чему равно алгебраическое дополнение а32 матрицы а

Содержание

Как вычислить определитель (детерминант) матрицы? Минор и алгебраическое дополнение

Без преобразования матрицы, определитель легко посчитать только для матриц размером 2×2 и 3×3. Это делается по формулам:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html e68edb13836c4dad

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 6a440b95b6f5eb3

(можно посчитать по любой строке, выше приводиться формула расчёта определителя по первой строке).

Расчёты для матриц размером 4×4 и выше затруднительны, поэтому их нужно преобразовывать в соответствии со свойствами определителя. Нужно стремиться получить матрицу, в которой все значения кроме одного любого столбца или любой строки равны нулю. Пример такой матрицы:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html a6993d935a402d60

Для неё определитель равен:

Обратите внимание, что

это вычисление детерминанта матрицы, полученой вычетом строки и столбца, на пересечении которых находиться единственное не нулевое числов строки/столбца, по которому мы разлагаем матрицу:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 5c086aa2a0a12754

Если привести матрицу к треугольному виду, то её определитель вычисляется как произведение цифр по диагонали. Например, для матрицы

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 380c3c0f7f562b44

Аналогично следует поступать с матрицами 5×5, 6×6 и другими больших размерностей.

Преобразования матриц нужно выполнять в соответствии со свойствами определителя. Но прежде чем перейти к практике по вычислению определителя для матриц 4×4, давайте вернёмся к матрицам 3×3 и подробно рассмотрим, как вычисляется определитель для них.

Минор

Определитель матрицы не очень прост для понимания, поскольку в его понятии присутствует рекурсия: определитель матрицы состоит из нескольких элементов, в том числе из определителя (других) матриц.

Чтобы не застрять на этом, давайте прямо сейчас (временно) примем, что определитель матрицы

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html e68edb13836c4dad

Ещё разберёмся в условных обозначения и в таких понятиях как минор и алгебраическое дополнение.

Буквой i мы обозначаем порядковый номер стоки, буквой j – порядковый номер столбца.

aij означает элемент матрицы (цифру) на пересечении строки i и столбца j.

Представим себе матрицу, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j. Определитель новой матрицы, которая получена из исходной удалением строки i и столбца j, называется минором Mij элемента aij.

Проиллюстрируем сказанное. Предположим, дана матрица

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html c634a0e16a1955f7

Тогда для определения минора M11 элемента a11 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением первой строки и первого столбца:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 207b57dc36daa74c

И вычислить для неё определитель: 2*1 — (-4)*0 = 2

Для определения минора M22 элемента a22 нам нужно составить новую матрицу, которая получается из исходной удалением второй строки и второго столбца:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html aaa17f785ff01228

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением Аij для элемента aij называется минор Mij этого элемента, взятый со знаком «+», если сумма индексов строки и столбца (i + j), на пересечении которых стоит этот элемент, чётная, и со знаком «-», если сумма индексов нечётная.

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 7a814155146cfb2a

Для матрицы из предыдущего примера

Вычисление определителя для матриц

Определителем порядка n, соответствующим матрице А, называется число, обозначаемое det A и вычисляемое по формуле:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html c297fc24f0229a67

В этой формуле нам всё уже знакомо, давайте теперь посчитаем определитель матрицы для

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html c634a0e16a1955f7

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 41f261bca9d09ee7

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html e2efabdaeccdd571

Каков бы ни был номер строки i=1,2,…, n или столбца j = 1, 2,…, n определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов этой строки или этого столбца на их алгебраические дополнения, т. е.

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 2cb4f34f03845044

Т.е. детерминант можно вычислить по любому столбцу или по любой строке.

Чтобы убедиться в этом, вычислим определитель для матрицы из последнего примера по второму столбцу

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html f456db8f6a23bbc6

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html b3281cc4a2a386c

Свойства определителя матриц

Для вычисления определителя любого порядка можно применять метод последовательного понижения порядка определителя. Для этого пользуются правилом разложения определителя по элементам строки или столбца. Еще один способ вычисления определителей заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований со строками (или столбцами), прежде всего в соответствии со свойствами 4 и 7 определителей, привести определитель к виду, когда под главной диагональю определителя (определяемой так же, как и для квадратных матриц) все элементы равны нулю. Тогда определитель равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали.

При вычислении определителя последовательным понижением порядка для уменьшения объема вычислительной работы целесообразно с помощью свойства 7 определителей добиться обнуления части элементов какой-либо строки или какого-либо столбца определителя, что уменьшит число вычисляемых алгебраических дополнений.

Приведение матрицы к треугольному виду, преобразование матрицы, облегчающее вычисление определителя

Показанные ниже методы нецелесообразно использовать для матриц 3×3, но я предлагаю рассмотреть суть методов на простом примере. Воспользуемся матрицей, для которой мы уже считали определитель — нам будет проще проверить правильность вычислений:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html c634a0e16a1955f7

Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, умноженную на 2:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 5ffe6dd675663bca

из третьей строки вычтем соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные на 3:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html d84be29e03ed6502

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 31d8909fb555e79f

Так как элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, то, следовательно, определитесь равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

Как видим, ответ совпал с полученными ранее.

Давайте вспомним формулу определителя матрицы:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 2cb4f34f03845044

Детерминант — это сумма алгебраических дополнений, умноженная на члены одной из строк или одного из столбцов.

Если в результате преобразований мы сделаем так, что одна из строк (или столбец) будет состоять полностью из нулей кроме одной позиции, то нам не нужно будет считать все алгебраические дополнения, поскольку они заведомо будут равны нулю. Как и предыдущий метод, этот целесообразно применять для матриц больших размеров.

Покажем пример на той же самой матрице:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html c634a0e16a1955f7

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html acf5253e8bf14530

Вычислим определитель по второму столбцу. Нам нужно посчитать только одно алгебраическое дополнение, поскольку остальные заведомо сводятся к нулю:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 9069fcda8513b1b8

Вычисление определителя для матриц 4×4, 5×5 и больших размерностей

Чтобы избежать слишком больших вычислений для матриц больших размеров следует делать преобразования, описанные выше. Приведём пару примеров.

Вычислить определитесь матрицы

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 5abcfdefa6326a4f

Р е ш е н и е. Используя 7-е свойство определителя, вычтем из второй строки третью, из четвёртой строки — соответствующие элементы первой строки определителя, умноженные соответственно на 3, 4, 5. Эти действия сокращённо будем обозначать так: (2) — (1) * 3; (3) — (1) * 4; (4) — (1) * 5. Получим:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html a2f369df53d56954

Далее, в соответствии с ведёнными обозначениями, выполним действия: (3) — (2) * 8; (4) — (2) * 9. Получаем

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html a9042abe18e47c81

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html b16e3fe59f2beb56

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html f19ff2e40edfe9db

Так как элементы определителя, расположенные под его главной диагональю, равны 0, то, следовательно, определитесь равен произведению элементов, расположенных на главной диагонали:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html a846d59e8204ab76

Вычислить определитель

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 686536cd8ec91662

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 6154453a4b9d077e

Разлагая полученный определитесь по второй строке имеем:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 8ed201caea347e7

(Затем мы вынесли сомножитель 2 первого столбца на основании свойства 4). Далее прибавим к элементам первого и второго столбца элементы определителя. Получим:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 1b0d4eff62929ddb

Затем мы вынесли множитель в первом столбце, а затем общий множитель (-1) в первой строке. Разлагая теперь получившийся определитесь третьего порядка по элементам второй строки получим:

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 67258ee254403221

Здесь определитесь второго порядка вычислен в соответствии с его определением, по формуле

%D0%9A%D0%B0%D0%BA %D0%B2%D1%8B%D1%87%D0%B8%D1%81%D0%BB%D0%B8%D1%82%D1%8C %D0%BE%D0%BF%D1%80%D0%B5%D0%B4%D0%B5%D0%BB%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C %D0%BC%D0%B0%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%86%D1%8B html 3425f9609eb4274

Вычисление определителя (детерминанта) матрицы wxMaxima и Maxima

В wxMaxima и Maxima для вычисления определителя используется функция determinant:

01

Для приведения матриц к треугольному виду можно воспользоваться функцией triangularize:

Источник

С помощью калькулятора матриц вы сможете выполнять различные преобразования матриц, решать СЛАУ, а также находить некоторые характеристики, как, например, определитель, след и ранг. Подробнее о функционале и использовании калькулятора смотрите после блока с самим калькулятором.

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji

Как пользоваться калькулятором матриц

Ввод данных и функционал

Что умеет наш калькулятор матриц?

Вычисление выражений с матрицами

Вы можете вычислять различные арифметические выражения с матрицами, а также с результатами некоторых преобразований этих матриц.

Из чего могут состоять выражения?

Примеры корректных выражений

Что такое матрица?

Примеры матриц

Элементы матрицы

Некоторые теоретические сведения

Транспонирование — операция, при которой строки и столбцы матрицы меняются местами: a T ij = aji

Главная диагональ квадратной матрицы — диагональ, которая проходит через верхний левый и нижний правый углы. Элементы главной диагонали — aii

Единичная матрица En×n — квадратная матрица из n столбцов и n строк с единицами на главной диагонали и нулями вне её.

Ранг — это максимальное количество линейно независимых строк (столбцов) этой матрицы. Обозначение: rank(A)

След — это сумма элементов, находящихся на её главной диагонали. Обозначение: tr(A) или track(A)

Умножение матрицы на число — матрица такой же размерности, что и исходная, каждый элемент которой является произведением соответствующего элемента исходной матрицы на заданное число.

Возведение в степень — умножение заданной матрицы саму на себя n-ое количество раз, где n – степень, в которую необходимо возвести исходную матрицу. Обозначение: A n

Треугольная матрица — квадратная матрица, у которой выше (верхнетреугольная матрица) или ниже (нижнетреугольная матрица) главной диагонали находятся нули.

LU-разложение — представление матрицы в виде произведения двух матриц L и U, где L — нижнетреугольная матрица с еденичной диагональю, а U — верхнетреугольная матрица. A = L·U

Сложение матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной суммой соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij+bij

Разность матриц An×m и Bn×m — матрица Cn×m, получаемая попарной разностью соответствующих элементов матриц A и B, то есть каждый элемент матрицы C равен: сij=aij-bij

Programforyou — это сообщество, в котором Вы можете подтянуть свои знания по программированию, узнать, как эффективно решать те или иные задачи, а также воспользоваться нашими онлайн сервисами.

Источник

Алгебраические дополнения и миноры. Виды миноров и алгебраических дополнений.

В данной теме рассмотрим понятия алгебраического дополнения и минора. Изложение материала опирается на термины, пояснённые в теме «Матрицы. Виды матриц. Основные термины». Также нам понадобятся некоторые формулы для вычисления определителей. Так как в данной теме немало терминов, относящихся к минорам и алгебраическим дополнениям, то я добавлю краткое содержание, чтобы ориентироваться в материале было проще.

1

Этот минор несложно вычислить, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

2

Чтобы найти значение данного минора используем формулу №1 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

3

4

Например, рассмотрим такую матрицу:

Запишем для неё какой-либо минор третьего порядка. Чтобы записать минор третьего порядка нам потребуется выбрать какие-либо три строки и три столбца данной матрицы. Например, возьмём строки №2, №4, №6 и столбцы №1, №2, №4. На пересечении этих строк и столбцов будут располагаться элементы требуемого минора. На рисунке элементы минора показаны синим цветом:

Миноры первого порядка находятся на пересечении одной строки и одного столбца, т.е. миноры первого порядка равны элементам заданной матрицы.

Естественно, что мы могли взять иные строки и столбцы, – например, с номерами 2 и 4, получив при этом иной главный минор второго порядка.

Для примера рассмотрим такую матрицу:

Найдём значение этого минора, используя формулу №2 из темы вычисления определителей второго и третьего порядков:

Данный пример, конечно, тривиальный, так как его цель – наглядно показать суть базисного минора. Вообще, базисных миноров может быть несколько, и обычно процесс поиска такого минора куда сложнее и объёмнее.

Введём ещё одно понятие – окаймляющий минор.

Для примера обратимся к такой матрице:

Запишем минор второго порядка, элементы которого расположены на пересечении строк №2 и №5, а также столбцов №2 и №4. Эти элементы выделены в матрице красным цветом:

Вновь вернёмся к квадратным матрицам. Введём понятие дополнительного минора.

Для примера рассмотрим квадратную матрицу пятого порядка:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Источник

Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Теорема Лапласа

Минором Мij элемента аij квадратной матрицы А n-го порядка называют определитель матрицы (n-1) порядка, полученной из матрицы А вычеркиванием строки с номером i и столбца с номером j.

image433Пример 2.8. В матрице image435минором М21 элемента а21 является определитель, составленный из элементов матрицы, оставшихся после вычеркивания 2-ой строки и 1-го столбца: image437.

Таким образом, М21 = image439.

Алгебраическим дополнением элемента аij называют число Aij , вычисляемое следующим образом:

image441

Пример 2.9. Алгебраическое дополнение А21 элемента а21 матрицы image435есть число, равное image444.

Теорема Лапласа. Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на соответствующие им алгебраические дополнения

image446— формула разложения определителя по строке с номером i

image448— формула разложения определителя по столбцу с номером j,

здесь i, j = (1…, n ), где n´ n – размерность матрицы А.

При вычислении определителя с помощью разложения по строке (столбцу) удобнее выбирать ту строку (столбец), которая содержит наибольшее количество нулей.

Пример 2.10. Вычислить определитель, используя теорему Лапласа image450.

Разлагаем определитель по 1-му столбцу, т.к. в этом столбце наибольшее количество нулей

image452

image454

image456

Отметим ещё одно свойство определителей:

11 0 Сумма произведений элементов какой-либо строки (столбца) матрицы на алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна нулю.

Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет

Источник

admin
Делаю сам
Adblock
detector