четыре карты. Первые две оказались семёрками. Какова вероятность, что одна или обе оставшиеся карты окажутся семёрками? (колода содержит 36 карт)

События называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же испытании.

Пример совместных событий: выпадение чётного числа и выпадение числа, кратного трём, при броске игрального кубика. Когда выпадает шесть, реализуются сразу оба события.

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление другого в одном и том же испытании.

Пример несовместных событий: выпадение чётного числа и выпадение нечётного числа при броске игрального кубика.

Теорема о сумме двух событий:

Вероятность суммы любых двух событий А и В равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного осуществления: Р(А+В) = Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

В лотерее выпущено 10 000 билетов, из них: 10 выигрышей по 200 рублей, 100 выигрышей по 100 рублей, 500 выигрышей по 50 рублей и 1000 выигрышей по 10 рублей. Какова вероятность того, что человек, купивший билет, выиграет не менее 50 рублей?

Воспользуемся теоремой: Р(М)=Р(А)+Р(В)+Р(С)=0,061.

Дана вероятность исходного события. Чему равна вероятность противоположного события?

Вероятность исходного события А обозначим Р(А). Вероятность противоположного события Р(Ᾱ).

События А и Ᾱ образуют полную группу событий, вероятность которой равна 1.

Тогда вероятность противоположного события находится по формуле:

Например, монета брошена два раза.

Вероятность появления «Орла» во втором испытании не зависит от результата первого испытания.

Теорема умножения вероятностей независимых событий: вероятность совместного появления независимых событий A и B равна произведению вероятностей этих событий:

Подбрасываются две монеты. Найдите вероятность выпадения двух орлов.

Введем обозначение событий:

A1– на 1-й монете выпадет орёл;

A2– на 2-й монете выпадет орёл.

Событие “выпадение двух орлов” заключается в том, что на 1-й монете появится орёл и на 2-й монете появится орёл, следовательно, это произведение событий A1A2. Вероятность выпадения орла на одной монете не зависит от результата броска другой монеты, следовательно, события A1 и A2 независимы. По теореме умножения вероятностей независимых событий получим:

Отыскать вероятность совместного появления зависимых событий помогает теорема умножения вероятностей зависимых событий: вероятность совместного появления двух зависимых событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже произошло: P(AB) = P(A)·PA(B).

Связь теории вероятностей с теорией множеств.

В математике принято устанавливать связи между различными разделами. Связь между теорией вероятностей и теорией множеств устанавливается следующим образом: события отождествляются с множествами. В таком случае понятию исход будет эквивалентно понятие элемент множества. При таком подходе выберите из списка, какому понятию из теории множеств соответствует данное понятие из теории вероятностей:

— Невозможное событие (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Сумма событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

— Произведение событий (подмножество, бесконечное множество, пустое множество, пересечение множеств, объединение множеств, разность множеств, декартово произведение множеств)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

1. В урне 6 черных, 5 красных и 4 белых шара. Последовательно извлекают три шара без возврата. Найдите вероятность того, что первый шар окажется черным, второй – красным и третий – белым.

А – первый шар окажется черным

37549e4f 78e5 40e0 8b1d d6524fa2130c.

2. Колю отпускают гулять при условии сделанных уроков с вероятностью 0,8. Папа выдает ему деньги на мороженое с вероятностью 0,6. С какой вероятностью Коля пойдет гулять без мороженого?

A – папа выдал Коле денег на мороженое

B – Колю отпустили гулять

Вероятность того, что Коля пойдёт гулять, есть в условии задачи P(B) = 0,8. Вероятность, что папа не выдаст ему деньги на мороженое, равна P(Ᾱ) = 1 – P(A) = 1 – 0,6 = 0,4. Вероятность одновременного осуществления двух независимых событий – произведение их вероятностей P(ᾹB) = P(Ᾱ)·P(B) = 0,8·0,4 = 0,32.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector
s3