Комбинаторика
Комбинаторика – раздел математики, занимающийся изучением количества возможных комбинаций определенного типа, которые возможно сделать из некоторого набора элементов. Эти вычисления необходимы для решения различных задач в теории вероятностей и получения распределений случайных величин.
Правила в комбинаторике
Правило суммы: если есть взаимоисключающие друг друга действия A и B, которые можно выполнить способами m и n соответственно, то выполнить любое из этих действий можно m + n способами.
Правило произведения: если есть последовательность действий k, и первое действие его можно выполнить n1 способом, второе n2 и далее до nk, то все действия этой последовательности можно выполнить n1 · n2 · nk способами.
Элементы комбинаторики
Перестановки – конечное множество, в котором указан порядок его элементов. Количество перестановок вычисляется по формуле: Pn = n!
Калькулятор разложения бинома Ньютона с использованием треугольника Паскаля.
Калькулятор числа перестановок позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества элементов.
Калькулятор числа размещений вычисляет число возможных размещений из заданного количества объектов n по k.
Калькулятор числа сочетаний позволяет вычислить число возможных сочетаний из заданного количества объектов n по k.
Количество композиций натурального числа
Учитывая натуральное число n, найдите количество способов, которыми n может быть выражено как сумма натуральных чисел, когда принимается во внимание порядок. Две последовательности, которые различаются по порядку их членов, определяют различные составы их суммы.
Примеры:
Простое решение — создать все композиции и сосчитать их.
Используя концепцию комбинаторики, можно доказать, что любое натуральное число n будет иметь 2 ^ (n-1) различных композиций, если учитывать порядок.
One way to see why the answer is 2^(n-1) directly is to write n as a sum of 1s:
n = 1 + 1 + 1 +…+ 1 (n times).
There are (n-1) plus signs between all 1s. For every plus sign we can choose to split ( by putting a bracket) at the point or not split. Therefore answer is 2^(n-1).
For example, n = 4
No Split
4 = 1 + 1 + 1 + 1 [We write as single 4]
Different ways to split once
4 = (1) + (1 + 1 + 1) [We write as 1 + 3]
4 = (1 + 1) + (1 + 1) [We write as 2 + 2]
4 = (1 + 1 + 1) + (1) [We write as 3 + 1]
Different ways to split twice
4 = (1) + (1 + 1) + (1) [We write as 1 + 2 + 1]
4 = (1 + 1) + (1) + (1) [We write as 2 + 1 + 1]
4 = (1) + (1) + (1 + 1) [We write as 1 + 1 + 2]
Different ways to split three times
4 = (1) + (1) + (1) + (1) [We write as 1 + 1 + 1 + 1]
// C ++ программа для поиска общего количества
// композиции натурального числа
#include
using namespace std;
#define ull unsigned long long
ull countCompositions(ull n)
<
Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
Подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.
Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.
Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания
Итак, есть множество из n элементов.
Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА
Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement).
Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ
Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться.
Число всех размещений из n по m с повторениями:
Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC
Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination).
Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m
Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ
Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:
Количество композиций натурального числа
Учитывая натуральное число n, найдите количество способов, которыми n может быть выражено как сумма натуральных чисел, когда принимается во внимание порядок. Две последовательности, которые различаются по порядку их членов, определяют различные составы их суммы.
Примеры:
Простое решение — создать все композиции и сосчитать их.
Используя концепцию комбинаторики, можно доказать, что любое натуральное число n будет иметь 2 ^ (n-1) различных композиций, если учитывать порядок.
One way to see why the answer is 2^(n-1) directly is to write n as a sum of 1s:
n = 1 + 1 + 1 +…+ 1 (n times).
There are (n-1) plus signs between all 1s. For every plus sign we can choose to split ( by putting a bracket) at the point or not split. Therefore answer is 2^(n-1).
For example, n = 4
No Split
4 = 1 + 1 + 1 + 1 [We write as single 4]
Different ways to split once
4 = (1) + (1 + 1 + 1) [We write as 1 + 3]
4 = (1 + 1) + (1 + 1) [We write as 2 + 2]
4 = (1 + 1 + 1) + (1) [We write as 3 + 1]
Different ways to split twice
4 = (1) + (1 + 1) + (1) [We write as 1 + 2 + 1]
4 = (1 + 1) + (1) + (1) [We write as 2 + 1 + 1]
4 = (1) + (1) + (1 + 1) [We write as 1 + 1 + 2]
Different ways to split three times
4 = (1) + (1) + (1) + (1) [We write as 1 + 1 + 1 + 1]
// C ++ программа для поиска общего количества
// композиции натурального числа
#include
using namespace std;
#define ull unsigned long long
ull countCompositions(ull n)
<
Разложение числа на слагаемые
Этот онлайн калькулятор выводит все представления числа n в виде суммы положительных целых чисел.
Данный онлайн калькулятор для введенного числа в диапазоне от 1 до 60 выводит все его представления в виде суммы положительных целых чисел, а также выводит количество таких представлений.
В математике представление числа в виде суммы положительных целых чисел называется разбиением натурального числа n, при этом в канонической записи разбиения слагаемые перечисляются в невозрастающем порядке. Описание алгоритма генерации всех разбиений можно найти под калькулятором.
Разбиение натурального числа
Задача разложения числа на слагаемые
В большинстве источников, которые можно легко найти поиском, приводится рекурсивный алгоритм разложения числа на слагаемые. В данном же калькуляторе, в силу технических причин, используется итеративный алгоритм. Логика алгоритма была взята из статьи на Хабре.
Так как логика алгоритма достаточно лаконичная, приведу ее целиком (с некоторыми комментариями):
Дано: исходный массив в виде единиц — А (1,1,1,1,1).
Размерность массива соответствует числу n, все разложения которого мы ищем.
0) Если получили сумму, тогда остановка алгоритма.
Как и автор статьи, я суммирую элементы в массиве, в конце должен остаться только один элемент с индексом 0, численно равный n.
1) Двигаясь по массиву слева направо, искать в массиве А первый минимальный элемент — x,
последний элемент не учитывается (не участвует в поиске минимального).
Нам нужно как значение элемента, так и его позиция в массиве. Поэтому я не пользуюсь встроенными в Javascript функциями типа min и findIndexOf, а использую одну итерацию по массиву, запоминая как текущий минимальный элемент, так и его позицию, а также сумму до текущего минимального элемента включительно (сумма понадобится ниже).
2) Перенести единицу из конца (последнего элемента) в найденный минимальный элемент x
(равносильно увеличению x на единицу и уменьшению на единицу последнего элемента).
Здесь прибавляется единица, и используется метод splice
3) Разложить сумму всех элементов после измененного элемента — x – на единицы.
Здесь добавляем единицы, используя ранее подсчитанную частичную сумму.
Код алгоритма на Javascript приведен ниже (разбиения выводятся в консоль):
Зависимость числа разбиений от n является числовой последовательностью A000041 в онлайн энциклопедии целочисленных последовательностей и обладает рядом некоторых интересных свойств.
