чему равна высота трапеции если известны основания

Содержание

Нахождение высоты трапеции: формулы и примеры задач

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту трапеции, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Напомним, высотой трапеции называется отрезок, соединяющий оба ее основания и перпендикулярный им.

Нахождение высоты трапеции

Через длины сторон

vysota trapetsii exc 1

Если известны длины всех четырех сторон трапеции, ее высота рассчитывается по формуле ниже:

vysota trapetsii exc 2

Через боковую сторону и прилежащий угол

vysota trapetsii exc 3

Высоту трапеции можно вычислить, если знать длину любой из ее боковых сторон и значение прилежащего к ней и основанию угла.

vysota trapetsii exc 6

Через диагонали и угол между ними

vysota trapetsii exc 4

Зная длину оснований трапеции, а также диагоналей и угол между ними, вычислить высоту удастся по формуле:

vysota trapetsii exc 7

vysota trapetsii exc 5

Если сумму оснований заменить длиной средней линии (m), то формула будет выглядеть следующим образом:

vysota trapetsii exc 8

Средняя линия трапеции (m) равняется полусумме ее оснований, т.е m = (a+b) /2.

Через площадь

vysota trapetsii exc 9

Высоту трапеции можно вычислить, если известны ее площадь и длины оснований (или средней линии).

vysota trapetsii exc 10

Примечание: формулы для нахождения высоты равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Примеры задач

Задание 1
Найдите высоту трапеции, если ее основания равны 9 и 6 см, а боковые стороны – 4 и 5 см.

Решение
Т.к. у нас есть длины всех сторон, мы можем воспользоваться первой формулой для вычисления требуемого значения:

vysota trapetsii exc 11

Кстати, т.к. высота равна одной из боковой сторон трапеции, значит она является прямоугольной.

Решение
В данном случае можно применить последнюю из рассмотренных формул:

Источник

Нахождение высоты равнобедренной (равнобокой) трапеции

В данной публикации мы рассмотрим различные формулы, с помощью которых можно вычислить высоту равнобедренной (равнобокой) трапеции.

Напомним, высотой трапеции называется перпендикуляр, соединяющий оба ее основания. Также, в равнобедренной трапеции боковые стороны равны.

Нахождение высоты равнобедренной трапеции

Через длины сторон

vysota ravnobed trapetsii exc 1

Зная длины всех сторон равнобедренной трапеции, вычислить ее высоту можно, используя формулу ниже:

vysota ravnobed trapetsii exc 2

Через боковую сторону и прилежащий угол

vysota ravnobed trapetsii exc 3

Если известна длина боковой стороны равнобедренной трапеции и угол между ней и основанием фигуры, найти высоту можно следующим образом:

vysota ravnobed trapetsii exc 4

Через основания и прилежащий угол

vysota ravnobed trapetsii exc 6

Вычислить высоту трапеции можно, если известны длины ее оснований и угол при любом из оснований (например, при большем).

vysota ravnobed trapetsii exc 5

Через площадь и основания

vysota ravnobed trapetsii exc 7

Также высоту равнобедренной трапеции удастся найти через ее площадь и длины оснований:

vysota ravnobed trapetsii exc 9

Данная формула может быть представлена в другом виде, если вместо оснований дана средняя линия (m).

vysota ravnobed trapetsii exc 10

vysota ravnobed trapetsii exc 8

m – средняя линия, равняется полусумме оснований, т.е. m = (a+b) /2.

Через диагонали и угол между ними

vysota ravnobed trapetsii exc 13

И еще один способ вычислить высоту равнобедренной трапеции, если известны ее диагонали (которые имеют одинаковую длину), угол между ними и основания.

vysota ravnobed trapetsii exc 11

Та же самая формула, но со средней линией (m) вместо суммы оснований:

vysota ravnobed trapetsii exc 12

vysota ravnobed trapetsii exc 14

Примечание: если диагонали равнобедренной трапеции взаимно перпендикулярны, то ее высота равняется половине суммы оснований или, другими словами, средней линии.

Источник

Высота трапеции

Что такое трапеция

d41d8c 1604391826

Трапеция — это геометрическая фигура, которая состоит из двух параллельных и неравных друг другу отрезков (оснований) и боковых сторон.

Все стороны трапеции могут иметь разную величину. Но если ее боковые стороны равны, значит трапеция равнобедренная.

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из любой точки одного основания фигуры до другого.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Как найти высоту трапеции

6da5e4 najti vysotu trapecii 1604391848

Через стороны

Если нам известны стороны фигуры, мы можем найти ее высоту по формуле:

Где h — высота, a — большее основание, b — меньшее основание, c и d — боковые стороны.

Через среднюю линию и площадь

Если в условии есть данные о величине средней линии и площади, можем использовать формулу:

Где m — средняя линия трапеции.

Через боковую сторону и угол

Когда нам известна величина одной из боковых сторон и угол между этой стороной и большим основанием, используем формулу:

Где \alpha — это угол между стороной c и большим основанием a.

Через диагонали, угол между ними и основания

Если нам известны длины обоих диагоналей трапеции, а также угол между ними, можем найти высоту следующим образом:

Где \(d_1\) и \(d_2\) — диагонали трапеции, а \(\gamma\) — угол между ними.

Через диагонали, угол и среднюю линию

В том случае, если нам известны сразу длины диагоналей, угол между ними и величина средней линии, мы можем узнать высоту трапеции по формуле:

Через радиус вписанной окружности

Если в трапецию можно вписать окружность, то ее высота будет равна диаметру этой окружности, то есть d=h. Другими словами, высота фигуры будет равна удвоенному радиусу вписанной в нее окружности:

Где r — радиус выписанной окружности.

Примеры вычисления

Дана трапеция, в которой известны основания a и b. Они равны 4,5 см и 2,5 см. Также известны ее боковые стороны d и c, равные 2 см и \(2\sqrt2\) см соответственно. Найти высоту.

Чтобы решить эту задачу, используем формулу \(h=\sqrt^2+d^2+c^2><2\cdot(a-b)>>)^2.\)

Подставляем известные значения:

Чтобы найти высоту, нужно знать величину средней линии m. Определим ее следующим образом:

Теперь используем формулу \(h=\frac Sm\) и подставим известные значения:

Мы знаем, что сторона c трапеции равна \(\sqrt2\) см, а угол \(\alpha\) между известной стороной и основанием равен 45 градусов. Найти значение высоты.

Используем формулу \(h=c\cdot\sin\left(\alpha\right)\) и подставим значения:

Для решения задачи использует формулу \(h=\frac\cdot\sin\left(\gamma\right).\)

Источник

Как найти высоту трапеции: формулы на все случаи жизни

На простой вопрос «Как найти высоту трапеции?» существует несколько ответов, и все потому, что могут быть даны разные исходные величины. Поэтому и формулы будут различаться.

Эти формулы можно запомнить, но они несложно выводятся. Нужно только применять ранее изученные теоремы.

Принятые в формулах обозначения

Во всех приведенных ниже математических записях верны такие прочтения букв.

произвольная трапеция равнобедренная трапеция название
а а нижнее основание
в в верхнее основание
с, d с боковые стороны
н н высота
m m средняя линия
d1, d2 d1 диагонали
s s площадь
α, β α углы при нижнем основании
γ, δ γ, δ углы на пересечении диагоналей

В исходных данных: все стороны

Для того чтобы найти высоту трапеции в общем случае потребуется воспользоваться такой формулой:

Не самая короткая, но и встречается в задачах достаточно редко. Обычно можно воспользоваться другими данными.

Формула, которая подскажет, как найти высоту равнобедренной трапеции в той же ситуации, гораздо короче:

787283

В задаче даны: боковые стороны и углы при нижнем основании

Принимают, что угол α прилежит к боковой стороне с обозначением «с», соответственно угол β к стороне d. Тогда формула для того, как найти высоту трапеции, в общем виде будет такой:

н = с * sin α= d * sin β. Номер 3.

Если фигура равнобедренная, то можно воспользоваться таким вариантом:

Известны: диагонали и углы между ними

Обычно к этим данным присоединяются еще известные величины. Например, основания или средняя линия. Если даны основания, то для ответа на вопрос, как найти высоту трапеции, пригодится такая формула:

Это для общего вида фигуры. Если дана равнобедренная, то запись преобразится так:

н = (d1 2 * sin γ) / (а + в) или н = (d1 2 * sin δ) / (а + в). Номер 6.

Когда в задаче идет речь о средней линии трапеции, то формулы для поиска ее высоты становятся такими:

н = (d1 2 * sin γ) / 2m или н = (d1 2 * sin δ) / 2m. Номер 6а.

787281

Среди известных величин: площадь с основаниями или средней линией

Это, пожалуй, самые короткие и простые формулы того, как найти высоту трапеции. Для произвольной фигуры она будет такой:

н = 2S / (а + в). Номер 7.

Она же, но с известной средней линией:

Как ни странно, но для равнобедренной трапеции формулы будут выглядеть так же.

787282

Задачи

№1. На определение углов при нижнем основании трапеции.

Условие. Дана равнобедренная трапеция, боковая сторона которой 5 см. Ее основания равны 6 и 12 см. Требуется найти синус острого угла.

Решение. Для удобства следует ввести обозначение. Пусть левая нижняя вершина будет А, все остальные по часовой стрелке: В, С, Д. Таким образом, нижнее основание будет обозначено АД, верхнее — ВС.

Нужно провести высоты из вершин В и С. Точки, которые укажут концы высот будут обозначены Н1 и Н2, соответственно. Поскольку в фигуре ВСН1Н2 все углы прямые, то она является прямоугольником. Это означает, что отрезок Н1Н2 равен 6 см.

Воспользовавшись знанием о том, как находится синус острого угла в треугольнике с прямым углом, можно записать такое выражение: sin α= ВН1 / АВ = 0,8.

Ответ. Искомый синус равен 0,8.

787284

№2. На нахождение высоты трапеции по известному тангенсу.

Условие. У равнобедренной трапеции нужно вычислить высоту. Известно, что ее основания равны 15 и 28 см. Дан тангенс острого угла: 11/13.

Решение. Обозначение вершин такое же, как в предыдущей задаче. Снова нужно провести две высоты из верхних углов. По аналогии с решением первой задачи нужно найти АН1 = Н2Д, которые определятся как разность 28 и 15, деленная на два. После подсчетов получается: 6,5 см.

Поскольку тангенс — это отношение двух катетов, то можно записать такое равенство: tg α= АН1 / ВН1. Причем это отношение равно 11/13 (по условию). Так как АН1 известен, то можно вычислить высоту: ВН1= (11 * 6,5) / 13. Простые расчеты дают результат в 5,5 см.

Ответ. Искомая высота равна 5,5 см.

№3. На вычисление высоты по известным диагоналям.

Условие. О трапеции известно, что ее диагонали равны 13 и 3 см. Нужно узнать ее высоту, если сумма оснований составляет 14 см.

Решение. Пусть обозначение фигуры будет таким же, как раньше. Предположим, что АС — меньшая диагональ. Из вершины С нужно провести искомую высоту и обозначить ее СН.

Теперь потребуется выполнить дополнительное построение. Из угла С нужно провести прямую, параллельную большей диагонали и найти точку ее пересечения с продолжением стороны АД. Это будет Д1. Получилась новая трапеция, внутри которой начерчен треугольник АСД1. Он-то и нужен для дальнейшего решения задачи.

Искомая высота окажется еще и ей же в треугольнике. Поэтому можно воспользоваться формулами, изученными в другой теме. Высота треугольника определяется как произведение числа 2 и площади, деленное на сторону, к которой она проведена. А сторона оказывается равна сумме оснований исходной трапеции. Это исходит из правила, по которому выполнено дополнительное построение.

В рассматриваемом треугольнике все стороны известны. Для удобства введем обозначения х = 3 см, у = 13 см, z = 14 см.

Теперь нужно сосчитать высоту: н = (2 * 6 √10) / 14 = 6√10 / 7 (см).

Ответ. Высота равна 6√10 / 7 см.

787285

№4. Для поиска высоты по сторонам.

Условие. Дана трапеция, три стороны которой равны 10 см, а четвертая 24 см. Нужно узнать ее высоту.

Решение. Поскольку фигура равнобедренная, то потребуется формула под номером 2. В нее нужно просто подставить все значения и сосчитать. Это будет выглядеть так:

Источник

Как найти высоту трапеции

Вы будете перенаправлены на Автор24

На этой странице вы узнаете, как найти высоту трапеции через стороны, а также как рассчитать высоту равнобедренной трапеции, зная среднюю линию и площадь. Также на страницу добавлены онлайн-калькуляторы для расчёта высоты трапеции.

Трапеция — это плоский геометрический объект, состоящий из двух параллельных и не равных друг другу отрезков-оснований и соединяющих их боковых сторон.

Для того чтобы рассчитать высоту трапеции, зная стороны, введите заданные значения в поля для ввода.

Высота трапеции через стороны

5d1f6a09e4fc6

Высота трапеции через стороны рассчитывается по формуле:

$a$ — основание большего размера;

$d$ — основание меньшего размера;

$b$ — первая боковая сторона;

$c$ — вторая боковая сторона.

Задача

Решение:

Воспользуемся вышеприведённой формулой:

Проверим полученное значение с помощью онлайн-калькулятора. Результат совпадает, а значит, задача решена верно.

Ниже приведён другой калькулятор, осуществляющий нахождение высоты равнобедренной трапеции через её площадь и среднюю линию.

Высота равнобедренной трапеции через среднюю линию и площадь

5d1f69369b5d7

Если известна площадь равнобедренной трапеции и длина её средней линии, то высоту можно рассчитать по формуле:

$m$ — средняя линия трапеции;

Рассмотрим на примере, как найти высоту равнобедренной трапеции, если известны основания.

Задача

Решение:

Найдём среднюю линию трапеции:

Теперь сосчитаем высоту трапеции:

Результаты совпадают с решением онлайн-калькулятора, а значит, ответ — верный.

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector