чему равна вероятность суммы двух произвольных событий

Учебник по теории вероятностей

1.4. Сложение и умножение вероятностей

События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается очевидно: А = В.

Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей. Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий.

Заметим, что сформулированная теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Теорема о сложении вероятностей 2. Вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей. Вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

Вероятность произведения зависимых событий вычисляется по формуле условной вероятности.

Примеры решений задач с событиями

Пример. В первом ящике 1 белый и 5 черных шаров, во втором 8 белых и 4 черных шара. Из каждого ящика вынули по шару. Найти вероятность того, что один из вынутых шаров белый, а другой – черный.

Решение. Обозначим события: А – вынули белый шар из первого ящика,
image022;

image024— вынули черный шар из первого ящика,
image026;

В – белый шар из второго ящика,
image028;

image030— черный шар из второго ящика,
image032.

Нам нужно, чтобы произошло одно из событий image034или image036. По теореме об умножении вероятностей
image038, image040.
Тогда искомая вероятность по теореме сложения будет
image042.

Пример. Вероятность попадания в цель у первого стрелка 0,8, у второго – 0,9. Стрелки делают по выстрелу. Найти вероятность: а) двойного попадания; б) двойного промаха, в) хотя бы одного попадания; г) одного попадания.

Пусть А – попадание первого стрелка, image044;

В – попадание второго стрелка, image046.

Тогда image048— промах первого, image050;

image052— промах второго, image054.

Найдем нужные вероятности.

а) АВ – двойное попадание, image056

б) image048 image052– двойной промах, image060.

в) А+В – хотя бы одно попадание,

image062.

г) image064– одно попадание,

image066.

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8. Найти вероятности того, что формула содержится 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках.

А – формула содержится в первом справочнике;

В – формула содержится во втором справочнике;

С – формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. image068

2. image070.

3. image072

Вероятность наступления хотя бы одного события

Пусть в результате испытания могут появиться n событий, независимых в совокупности, либо некоторые из них (в частности, только одно или ни одного), причем вероятности появления каждого из событий известны. Как найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из этих событий?

Например, если в результате испытания могут появиться три события, то появление хотя бы одного из этих событий означает наступление либо одного, либо двух, либо трех событий. Ответ на поставленный вопрос дает следующая теорема.

Примеры решений на эту тему

Пример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1 = 0,8; p2 = 0,7; p3 = 0,9. Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.

Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события image074(попадание первого орудия), image076(попадание второго орудия) и image078(попадание третьего орудия) независимы в совокупности.

Вероятности событий, противоположных событиям image074, image076и image078(т. е. вероятности промахов), соответственно равны:

image082, image084, image086

Искомая вероятность image088.

Пример. В типографии имеется 4 плоскопечатных машины. Для каждой машины вероятность того, что она работает в данный момент, равна 0,9. Найти вероятность того, что в данный момент работает хотя бы одна машина (событие А).

Решение. События «машина работает» и «машина не работает» (в данный момент) — противоположные, поэтому сумма их вероятностей равна единице: image090

Отсюда вероятность того, что машина в данный момент не работает, равна image092

Искомая вероятность image094

Так как полученная вероятность весьма близка к единице, то на основании следствия из принципа практической невозможности маловероятных событий мы вправе заключить, что в данный момент работает хотя бы одна из машин.

Пример. Вероятность того, что при одном выстреле стрелок попадает в цель, равна 0,4. Сколько выстрелов должен произвести стрелок, чтобы с вероятностью не менее 0,9 он попал в цель хотя бы один раз?

Решение. Обозначим через А событие «при n выстрелах стрелок попадает в цель хотя бы один раз». События, состоящие в попадании в цель при первом, втором выстрелах и т. д., независимы в совокупности, поэтому применима формула image096.

Приняв во внимание, что, по условию, image098(следовательно, image100), получим

image102

Прологарифмируем это неравенство по основанию 10:

image104

Итак, image106, т.е. стрелок должен произвести не менее 5 выстрелов.

Источник

Теория: Определение вероятности, сумма и произведение событий

В одном ресторане в г. Тамбове администратор предлагает гостям сыграть в «Шеш-беш»: гость бросает одновременно две игральные кости. Если он выбросит комбинацию \(\displaystyle 5\) и \(\displaystyle 6\) очков хотя бы один раз из двух попыток, то получит комплимент от ресторана: чашку кофе или десерт бесплатно. Какова вероятность получить комплимент? Результат округлите до сотых.

Тогда событие \(\displaystyle C\) произойдёт, если наступит хотя бы одно из событий \(\displaystyle A \) или \(\displaystyle B<\small :>\)

Найдем вероятности событий.

Воспользуемся классическим определением вероятности.

Классическое определение вероятности

Найдём число всех элементарных событий.

Каждому из \(\displaystyle 6\) различных вариантов числа выпавших очков при первом броске соответствует \(\displaystyle 6\) вариантов при втором броске.

Поэтому общее количество вариантов (комбинаций числа выпавших очков) при двух бросках составит

Получили \(\displaystyle 2\) варианта.

Найдём вероятность \(\displaystyle P(A)\) наступления события \(\displaystyle A\) по формуле классической вероятности.

Вероятность события \(\displaystyle B\) найдём точно так же:

Найдем вероятность события \(\displaystyle C<\small :>\)

Вероятность суммы совместных событий

События \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого. Поэтому используем правило:

Формула произведения вероятностей

Если события \(\displaystyle A\) и \(\displaystyle B\) независимы, то есть наступление одного из событий никак не влияет на вероятность наступления другого события, то вероятность их одновременного наступления равна

Источник

Чему равна вероятность суммы двух произвольных событий

Снова вернемся к, ставшей для нас уже классической, игре в «слепой» дартс, и рассмотрим случай с двумя мишенями, показанный на рис. 5. Правила игры такие: если игрок попадает в любую из двух мишеней, то ему начисляются соответствующие очки. Чтобы оценить эффективность игры, нас будет интересовать вероятность попадания дротика в мишень (не важно какую). Для этого определим такое событие:

C: дротик попал в одну из двух мишеней

и еще два вспомогательных:

A: дротик попал в первую мишень;

B: дротик попал во вторую мишень.

Как вычислить вероятность события C? Ранее мы с вами говорили, что эта вероятность будет равна доли площади мишеней на стене, которую можно вычислить по формуле

image001,

где image002– площадь мишени A; image003– площадь мишени B; image004– площадь стены W. И если расписать эту формулу вот так:

image005,

то, замечая, что image006, а image007, получим:

image008

По сути, последняя формула говорит, что доля площади двух мишеней равна сумме долей каждой из них. Действительно, из рис. 5 мы это наглядно видим. А, учитывая, что доли – это и есть вероятности соответствующих событий, то мы с вами получили формулу сложения вероятностей двух несовместных событий. Кроме того, эту же формулу можно записать и в таком виде:

image009

Она показывает, что в теории вероятностей случайные события можно складывать и получать третье:

image010

И мы теперь знаем, что событие C интерпретируется как появление или события A или события B в ходе проведения эксперимента (в нашем примере попадание дротика в одну из двух мишеней).

Чтобы лучше понимать, как использовать формулу сложения вероятностей несовместных событий, рассмотрим несколько задач из ЕГЭ.

Задача 1. Однократно бросается игральный кубик. Требуется определить вероятность выпадения числа 1 или числа 3.

Для решения этой задачи введем два события:

Очевидно, что в рамках данной задачи эти события несовместны. Их условно можно представить как две мишени: или попадаем в первую мишень (при броске кубика выпадает число 1), или попадаем во вторую мишень (при броске кубика выпадает число 3). Как видите, с точки зрения теории вероятностей, все то же самое, только вместо дротиков бросается кубик. И здесь нас интересует событие

image010,

вероятность которого, равна:

image008

Ранее мы уже вычисляли вероятность выпадения грани кубика (не важно с каким числом). Она равна image011и искомая вероятность

image012

Ответ: image013.

Некоторые из вас могли заметить, что мы уже решали эту задачу, но с другими рассуждениями. Мы определяли полную группу элементарных несовместных событий размером image014, находили в ней число благоприятных исходов image015для нашего события C и, затем, по формуле image016вычисляли искомую вероятность. По сути, оба этих способа – это одно и то же. Они только записаны по-разному. Однако, как мы сейчас увидим, смотреть на подобные задачи с точки зрения формулы сложения вероятностей, бывает много эффективнее. Хотя простые задачи часто удобнее решать через формулу image017.

Задача 2. Вероятность того, что новый сканер прослужит больше года, равна 0,96. Вероятность того, что он прослужит больше двух лет, равна 0,87. Найдите вероятность того, что он прослужит меньше двух лет, но больше года.

Здесь нам даны вероятности двух событий. Определим их:

A: сканер прослужит больше года;

B: сканер прослужит больше двух лет.

Соответственно, image018, image019. По условию задачи нужно найти вероятность события C, которое сформулируем так:

C: сканер прослужит больше года, но меньше двух лет.

Для простоты понимания решения, ниже на рисунке условно представлены три события A, B и C.

image020

Теперь, если перейти к противоположному событию image021, то оно будет означать, что сканер прослужит не более года и в результате получаем два несовместных события image021и image022, которые в сумме дают событие

image023: сканер прослужит не более двух лет.

Но это есть не что иное, как событие image024, значит, мы можем записать равенство для вероятностей этих событий:

image025

Также мы уже знаем, что

image026

image027

И, подставляя числовые значения, находим искомую вероятность:

image028

Как видите, решить подобные задачи без применения формулы сложения вероятностей и использования противоположных событий, было бы крайне проблематично.

Давайте снова вернемся к нашей «слепой» игре в дартс, но теперь мишени будут частично наложены друг на друга (рис. 6). И рассмотрим те же три события:

A: дротик попал в первую мишень;

B: дротик попал во вторую мишень;

C: дротик попал в одну из двух мишеней.

Как мы ранее говорили, вероятность события C – это доля площади двух мишеней по отношению к площади всей стены:

image029

Но, если мы будем вычислять площадь мишеней, как и раньше, а именно:

image030,

то у нас область пересечения будет посчитана дважды (рис. 7). Это даст неверную суммарную площадь мишеней на стене и вероятность события C будет посчитана неправильно. Для исправления этой ситуации необходимо из суммы image031один раз вычесть площадь пересечения image032.

image033

Рис. 7. Площадь мишеней при их частичном пересечении

Но как ее посчитать? Для этого внимательно посмотрим на рис. 7, из которого хорошо видно, что в области пересечения находятся точки, относящиеся и к мишени A и к мишени B. Значит, область пересечения состоит из событий, при которых происходит одновременное появление и события A и события B. Но мы уже знаем, что такие события записываются через произведение:

image034

а, вероятность такого произведения событий

image035

в нашем случае будет в точности равна доли площади этого пересечения по отношению к площади всей стены, то есть,

image036

В результате формула вычисления вероятности суммы двух событий A и B в данных условиях может быть записана так:

image037

Видите? Мы здесь в числителе сложили площади двух мишеней и вычли площадь их пересечения. И окончательно формула вероятности суммы двух событий принимает вид:

image038

В каких случаях следует использовать эту формулу? Как вы, наверное, уже заметили, события A и B стали совместными из-за пересечения мишеней. И именно эта совместность добавляет к формуле последнее слагаемое image039. Поэтому здесь следует пользоваться таким правилом:

Если два события A и B несовместны, то достаточно использовать формулу

image009

Если же два события A и B совместны, то необходимо применять формулу

image038

Причем, обратите внимание, в общем случае можно всегда пользоваться последней формулой, которая при несовместных событиях будет давать image040и она автоматически превратится в обычное сложение вероятностей двух событий. Однако, при решении задач по ЕГЭ, конечно, лучше сначала определять тип событий: совместные или несовместные, и после этого выбирать одну из двух формул.

Давайте теперь для закрепления материала рассмотрим несколько задач по ЕГЭ на использование этих формул.

Задача 3. На экзамене по геометрии школьнику достается один вопрос из списка экзаменационных вопросов. Вероятность того, что это вопрос на тему «Ромб», равна 0,1. Вероятность того, что это вопрос на тему «Описанная окружность», равна 0,15. Вероятность того, что вопрос одновременно относится к этим двум темам, равна 0,05. Найдите вероятность того, что на экзамене школьнику достанется вопрос по одной из этих двух тем.

Определим два случайных события:

A: школьнику на экзамене достался вопрос на тему «Ромб»;

B: школьнику на экзамене достался вопрос на тему «Описанная окружность».

Так как есть вопросы, которые одновременно относятся к этим двум темам, то события A и B совместны.

В этой задаче нужно найти вероятность того, что школьник выберет вопрос или на тему «Ромб» или на тему «Описанная окружность». В теории вероятностей союз «или» означает сложение событий, поэтому мы будем искать

image038

Все эти вероятности нам даны по условию задачи:

image041

image042

Задача 4. В магазине канцтоваров продается 120 ручек, из них 15 – красных, 22 – зеленых, 27 – фиолетовых, еще есть синие и черные, их поровну. Найдите вероятность того, что Алиса наугад вытащит синюю или зеленую ручку.

Так как в задаче нужно найти вероятность того, что Алиса выберет или синюю или зеленую ручку, то нам понадобятся два таких события:

A: Алиса наугад выбирает синюю ручку;

B: Алиса наугад выбирает зеленую ручку.

Учитывая, что Алиса вытаскивает только одну ручку, то события A и B несовместны. Далее, мы видим союз «или» в формулировке задачи, значит, нужно найти вероятность

image009

Вероятность image043– это доля синих ручек, а вероятность image044– это доля зеленых ручек. Вычислим их. Всего имеем image045ручек. Из них image046– зеленых и image047– синих. Следовательно,

image048и image049

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector