чему равна вероятность случайного события

Содержание

Теория вероятностей, формулы и примеры

5fd3c4f5b5495902981420

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

5fd3c509c42ab704419991

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

5fd3c52389bb0416638834

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

5fd3cba6d5ccf002202081

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

5fd3cc1158e9a096643739

Если случайные события A1, A2. An образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

5fd3ccb4b2bc8416575569

По теореме умножения вероятностей:

5fd3ccfe2beab758117721

5fd3cd2c126b8117745371

Аналогично, для остальных гипотез:

5fd3cd51f01c0786377982

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:
5fd3cdd560c13120780832

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

5fd3cdfe657ef759022538

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

P1000(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Кроме того, пусть Pn(k1;k2) — вероятность того, что число появлений события А находится между k1 и k2.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

5fd3ce35e35a8230400444

5fd3ce771c673163025827

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

5fd3cea86ed6c509632849

5fd3ced72af2a873082289

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Учебник по теории вероятностей

1.2. Классическое определение вероятности

Основным понятием теории вероятностей является понятие случайного события. Случайным событием называется событие, которое при осуществлении некоторых условий может произойти или не произойти. Например, попадание в некоторый объект или промах при стрельбе по этому объекту из данного орудия является случайным событием.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно происходит. Невозможным называется событие, которое в результате испытания произойти не может.

Случайные события называются несовместными в данном испытании, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Случайные события образуют полную группу, если при каждом испытании может появиться любое из них и не может появиться какое-либо иное событие, несовместное с ними.

Пример. В урне находится 8 пронумерованных шаров (на каждом шаре поставлено по одной цифре от 1 до 8). Шары с цифрами 1, 2, 3 красные, остальные – черные. Появление шара с цифрой 1 (или цифрой 2 или цифрой 3) есть событие, благоприятствующее появлению красного шара. Появление шара с цифрой 4 (или цифрой 5, 6, 7, 8) есть событие, благоприятствующее появлению черного шара.

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице
Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.
Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Полезные материалы

Онлайн-калькуляторы

Большой пласт задач, решаемых с помощью формулы (1) относится к теме гипергеометрической вероятности. Ниже по ссылкам вы можете найти описание популярных задач и онлайн-калькуляторы для их решений:

Обучающие статьи с примерами

Примеры решений на классическую вероятность

Пример. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от 1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что номер вынутого шара не превосходит 10?

Решение. Пусть событие А = (Номер вынутого шара не превосходит 10). Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1. Событие А достоверное.

Пример. В урне 10 шаров: 6 белых и 4 черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?

Решение. Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов: image006.
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут два белых, равно image008.
Искомая вероятность
image010.

Пример. В урне 15 шаров: 5 белых и 10 черных. Какова вероятность вынуть из урны синий шар?

Решение. Так как синих шаров в урне нет, то m=0, n=15. Следовательно, искомая вероятность р=0. Событие, заключающееся в вынимании синего шара, невозможное.

Пример. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Решение. Количество элементарных исходов (количество карт) n=36. Событие А = (Появление карты червовой масти). Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,
image012.

Пример. В кабинете работают 6 мужчин и 4 женщины. Для переезда наудачу отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц три женщины.

Решение. Общее число возможных исходов равно числу способов, которыми можно отобрать 7 человек из 10, т.е.
image014.

Найдем число исходов, благоприятствующих интересующему нас событию: трех женщин можно выбрать из четырех image016способами; при этом остальные четыре человека должны быть мужчинами, их можно отобрать image018способами. Следовательно, число благоприятствующих исходов равно image020.

Искомая вероятность
image022.

Источник

Случайные события. Вероятность (стр. 1 )

pandia next page Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3

15006144271kho1c

Глава I. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ

1.1. Закономерность и случайность, случайная изменчивость в точных науках, в биологии и медицине

Теория вероятностей – область математики, изучающая закономерности в случайных явлениях. Случайное явление – это явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта может протекать каждый раз несколько по-иному.

Очевидно, что в природе нет ни одного явления, в котором не присутствовали бы в той или иной мере элементы случайности, но в различных ситуациях мы учитываем их по-разному. Так, в ряде практических задач ими можно пренебречь и рассматривать вместо реального явления его упрощенную схему – «модель», предполагая, что в данных условиях опыта явление протекает вполне определенным образом. При этом выделяются самые главные, решающие факторы, характеризующие явление. Именно такая схема изучения явлений чаще всего применяется в физике, технике, механике; именно так выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению и дающая возможность предсказать результат опыта по заданным исходным условиям. А влияние случайных, второстепенных, факторов на результат опыта учитывается здесь случайными ошибками измерений (методику их расчета рассмотрим далее).

Однако описанная классическая схема так называемых точных наук плохо приспособлена для решения многих задач, в которых многочисленные, тесно переплетающиеся между собой случайные факторы играют заметную (часто определяющую) роль. Здесь на первый план выступает случайная природа явления, которой уже нельзя пренебречь. Это явление необходимо изучать именно с точки зрения закономерностей, присущих ему как случайному явлению. В физике примерами таких явлений являются броуновское движение, радиоактивный распад, ряд квантово-механических процессов и др.

Предмет изучения биологов и медиков – живой организм, зарождение, развитие и существование которого определяется очень многими и разнообразными, часто случайными внешними и внутренними факторами. Именно поэтому явления и события живого мира во многом тоже случайны по своей природе.

Элементы неопределенности, сложности, многопричинности, присущие случайным явлениям, обусловливают необходимость создания специальных математических методов для изучения этих явлений. Разработка таких методов, установление специфических закономерностей, свойственных случайным явлениям, –главные задачи теории вероятностей. Характерно, что эти закономерности выполняются лишь при массовости случайных явлений. Причем индивидуальные особенности отдельных случаев как бы взаимно погашаются, а усредненный результат для массы случайных явлений оказывается уже не случайным, а вполне закономерным. В значительной мере данное обстоятельство явилось причиной широкого распространения вероятностных методов исследования в биологии и медицине.

Рассмотрим основные понятия теории вероятностей.

1.2. Вероятность случайного события

Каждая наука, развивающая общую теорию какого-либо круга явлений, базируется на ряде основных понятий. Например, в геометрии – это понятия точки, прямой линии; в механике – понятия силы, массы, скорости и т. д. Основные понятия существуют и в теории вероятностей, одно из них – случайное событие.

Случайное событие – это всякое явление (факт), которое в результате опыта (испытания) может произойти или не произойти.

Случайные события обозначаются буквами А, В, С … и т. д. Приведем несколько примеров случайных событий:

А –выпадение орла (герба) при подбрасывании стандартной монеты;

В – рождение девочки в данной семье;

С – рождение ребенка с заранее заданной массой тела;

D – возникновение эпидемического заболевания в данном регионе в определенный период времени и т. д.

Основной количественной характеристикой случайного события является его вероятность. Пусть А – какое-то случайное событие. Вероятность случайного события А – это математическая величина, которая определяет возможность его появления. Она обозначается Р(А).

Рассмотрим два основных метода определения данной величины.

Классическое определение вероятности случайного события обычно базируется на результатах анализа умозрительных опытов (испытаний), суть которых определяется условием поставленной задачи. При этом вероятность случайного события Р(А)равна:

image001 279(1)

где m – число случаев, благоприятствующих появлению события А; n – общее число равновозможных случаев.

Пример 1. Лабораторная крыса помещена в лабиринт, в котором лишь один из четырех возможных путей ведет к поощрению в виде пищи. Определите вероятность выбора крысой такого пути.

Решение: по условию задачи из четырех равновозможных случаев (n=4) событию А (крыса находит пищу)
благоприятствует только один, т. е. m = 1 Тогда Р(А) = Р (крыса находит пищу) = image002 194= 0,25= 25%.

Пример 2. В урне 20 черных и 80 белых шаров. Из нее наугад вынимается один шар. Определите вероятность того, что этот шар будет черным.

Решение: количество всех шаров в урне – это общее число равновозможных случаев n, т. е. n = 20 + 80 =100, из них событие А (извлечение черного шара) возможно лишь в 20, т. е. m = 20. Тогда Р(А) = Р(ч. ш.) = image003 172= 0,2 = 20%.

Перечислим свойства вероятности следующие из ее классического определения – формула (1):

1. Вероятность случайного события – величина безразмерная.

Источник

Содержание:

Классическое определение вероятности:

Пусть событие А — некоторый исход испытания и

60372

— конечная система всех возможных и единственно возможных попарно несовместных элементарных исходов этого испытания (полная система элементарных событий). Таким образом, событие А происходит тогда и только тогда, когда имеют место некоторые события из системы (1) (благоприятные или благоприятствующие исходы или так называемые шансы для события А).

Предположим, что события системы (1) равновозможны, т. е. нет основания предполагать, что одно из событий системы (1) превалирует, в смысле появления, перед другими. Иногда это можно установить, используя свойство симметрии.

Определение: Под вероятностью Р(А) события А понимается отношение числа равновозможных элементарных исходов, благоприятствующих событию А> к общему числу всех равновозможных и единственно возможных элементарных исходов данного испытания.

Таким образом, если 60379

60382

Так как, очевидно, 60393, то

60396

т. е. вероятность любого события есть неотрицательное число, не превышающее единицы.

Замечание. Из определения вероятности следует, что равновозможные элементарные события являются равновероятными, т. е. обладают одной и той же вероятностью.

Из определения вероятности вытекают следующие основные ее свойства.

1. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие А невозможно, то число благоприятных ему элементарных исходов 60403= 0 и мы имеем

60405

2. Вероятность достоверного события равна единице.

В самом деле, если событие А достоверно, то, очевидно, 60403= 60411и, следовательно,

60413

Приведем некоторые элементарные теоремы о вероятностях.

Определение: Два события А и В называются эквивалентными:

60415

если каждое из них происходит всякий раз, когда происходит другое.

С точки зрения теории вероятностей такие события считаются равными.

Например, если в урне содержатся только белые и черные шары, то появление черного шара и появление небелого шара есть события эквивалентные.

Теорема: Эквивалентные события имеют одинаковые ве-роятности, т. е. если А = В, то

60417

Действительно, каждый элементарный исход для события А является таковым же для события В и обратно. В силу формулы (2) справедливо равенство (4).

Определение: Говорят, что из события А следует событие 60422, если событие В появляется всякий раз, как только произошло событие А.

Например, для любых событий Аи В имеем 60425

Теорема: Если 60438то

60441

В самом деле, пусть события А и В включены в общую систему равновероятных элементарных исходов, причем 60443— число благоприятных элементарных исходов соответственно для событий А и В, а 60446— общее число элементарных исходов. Так как каждый элементарный исход для события А является также элементарным исходом для события Б, то 60449и, следовательно,

60450

таким образом, неравенство (5) доказано.

Определение: Событие А, происходящее тогда и только тогда, когда не происходит событие А, называется противоположным последнему.

Например, если при бросании монеты событие А есть выпадение герба, то событие А представляет собой невыпадение герба, т. е. выпадение решетки.

Из определения 4 следует, что: 1) событие А + достоверно; 2) событие 60458невозможно.

Теорема: Вероятность противоположного события равна дополнению вероятности данного события А до 1, т. е.

60464

Действительно, пусть полная система равновозможных элементарных исходов содержит п событий, из которых 60465благоприятны событию А. Тогда 60467элементарных исходов неблагоприятны событию А, т.е. благоприятствуют событию А. Таким образом, имеем

60468

Приведем ряд примеров на непосредственное вычисление вероятностей событий.

Пример:

Монета бросается два раза. Какова вероятность: 1) выпадения герба хотя бы один раз (событие А); 2) двукратного выпадения герба (событие В)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются: ГГ, ГР, РГ, РР; число их 60470= 4.

Событию А благоприятствуют исходы ГГ, ГР, РГ, число которых 60472= 3. Следовательно,

60474

Событию В благоприятствует один исход ГГ 60482. Поэтому

60483

Пример:

Игральная кость бросается два раза. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков равна 6 (событие А)?

Решение:

Равновозможными элементарными исходами здесь являются пары (х, у), где х и у принимают значения 1, 2, 3, 4, 5, 6; общее число элементарных исходов 60490= 36.

Событию А благоприятствуют пары (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), число которых 60492= 5.

60495

Статистическое определение вероятности:

Классическое определение вероятности события предполагает, что: 1) число элементарных исходов конечно; 2) эти исходы равновозможны.

Однако на практике встречаются испытания с бесконечным числом различных возможных исходов. Кроме того, нет общих методов, позволяющих результат испытания, даже с конечным числом исходов, представить в виде суммы равновозможных элементарных исходов.

Поэтому применение классического определения вероятности весьма ограниченно.

Мы укажем сейчас другое определение вероятности, иногда более удобное для приложений.

Пусть производится п однотипных испытаний, одним из исходов которых является данное событие А.

Определение: Отношение числа появлений тп события А к общему числу испытаний п называется относительной частотой (частостью) события А.

Таким образом, обозначая через Wn (А) относительную частоту события А при 60504испытаниях, будем иметь

60506

Очевидно, 60510

Из формулы (1) получаем

60512

т. е. число появлений события А равно его относительной частоте умноженной на число испытаний.

При однотипных массовых испытаниях во многих случаях наблюдается устойчивость относительной частоты события, т. е. при числе испытаний 60534относительная частота Wn(A) события А колеблется около некоторого постоянного числа р, причем эти отклонения тем меньше, чем больше произведено испытаний, если не учитывать отдельные неудачные испытания. Это число р называется вероятностью события А в статистическом смысле.

Определение: Под вероятностью события в статистическом смысле понимается почти достоверный предел его относительной частоты при неограниченно растущем числе испытаний.

Таким образом, почти достоверно, что относительная частота события приближенно совпадает с его статистической вероятностью, если число испытаний достаточно велико.

С этой точки зрения величина

60539

представляет собой среднее значение числа появления события А при п испытаниях.

При широких предположениях доказывается, что вероятности события в классическом и статистическом смыслах совпадают между собой.

Пример:

В результате ряда испытаний было обнаружено, что при 200 выстрелах стрелок попадает в цель в среднем 190 раз. Какова вероятность р поражения цели этим стрелком? Сколько для него попаданий в цель можно ожидать при 1000 выстрелов?

Решение:

Используя статистическое определение вероятности, имеем

60544

Отсюда число удачных выстрелов из 1000 выстрелов примерно составляет

60548

Классическое определение вероятности (Формула)

Классическое определение вероятности. Если исходы опыта равновозможны, то вероятностью события A называется отношение числа исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех возможных исходов опыта, т.е.

115344

где 115347– число исходов опыта, благоприятствующих событию, а 115349– число всех возможных исходов.

Свойства вероятностей

Если вероятность интересующего нас события A по каким-либо причинам вычислить трудно, то можно попытаться вычислить вероятность противоположного события, а затем с помощью свойства 3 вычислить искомую вероятность события A.

Пример №1

Брошены две игральные кости. Найти вероятности следующих событий:

A – на обеих костях выпало одинаковое число очков;

B – сумма числа очков не меньше 11;

C – число очков на первой кости больше, чем на второй;

D – сумма очков четная;

E – сумма числа очков больше трех.

Решение. Число очков, благоприятствующих каждому из названных событий, легко подсчитать, если все возможные исходы опыта перечислить в виде табл. 2.1.1. В каждой клетке таблицы первая цифра указывает число очков на первой кости, вторая –– на второй кости.

115382115401

Если кости симметричны и однородны, то все перечисленные исходы опыта равновозможны. Тогда 115411(благоприятствуют исходы: 11, 22, 33, 44, 55, 66), 115416(благоприятствуют три исхода: 56, 65, 66) Непосредственный подсчет числа благоприятствующих исходов дает 115423115431.

Ответ. 115437115439

Пример №2

а) В урне содержится N шаров, из них R красного цвета. Наугад выбрано 115514шаров. Какова вероятность того, что 115519из них окажутся красного цвета? Какова вероятность того, что среди выбранных шаров хотя бы один будет красным?

б) Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых три бракованных, наугад извлекаются три изделия для контроля. Найти вероятности следующих событий:

A – среди выбранных изделий ровно два бракованных;

B – выбраны только бракованные изделия;

С – среди выбранных изделий содержится хотя бы одно бракованное.

Решение. а) Если шары тщательно перемешаны и выбираются наугад, то равновозможен выбор любых 115514шаров. Поэтому применимо классическое определение вероятности. Поскольку выбор бесповторный и нас интересует только состав, то выбрать любые 115514шаров можно 115539способами. Сформировать выборку требуемого состава можно, если из R красных шаров выбрать любые 115519шаров (это можно сделать 115548способами) и к ним добавить 115553любых не красных шаров (это можно сделать 115558способами).

115565

Пусть 115567означает наличие в выборке 115568красных шаров. Выбор хотя бы одного красного шара равносилен появлению хотя бы одного из несовместных событий 115567или 115571или … или 115576. Поэтому вероятность выбора хотя бы одного красного шара равна

115584

б) Выбрать любых три изделия из 10 можно 115589способами. Поэтому имеем 115595равновозможных исходов.

Событию A благоприятствуют те исходы, при которых из семи годных изделий выбирается одно (это можно сделать 115601способами) и из трех бракованных –– два (это можно сделать 115606способами). По комбинаторному принципу число благоприятствующих событию A исходов равно 115610Поэтому 115616т.е. примерно один шанс из шести. Событию B благоприятствует всего один исход и его вероятность 115620

Вероятность события 115728проще вычислить, определив сначала вероятность события 115731, которое состоит в том, что выбраны все годные изделия. Выбрать три годных изделия из семи можно 115737способами. Поэтому 115741и 115745

Ответ. 115750

115755 FmLfZnA

Пример №3

При раздаче тщательно перемешанных карт (в колоде 36 карт) игрок получает шесть карт. Какова вероятность того, что игрок получит два туза, два короля и две дамы любой масти?

Решение. Шесть карт данному игроку можно сдать 115861способами, так как выбор бесповторный и нас интересует только состав выбора. Выбрать два туза, два короля и две дамы можно 115863способами. Поэтому искомая вероятность равна 115866

Ответ. 115870.

Пример №4

В течение недели независимо друг от друга происходят четыре события. Найдите вероятности следующих событий:

A – все четыре события произойдут в разные дни недели;

B – все четыре события произойдут в один день;

C – все эти события произойдут в последние три дня недели;

D – хотя бы в один день недели произойдут два или более из этих событий.

Решение. Дни недели можно представить в виде ящиков, а события в виде шариков. Тогда распределение событий по дням недели можно считать раскладкой шариков по ящикам. Так как каждый из четырех шариков можно поместить в любой из семи ящиков, то существует 115889 XsNAQBPравновозможный способ разложить четыре шарика по семи ящикам. Из них событию A благоприятствуют 115893способов, так как для каждого последующего шарика остается на один пустой ящик меньше.

Поэтому 115900

Событию B благоприятствует всего семь способов. Поэтому 115906

Все четыре события могут произойти в последние три дня недели 3 4 способами. Поэтому 115916

Событие D противоположно событию A. Поэтому 115920

115924

Ответ. 115927115936

Пример №5

10 книг, из которых четыре имеют красный переплет, наугад ставят на полку. В предположении, что все расстановки книг на полке равновозможны, найти вероятность того, что книги с красными переплетами окажутся стоящими подряд.

10 книг можно на полке расставить 115958способами. Для подсчета благоприятствующих комбинаций представим сначала, что красные книги связаны в одну пачку и переставляются как единая книга. Тогда переставить эту пачку и остальные шесть книг можно 115961способами. После того, как эта перестановка совершилась и красные книги оказались стоящими подряд, развяжем пачку и на заданных четырех местах переставим красные книги между собой. Это можно сделать 115965способами. По комбинаторному принципу всего благоприятствующих способов 115969Поэтому искомая вероятность равна 115972

Ответ. 115977

Замечание. Пусть 115981одинаковых предметов необходимо распределить между 115985людьми. Это можно сделать 115988способами. К такому выводу приводят следующие соображения. Добавим к этим 115981предметам 115992черный шар, поставим предметы и шары в один ряд, и будем их переставлять между собой. Число различимых перестановок будет равно 116000так как именно таким числом способов можно из 116006места выбрать 115992место и поставить на эти места черные шары, а на остальные места поставить предметы. Вместе с тем число 116000равно числу способов 115981одинаковых предметов распределить между 115985людьми: первому достанутся предметы до первого черного шара, второму – от первого до второго черного шара и т.д. Если 116014-й и 116015-й шары стоят рядом, то 116016-му человеку не достанется ничего.

Пример №6

Случайным образом 12 одинаковых шаров размещаются в шести ящиках. Какова вероятность того, что ровно два ящика останутся пустыми?

Решение. Согласно предыдущему замечанию распределить 12 шаров по шести ящикам можно 116018способами. Имеется 116019вариантов выбрать два пустых ящика из шести. В остальных четырех ящиках должно быть хотя бы по одному шару. Для этого размещаем в каждый из них по одному шару, а остальные 116020шаров раскладываем произвольным образом в эти же четыре ящика. Это можно сделать 116021способами. Всего получается 116023C благоприятствующих способов. Вероятность того, что останутся два свободных ящика, равна 116026

Ответ. 116027

Классическое определение вероятности и решение задач

Пример №7

В ящике лежат два шара: белый и черный. Из ящика наугад вынимают один шар.

33148— вынут белый шар;

33152— вынут черный шар;

33153— вынут красный шар;

33157— вынут шар.

Как известно из предыдущего параграфа, событие 33153— невозможное, событие 33157— достоверное, а события 33148и 33152— случайные.

Эту вероятность получим, если количество белых шаров, то есть 1, разделим на количество всех шаров 33269.

Сформулируем классическое определение вероятности:

вероятность случайного события 33148равна отношению количества случаев, способствующих появлению события 33148, к количеству всех возможных случаев.

В виде формулы это определение можно записать так:

33340, где 33341— количество всех возможных случаев; 33343— количество случаев, способствующих появлению события 33344.

Иногда вероятность представляют в процентах, тогда 33346.

Возвращаясь к примеру 1, можно легко найти вероятности событий 33152, 33153и 33157: 33350.

Таким образом, приходим к важному выводу:

вероятность достоверного события равна 1, вероятность невозможного события равна 0; вероятность случайного события равна любому числу от 0 до 1.

Вероятности событий 33148 и 33152в данном испытании одинаковы, потому что 33353. Такие события называют равновероятными.

Равновероятные события — события, вероятность которых одинакова в данном испытании.

Рассмотрим еще примеры.

Пример №8

Из 30 учеников класса 12 имеют по алгебре оценки высокого уровня. Какова вероятность того, что наугад выбранный учащийся этого класса имеет по алгебре оценку высокого уровня?

Решение:

Имеем: 33360

Пример №9

Одновременно бросили два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма выпавших очков:

1) равна 6; 2) меньше 5?

Решение:

Составим таблицу суммы очков, которые могут выпасть на двух игральных кубиках, брошенных одновременно. 33364— количество всех возможных событий.

33366

1) Имеем 5 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках равна 6, поэтому 33370и 33372.

2) Имеем 6 случаев, когда сумма очков на обоих кубиках меньше чем 5. Поэтому 33374и 33376 qBrJVH6.

Ответ. 1) 33377; 2) 33379.

Пример №10

1) равна 33383; 2) меньше чем 33386?

Решение:

Пусть в коробке 33387белых шаров. Тогда:

33388и 33389. Следовательно, вероятность вытащить белый шар равна 33390.

1) По условию- 33393, тогда 33395; то есть 33396.

2) По условию- 33399. Чтобы решить неравенство, умножим обе его части на положительное число 33400, получим: 33401, откуда 33402. Следовательно, если вероятность вытащить белый шар меньше, чем 33403, то в коробке не более 11 белых шаров.

Ответ. 1) 15; 2) не более 11.

Пример №11

Владелец мобильного телефона забыл две последние цифры своего PIN-кода, но помнит, что они разные. Найти вероятность того, что он разблокирует телефон с первой попытки.

Решение:

Ответ.33408.

Классификация событий

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие события.

Событием называется любой факт, который в результате испытания может произойти или не произойти.

Под испытанием (опытом, экспериментом) в этом определении понимается выполнение определенного комплекса условий, в которых наблюдается то или иное явление, фиксируется тот или иной результат.

События принято обозначать прописными буквами латинского алфавита: А, В, С и т.д.

Событие называется достоверным, если в результате испытания оно обязательно должно произойти. Событие называется случайным, если в результате испытания оно может либо произойти, либо не произойти. Событие называется невозможным, если в результате испытания оно вообще не может произойти.

События называются несовместными, если наступление одного из них исключает появление любого другого. В противном случае события называются совместными.

События называются единственно возможными, если появление в результате испытания одного и только одного из них является достоверным событием.

Например, два студента пришли сдавать зачет. Обязательно произойдет одно из следующих событий: оба студента сдадут зачет (событие А), только один студент сдаст зачет (событие В), ни один из студентов не сдаст зачет (событие С). События А, В, С являются единственно возможными.

События называются равновозможными, если по условиям симметрии есть основания считать, что ни одно из этих событий не является объективно более возможным, чем другие.

Например, появление герба или решки при бросании монеты есть события равновозможные. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Несколько событий образуют полную группу, если они являются единственно возможными и несовместными исходами испытания. Это означает, что в результате испытания должно произойти одно и только одно из этих событий.

Например, студент отвечает на вопросы экзаменационного билета. Билет содержит два вопроса. Возможны следующие исходы испытания: студент ответит на оба вопроса (событие112015), ответит на один вопрос (событие 112017не ответит ни на один вопрос (событие112019. События 112021образуют полную группу.

Противоположными называют два единственно возможных события, образующих полную группу.

Например, событие, состоящее в том, что студент в данный момент находится в аудитории, и событие, состоящее в том, что он находится вне аудитории, являются противоположными.

Если одно из двух противоположных событий обозначено через А, то другое принято обозначать 112023

Классическое и статистическое определение вероятности

Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления.

Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера. Количественной мерой возможности наступления события является вероятность. Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.

Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее. Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами, или случаями. При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн», т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.

Исход называется благоприятствующим событию А, если появление этого случая влечет за собой появление события А.

Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов, т.е. 112036где Р(А) – вероятность события А; m – число случаев благоприятствующих событию А; n – общее число случаев.

Пример №12

При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?

Решение:

112048

Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:

Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.

Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.

Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определение вероятности.

Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.

112051

В отличие от математической вероятности Р(А), рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р*(А) является характеристикой опытной, экспериментальной. Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(A) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.

Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива, т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.

Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки.

112060

где 112062— соответственно площади областей g и G.

Область, на которую распространяется понятие геометрической вероятности, может быть одномерной (прямая, отрезок), двумерной (плоская фигура) или трехмерной (некоторое тело в пространстве). Обозначая меру (длину, площадь, объем) области через mes, приходим к следующему определению.

Геометрической вероятностью события А называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события А, к мере всей области, т.е.

112063

Пример №13

Два студента условились встретиться в определенном месте между 10 и 11 часами дня. Пришедший первым ждет второго в течение 15 минут, после чего уходит. Найти вероятность того, что встреча состоится, если каждый студент наудачу выбирает момент своего прихода между 10 и 11 часами.

Решение:

Решение этого неравенства есть полоса 112072которая внутри квадрата G представляет заштрихованную область g. По формуле (1.3)

112073

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector