чему равна вероятность суммы двух совместных событий

Вероятность суммы двух событий. Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

Содержание

div1

Вероятность суммы двух событий

Справедливо следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 1. Вероятность суммы двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их произведения.

Другими словами, верна формула:

s13

s13w300

e7 e8
Событие A Событие B
e10 e9
Событие A + B Событие e1
e7
Событие A
e8
Событие B
e10
Событие A + B
e9
Событие e1

Проведем доказательство утверждения 1 на примере геометрического определения вероятности.

s14

s14w300

которое словами можно выразить так: «Площадь фигуры A + B равна сумме площадей фигур A и B минус площадь фигуры e1».

s1

s1w400

s1w300

s2

s2w600

с помощью которых равенство (3) преобразуется к виду (1), что и завершает доказательство утверждения 1.

Доказательство утверждения 1 для классического определения вероятности проводится аналогичным образом, и мы оставляем его читателю в качестве полезного упражнения.

Несовместные события

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Два события A и B называют несовместными, если они не пересекаются.

Другими словами, события A и B несовместны, если

s8

ЗАМЕЧАНИЕ 1. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие B является подмножеством события e6, то есть s9.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. События A и B несовместны в том, и только в том случае, если событие A является подмножеством события s11, то есть s12.

ЗАМЕЧАНИЕ 3. Если события A и B несовместны, то вероятность их произведения равна нулю.

Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула

s10

Другими словами, для несовместных событий A и B верна формула

Независимость двух событий. Вероятность произведения двух независимых событий

Два события A и B называют независимыми, если появление одного из этих событий никак не влияет на вероятность появления второго события.

ЗАМЕЧАНИЕ 5. Несовместные события и независимые события – это совершенно разные понятия, и их не следует путать.

Справедливо следующее утверждение.

УТВЕРЖДЕНИЕ 2. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Другими словами, для двух независимых событий A и B верна формула

Проиллюстрируем справедливость формулы (4) на примере.

РЕШЕНИЕ. Сформируем следующую таблицу, в которой записаны все 36 возможных вариантов пар чисел, выпадающих при подбрасывании двух игральных костей. Первая строка таблицы – это числа, выпавшие при бросании синей кости, а первый столбец таблицы – это числа, выпавшие при бросании красной кости. На пересечении строки и столбца указана пара чисел, выпавших на двух костях.

s4

s6

s7

то в рассматриваемом случайном эксперименте по подбрасыванию двух игральных костей формула (4) верна.

РЕШЕНИЕ. Обозначим буквой A случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает первый стрелок, а буквой B обозначим случайное событие, состоящее в том, что в мишень попадает второй стрелок. Тогда событие A + B означает, что мишень поражена, а событие e1означает, что в мишень попали оба стрелка. По условию

а поскольку события A и B независимы, то в силу формулы (4)

Источник

Сумма вероятностей совместных (независимых) событий

Эффективное решение существует!

После того, как вы нашли необходимые формулы и теорию для ЕГЭ по математике, рекомендуем вам перейти в раздел «Каталоги» и закрепить полученные знания на практике. Для этого достаточно выбрать задачу по данной теме и решить ее. Кроме того, справочные материалы по математике для ЕГЭ пригодятся вам и для других естественнонаучных дисциплин, таких как физика, химия и т. д.

Факт.

Будем называть два события независимыми, если наступление одного события никак не влияет на наступление другого события. Например, события “при бросании кубика выпадет 4 очка” и “при бросании кубика выпадет 3 очка” будут независимыми.
А вот события “сломался компьютер” и “у компьютера перестала работать клавиатура” являются зависимыми, потому что то, что именно сломалось в компьютере, напрямую влияет на наступление второго события.

Давайте рассмотрим независимые события. Представим, что у нас есть два совместных события, и нам нужно найти вероятность того, что наступит хотя бы одно из них (до этого мы искали вероятность того, что такие два события наступят одновременно).
Например, подбрасывается игральная кость. Таня сказала: “Выпадет 5 или 6!” Коля сказал: “Выпадет четное число!”
Найдите вероятность того, что хотя бы один из них окажется прав.

Как решить эту задачу по-другому?

Да, поиск вероятности таким способом для данной задачи не назовешь оптимальным, но мы хотели продемонстрировать вам применение изучаемого факта.

Разберем еще одну задачу из ЕГЭ по математике, в которой требуется знание данного факта.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Источник

Теория вероятности. Часть 2

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

34k

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

quicklatex.com 6552138d19b5709597da5a29317ee9db l3

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет quicklatex.com 60819f1b55bf16be9f3d77e4aec564e4 l3, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: quicklatex.com 33fd22f29ebb805bbbe63006d7f1f492 l3

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

quicklatex.com 2e896bbe8e0034e845c7d0f46976f2a6 l3

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

982Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

quicklatex.com d82b595547980e64fb589d11bdb7fad4 l3

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

quicklatex.com 10d5e1e36064ad3cf9a645c0635cbdd1 l3

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – quicklatex.com c326d9f88a94612c684ed1f84e74ee4d l3. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: quicklatex.com 54344263bffd28d382fa90755a98dbf6 l3.

7

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Источник

Теория вероятности. Часть 2

В заданиях ЕГЭ по математике встречаются и более сложные задачи на вероятность (нежели мы рассматривали в части 1), где приходится применять правило сложения, умножения вероятностей, различать совместные и несовместные события.

Совместные и несовместные события

События называются несовместными, если появление одного из них исключает появление других. То есть, может произойти только одно определённое событие, либо другое.

34k

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение четного числа очков и выпадение нечетного числа очков. Эти события несовместны.

События называются совместными, если наступление одного из них не исключает наступления другого.

Например, бросая игральную кость, можно выделить такие события, как выпадение нечетного числа очков и выпадение числа очков, кратных трем. Когда выпадает три, реализуются оба события.

Сумма событий

Суммой (или объединением) нескольких событий называется событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий.

При этом сумма двух несовместных событий есть сумма вероятностей этих событий:

quicklatex.com 6552138d19b5709597da5a29317ee9db l3

Например, вероятность выпадения 5 или 6 очков на игральном кубике при одном броске, будет quicklatex.com 60819f1b55bf16be9f3d77e4aec564e4 l3, потому что оба события (выпадение 5, выпадение 6) неовместны и вероятность реализации одного или второго события вычисляется следующим образом: quicklatex.com 33fd22f29ebb805bbbe63006d7f1f492 l3

Вероятность же суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без учета их совместного появления:

quicklatex.com 2e896bbe8e0034e845c7d0f46976f2a6 l3

Например, в торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдем вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов (то есть или в одном, или в другом, или в обоих сразу).

982Вероятность первого события «кофе закончится в первом автомате» также как и вероятность второго события «кофе закончится во втором автомате» по условию равна 0,3. События являются совместными.

Вероятность совместной реализации первых двух событий по условию равна 0,12.

Значит, вероятность того, что к концу дня кофе закончится хотя бы в одном из автоматов есть

quicklatex.com d82b595547980e64fb589d11bdb7fad4 l3

Зависимые и независимые события

Два случайных события А и В называются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления другого. В противном случае события А и В называют зависимыми.

Например, при одновременном броске двух кубиков выпадение на одном из них, скажем 1, и на втором 5, – независимые события.

Произведение вероятностей

Произведением (или пересечением) нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Если происходят два независимых события А и В с вероятностями соответственно Р(А) и Р(В), то вероятность реализации событий А и В одновременно равна произведению вероятностей:

quicklatex.com 10d5e1e36064ad3cf9a645c0635cbdd1 l3

Например, нас интересует выпадение на игральном кубике два раза подряд шестерки. Оба события независимы и вероятность реализации каждого из них по отдельности – quicklatex.com c326d9f88a94612c684ed1f84e74ee4d l3. Вероятность того, что произойдут оба эти события будет вычисляться по указанной выше формуле: quicklatex.com 54344263bffd28d382fa90755a98dbf6 l3.

7

Подборку задач на отработку темы смотрите здесь.

Источник

Задачи на сумму вероятностей совместных независимых событий

\(\blacktriangleright\) Каждое событие можно обозначить в виде круга. Тогда если события совместны, то круги должны пересекаться. Вероятность события \(C\) – это вероятность попасть в один из кругов.

MT B 4 4 1

В аквариуме плавает 100 рыбок. Известно, что из них 17 золотых, 4 исполняют желания. При этом золотых рыбок, которые исполняют желания в аквариуме 3. Покупатель хочет приобрести золотую рыбку, которая исполняет желания (как в сказке). Найдите вероятность того, что выбранная наугад рыбка будет соответствовать хотя бы одному требованию покупателя.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac<17> <100>+ \dfrac<4> <100>— \dfrac<3> <100>= \dfrac<18> <100>= 0,18.\]

Среди десяти котят в коробке четверо мужского пола, у троих кончик хвоста белый. Известно, что ровно у 2 котят мужского пола кончик хвоста не белый. Таня выбирает себе одного котенка наугад. Какова вероятность того, что выбранный котенок будет мужского пола или с белым кончиком хвоста, или и то и другое?

Найдем вероятность того, что при одновременном включении хотя бы одна из этих лампочек перегорит.

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac<10> <100>+ \dfrac<15> <100>— \dfrac<1> <100>= 0,24.\]

В классе учится 20 человек, из которых 4 занимаются плаванием, 5 занимаются шахматами. Известно, что и плаванием и шахматами занимаются 2 ученика этого класса. Какова вероятность того, что выбранный наугад ученик этого класса занимается по крайней мере одним из этих видов спорта?

Вероятность наступления по крайней мере одного из двух событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их одновременного наступления, тогда искомая вероятность равна \[\dfrac<4> <20>+ \dfrac<5> <20>— \dfrac<2> <20>= \dfrac<7> <20>= 0,35.\]

Найдем вероятность того, что за ответы у доски по математике и русскому языку Артем получит хотя бы одну пятерку.

Задания, в которых искомой величиной является сумма вероятностей совместных независимых событий, ежегодно включаются в ЕГЭ по математике. Именно поэтому понимать, как они решаются, должны все старшеклассники, независимо от уровня их подготовки. При этом практика показывает, что задания ЕГЭ на вероятность суммы двух совместных событий являются для многих учеников достаточно трудными. Восполнить пробелы в знаниях и качественно подготовиться к аттестационному испытанию вам поможет образовательный портал «Школково». Здесь выпускники смогут найти весь необходимый материал по теме «Вероятность суммы совместных событий». Изучив его, школьники смогут успешно преодолеть экзамен.

Основные моменты

При подготовке к аттестационному испытанию стоит обратить внимание на следующие данные:

Какие еще понятия понадобится вспомнить в данной теме? Учащимся необходимо освежить в памяти определение независимого события. Оно звучит следующим образом. Случайные события считаются независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятность наступления других.

Как подготовиться к экзамену?

Чтобы задачи ЕГЭ на вероятность суммы трех совместных событий не вызывали сложностей, воспользуйтесь информацией, которая представлена на образовательном портале «Школково». Здесь вы найдете весь необходимый теоретический материал, а также упражнения для отработки полученных знаний, например, задачи на произведение вероятностей совместных событий. Для каждого задания наши специалисты прописали алгоритм решения и привели правильный ответ. Выполнять задачи на нахождение суммы вероятностей совместных событий, подобных тем, которые встречаются в ЕГЭ, можно в режиме онлайн. При необходимости любое упражнение можно сохранить в разделе «Избранное», чтобы в дальнейшем вернуться к нему и обсудить с преподавателем или репетитором.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector
s3