чему равна высота равнобедренного треугольника формула

Содержание

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

vysota treugolnika exc 15 1

1. Через площадь и длину стороны

vysota treugolnika exc 9

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

vysota treugolnika exc 8

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

vysota treugolnika exc 10

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

vysota treugolnika exc 14 1

4. Через стороны и радиус описанной окружности

vysota treugolnika exc 16

vysota treugolnika exc 17

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

vysota treugolnika exc 19

vysota treugolnika exc 18

Высота в прямоугольном треугольнике

vysota treugolnika exc 22

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

vysota treugolnika exc 20

2. Через стороны треугольника

vysota treugolnika exc 21

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

vysota treugolnika exc 24

vysota treugolnika exc 23

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

vysota treugolnika exc 25

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

Свойства высоты равнобедренного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты равнобедренного треугольника, а также разберем примеры решения задач по данной теме.

Примечание: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны (боковые). Третья сторона называется основанием.

Свойства высоты в равнобедренном треугольнике

Свойство 1

В равнобедренном треугольнике две высоты, проведенные к боковым сторонам, равны.

vysota ravnobed treugolnika exc 2

Обратная формулировка: Если в треугольнике две высоты равны, значит он является равнобедренным.

Свойство 2

В равнобедренном треугольнике высота, опущенная на основание, одновременно является и биссектрисой, и медианой, и серединным перпендикуляром.

vysota ravnobed treugolnika exc 3

Свойство 3

Если известны стороны/углы равнобедренного треугольника, то:

1. Длина высоты ha, опущенной на основание a, вычисляется по формуле:

vysota ravnobed treugolnika exc 1

2. Длина высоты hb, проведенной к боковой стороне b, равняется:

vysota ravnobed treugolnika exc 7

vysota ravnobed treugolnika exc 5

p – это полупериметр треугольника, рассчитывается таким образом:

vysota ravnobed treugolnika exc 8

3. Высоту к боковой стороне можно найти через синус угла и длину стороны треугольника:

vysota ravnobed treugolnika exc 6

Примечание: к равнобедренному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Пример задачи

Задача 1
Дан равнобедренный треугольник, основание которого равно 15 см, а боковая сторона – 12 см. Найдите длину высоты, опущенной к основанию.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 3:

vysota ravnobed treugolnika exc 4

Задача 2
Найдите высоту, проведенную к боковой стороне равнобедренного треугольника длиной 13 см. Основание фигуры равняется 10 см.

Решение
Для начала вычислим полупериметр треугольника:

vysota ravnobed treugolnika exc 10

Теперь применим соответствующую формулу для нахождения высоты (представлена в Свойстве 3):

Источник

Высота равнобедренного треугольника

Равнобедренным треугольником называется такой треугольник, у которого две из трех сторон равны между собой. Равные стороны считаются боковыми сторонами а, а третья сторона в называется основанием равнобедренного треугольника.

Рассмотрим каждый случай по отдельности.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на основание, обладает рядом индивидуальных свойств, присущих только ей и не распространяющихся на другие высоты в таком треугольнике. В частности, высота, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, совпадает с медианой и биссектрисой, проведенным к основанию, следовательно, она не только образует прямой угол с основанием, но и делит его на две равные части, как медиана, и аналогично делит угол пополам, как биссектриса. В итоге, высота является своеобразной осью симметрии треугольника и разделяет его на два конгруэнтных прямоугольных треугольника. В таком треугольнике высота является катетом, и чтобы найти ее длину необходимо соотнести стороны равнобедренного треугольника со сторонами прямоугольного. Боковая сторона равнобедренного треугольника становится гипотенузой, а чтобы определить второй катет, основание равнобедренного треугольника нужно разделить пополам, по свойству медианы.

formvisravnbed1

Длина высоты равнобедренного треугольника равна по теореме Пифагора квадратному корню из суммы квадрата боковой стороны равнобедренного треугольника и четверти квадрата основания равнобедренного треугольника:

formvisravnbed2

Второй случай, когда условиями задачи нужно найти высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, раскрывается проще всего через площадь треугольника.

Формула Герона для равнобедренного треугольника будет иметь несколько упрощенный вид за счет того, что значения боковых сторон повторяются:

formvisravnbed4

Площадь равнобедренного треугольника через высоту, опущенную к боковой стороне

formvisravnbed5

Эту же формулу можно применять для нахождения любой высоты в равнобедренном треугольнике, если поменять в формуле соответствующие стороны местами.

Формула высоты равнобедренного треугольника через боковую сторону и угол при основании α: h=a sin⁡α

Формула через боковую сторону и угол напротив основания β: formvisravnbed6

Формула через основание и угол при нем α: formvisravnbed7

через основание и угол противолежащий ему β: formvisravnbed8

Источник

Равнобедренный треугольник: свойства, признаки и формулы

Содержание:

Равнобедренным называется треугольник, у которого две стороны равны. Эти стороны называются боковыми, а третья сторона — основанием.

00af676500860c70bcac056fab13da8efdeb033f

АВ = ВС — боковые стороны

Свойства равнобедренного треугольника

Свойства равнобедренного треугольника выражаются через 5 теорем:

Теорема 1. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

4f34d9bfcfe22f3942ec133219b18be381c5f5c9

Доказательство теоремы:

Рассмотрим равнобедренный Δ ABC с основанием АС.

Боковые стороны равны АВ = ВС,

Следовательно углы при основании ∠ BАC = ∠ BСA.

Теорема о биссектрисе, медиане, высоте, проведенной к основанию равнобедренного треугольника

85919c5807d0dbf0caa4560bc3d91f25d7f44fff

Доказательство теоремы:

Вывод:

Запомни! При решении таких задач опусти высоту на основание равнобедренного треугольника. Чтобы разделить его на два равных прямоугольных треугольника.

69574e0ed4583d981e74ad64ecb2730c7ee1d898

Доказательство теоремы:

86332cb0c3c52f8fe9a84d798cdd5e9bc63a9663

Доказательство от противного.

Признаки равнобедренного треугольника

Формулы равнобедренного треугольника

Формулы сторон равнобедренного треугольника

2b8df545055f6900aba36b252c69c471e8ee33c1

Формулы длины стороны (основания — b):

Формулы длины равных сторон(а):

Формулы высоты, медианы, биссектрисы равнобедренного треугольника

f52448aee20ddfc811b8595284c76d0f5c76c415

Формулы высоты, биссектрисы и медианы, через сторону и угол, (L):

Формула высоты, биссектрисы и медианы, через стороны, (L):

Площадь равнобедренного треугольника

7b1b4d4cee48d829063fcfbe5b8be1f572275c91

Формула площади треугольника через высоту h и основание b, (S):

Источник

Как посчитать высоту равнобедренного треугольника

Онлайн калькулятор

rbt

Чтобы вычислить высоту равнобедренного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Если известны длина стороны а и основания b

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и длина основания b?

Формула

Пример

Если сторона a = 10 см, а сторона b = 5 см, то:

Если известны длина стороны а и угол α

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол α?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠α = 45°, то:

h = 5⋅sin 45 ≈ 3,53 см

Если известны длина стороны а и угол β

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны a и угол β?

Формула

Пример

Если сторона a = 5 см, а ∠β = 30°, то:

Если известны длина стороны b и угол α

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол α?

Формула

Пример

Если сторона b = 20 см, а ∠α = 35°, то:

Если известны длина стороны b и угол β

Чему равна высота h у равнобедренного треугольника если известны длина стороны b и угол β?

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector