чему равна высота в прямоугольном треугольнике формула

Высота прямоугольного треугольника

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным способом в зависимости от данных в условии задачи.

0 c6b7e f3852cf7 SДлина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле

quicklatex.com 501fa2645aa4bcdcb8480484d0e613e0 l3

или, в другой записи,

quicklatex.com d4232fc35d154e21b215aeb03342e096 l3

где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).

Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника

quicklatex.com 6aa783dcec2f08ce4879cb9c99082c8b l3

(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:

quicklatex.com cdb8cf27b200a072d4b0a6f3a8d7cddf l3

Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:

quicklatex.com 4599e96c059ae731363f73b88baf6377 l3

Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:

quicklatex.com 3ddf81785a32687debaeb393ed9b1ed1 l3

quicklatex.com a30a5c0b6bd4d92131113e21aa54c66f l3

То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде

quicklatex.com 0b3be3ddd2d0de552d160c4801138d18 l3

Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:

quicklatex.com ab3f0665ea13d9b535949f3e9965aaa6 l3

Поскольку проведенная к гипотенузе высота образует еще два прямоугольных треугольника, ее длину можно найти через соотношения в прямоугольном треугольнике.

Из прямоугольного треугольника ABK

quicklatex.com d8ffef3d95aa648752d00ed294d5c7b1 l3

quicklatex.com c32424a2bfdb0657689ce54d40365db9 l3

Из прямоугольного треугольника ACK

quicklatex.com 93cad7eb3089c3213778f37028d802af l3

quicklatex.com 8b1aa27fc4e29c9ffb456d59530aec90 l3

Длину высоты прямоугольного треугольника можно выразить через длины катетов. Так как

quicklatex.com 2cca4c4eebfd7cf70b4a1fb7db0eb685 l3

по теореме Пифагора

quicklatex.com 781a18d7f977d23a46936307646ab470 l3

quicklatex.com 062d4c33d0a6353dd5112a7968cac86c l3

Если возвести в квадрат обе части равенства:

quicklatex.com 0501e2518e9fdea5d7b6d94ae297689a l3

можно получить еще одну формулу для связи высоты прямоугольного треугольника с катетами:

Источник

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе

Как и в любом треугольнике прямоугольный треугольник имеет три высоты. Две из них совпадают с катетами, а вот третья высота, проведенная к гипотенузе, постоянно будоражит наши умы.

Поэтому представляю вашему вниманию основные формулы для ее нахождения.

Начну с самой важной.

1. Высота, проведенная к гипотенузе равна корню квадратному из произведения проекций катетов на эту гипотенузу.

2023

2. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, разделив удвоенную площадь прямоугольного треугольника на гипотенузу.

2024

Такая формула получается из классический формулы нахождения площади треугольника: половина произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

3. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу.

Эта формула получится из второй если заменить площадь на половину произведения катетов.

2025

2027

4. Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на диаметр описанной вокруг треугольника окружности (или на удвоенный радиус).

Так получается потому, что центр описанной окружности лежит в середине гипотенузы, значит, гипотенуза равна 2R или d.

2026

5. Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти, используя геометрические определения синуса, тангенса и котангенса.

2029

Надеюсь, что данная статья оказалась полезной!)

Готовься к экзамену вместе с нами! Заходи на нашу страницу в ВК.

Источник

Высота в прямоугольном треугольнике

Вспомним, что высота треугольника — это перпендикуляр, опущенный из его вершины на противоположную сторону.

В прямоугольном треугольнике катеты являются высотами друг к другу. Главный интерес представляет высота, проведённая к гипотенузе.

Один из типов экзаменационных задач банке заданий ФИПИ — такие, где в прямоугольном треугольнике высота проведена из вершины прямого угла. Посмотрим, что получается:

height in tr 01 new

Иными словами, каждый из трех углов треугольника равен одному из углов треугольника (и треугольника ). Треугольники и называются подобными. Давайте нарисуем их рядом друг с другом.

height in tr 02

Они отличаются только размерами. Стороны подобных треугольников пропорциональны. Что это значит?

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

height in tr 03 new

(поскольку значение синуса острого угла положительно). Тогда:

Нам известно также, что:

Решая эту систему из двух уравнений, найдем:

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Найти высоту, проведенную из вершины прямого угла, можно было и другим способом. Мы выбрали самый короткий путь — составили и решили систему уравнений.

Источник

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

vysota pryamoug treugolnika exc 1

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

vysota pryamoug treugolnika exc 3 1

3. △ABD ∼ △ADC по двум равным углам: ∠ABD = ∠DAC, ∠BAD = ∠ACD.
Доказательство:BAD = 90° – ∠ABD (ABC). В то же время ∠ACD (ACB) = 90° – ∠ABC. Следовательно, ∠BAD = ∠ACD.
Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

vysota pryamoug treugolnika exc 4

vysota pryamoug treugolnika exc 2 1

2. Через длины сторон треугольника:

vysota pryamoug treugolnika exc 9

vysota pryamoug treugolnika exc 5 1

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

vysota pryamoug treugolnika exc 7
vysota pryamoug treugolnika exc 6

vysota pryamoug treugolnika exc 8

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

vysota pryamoug treugolnika exc 10

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Источник

Формулы для нахождения высоты треугольника

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти высоту в различных видах треугольников, а также разберем примеры решения задач для закрепления материала.

Нахождение высоты треугольника

Напомним, высота треугольника – это отрезок, проведенный перпендикулярно из вершины фигуры к противоположной стороне.

Высота в разностороннем треугольнике

Высоту треугольника abc, проведенного к стороне a, можно найти по формулам ниже:

vysota treugolnika exc 15 1

1. Через площадь и длину стороны

vysota treugolnika exc 9

где S – площадь треугольника.

2. Через длины всех сторон

vysota treugolnika exc 8

где p – это полупериметр треугольника, который рассчитывается так:

vysota treugolnika exc 10

3. Через длину прилежащей стороны и синус угла

vysota treugolnika exc 14 1

4. Через стороны и радиус описанной окружности

vysota treugolnika exc 16

vysota treugolnika exc 17

где R – радиус описанной окружности.

Высота в равнобедренном треугольнике

Длина высоты ha, опущенной на основание a равнобедренного треугольника, рассчитывается по формуле:

vysota treugolnika exc 19

vysota treugolnika exc 18

Высота в прямоугольном треугольнике

vysota treugolnika exc 22

Высота, проведенная к гипотенузе, может быть найдена:

1. Через длины отрезков, образованных на гипотенузе

vysota treugolnika exc 20

2. Через стороны треугольника

vysota treugolnika exc 21

Примечание: две остальные высоты в прямоугольном треугольнике являются его катетами.

Высота в равностороннем треугольнике

Для равностороннего треугольника со стороной a формула расчета высоты выглядит следующим образом:

vysota treugolnika exc 24

vysota treugolnika exc 23

Примеры задач

Задача 1
Найдите высоту треугольника, проведенную из вершины B к стороне AC, если известно, что AB = 7 см, а угол BAC = 45°.

Решение
В данном случае нам поможет формула для нахождения высоты через сторону и синус прилежащего угла:

vysota treugolnika exc 25

Задача 2
Найдите длину основания равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к нему, равняется 3 см, а боковые стороны – 5 см.

Решение
Вывести формулу для нахождения длины основания можно из формулы расчета высоты в равнобедренном треугольнике:

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector